2023-2024学年新疆喀什地区莎车县恰热克镇中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆喀什地区莎车县恰热克镇中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0D．ax2+bx+c＝0
2．方程4x2＝81﹣9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（ ）
A．9B．﹣9xC．9xD．﹣9
3．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+3＝0B．x2+x＝0C．x2+2x＝﹣1D．x2＝1
4．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3
5．将抛物线向左平移一个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
7．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）
A．100（1+x）2＝800
B．100+100×2x＝800
C．100+100×3x＝800
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝800
8．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
9．一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，则菱形的周长为（ ）
A．B．4cmC．2cmD．4cm
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分；请将正确答案写在横线上。）
11．若2是方程x2﹣c＝0的一个根，则c的值为 ．
12．一元二次方程x2+3x＝0的解是 ．
13．抛物线y＝2x2﹣4x+3的顶点坐标是 ．
14．方程x2+6x+c＝0有相等的两个实数根，则c＝ ．
15．学校组织一次篮球赛，要求每两队之间都要赛一场，若共赛了28场，则有 个球队参赛．
16．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
三、解答题（本大题共6题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（20分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）2x2﹣3x+1＝0；
（3）（x+2）2﹣25＝0；
（4）3x（x﹣2）＝4﹣2x．
18．已知一元二次方程ax2+4x+2＝0，根的判别式Δ＝0．求：
（1）a的值；
（2）该方程的根．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，0），C（0，﹣3）．求此二次函数的解析式．
20．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
21．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从B点出发以每秒1cm的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为t（s），
（1）用含t的代数式表示CP、CQ的长，并直接写出t的取值范围；
（2）多长时间后△CPQ的面积为6cm2？
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0D．ax2+bx+c＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、方程含有两个未知数，错误；
C、原方程可化为﹣7x＝0，是一元一次方程，错误；
D、方程二次项系数可能为0，错误．
故选：A．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．方程4x2＝81﹣9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（ ）
A．9B．﹣9xC．9xD．﹣9
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
解：方程整理得：4x2+9x﹣81＝0，
则一次项是9x，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
3．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+3＝0B．x2+x＝0C．x2+2x＝﹣1D．x2＝1
【分析】找出各方程的根的判别式△的值，取Δ＝0的选项即可得出结论．
解：A、∵Δ＝02﹣4×1×3＝﹣12，
∴方程x2+3＝0没有实数根；
B、∵Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，
∴方程x2+x＝0有两个不相等的实数根；
C、原方程转换成一般式为x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程x2+2x＝﹣1有两个相等的实数根；
D、原方程转换成一般式为x2﹣1＝0，
∵Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，
∴方程x2＝1有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
4．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
5．将抛物线向左平移一个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】按照“左加右减”的规律作答．
解：将抛物线y＝x2向左平移1个单位，得y＝（x+1）2；
故选：D．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
解：A、∵﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意，
B、抛物线的顶点为（1，3），本选项不符合题意，
C、抛物线的对称轴为：x＝1，本选项符合题意，
D、因为开口向下，所以当x＞1时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．
7．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）
A．100（1+x）2＝800
B．100+100×2x＝800
C．100+100×3x＝800
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝800
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝800，把相关数值代入即可．
解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为100×（1+x），
∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）＝100×（1+x）2，
∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2＝800，
故选：D．
【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
8．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
解：∵抛物线y＝2（x+1）2+c的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，
∴点A关于对称轴x＝﹣1的对称点是（0，y1），
∴y3＞y2＞y1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
9．一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，则菱形的周长为（ ）
A．B．4cmC．2cmD．4cm
【分析】设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OA＝OC＝xcm，OB＝OD＝ycm，则AC+BD＝2x+2y＝10cm，所以x+y＝5；由S菱形ABCD＝×2x×2y＝12cm2，得xy＝6，则AB＝＝＝＝（cm），所以菱形的周长为4cm，于是得到问题的答案．
解：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA＝OC，OB＝OD，
设OA＝OC＝xcm，OB＝OD＝ycm，则AC+BD＝2x+2y＝10cm，
∴x+y＝5；
∵S菱形ABCD＝×2x×2y＝12cm2，
∴xy＝6，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝＝＝（cm），
∴AB+BC+CD+AD＝4AB＝4cm，
∴菱形的周长为4cm，
故选：B．
【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、菱形的面积公式、整式的乘法等知识，正确地求出AB的长是解题的关键．
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题可先由一次函数y＝kx﹣1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝kx2+3的图象相比是否一致．
解：由一次函数y＝kx﹣1可知，直线与y轴的交点为（0，﹣1），由二次函数y＝kx2+3可知，抛物线与y轴的交点为（0，3），
故选项B、D不可能；
A、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＞0，故选项A不可能；
C、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＜0，故选项C有可能；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分；请将正确答案写在横线上。）
11．若2是方程x2﹣c＝0的一个根，则c的值为 4 ．
【分析】根据方程的解的概念将x＝2代入方程x2﹣c＝0，据此可得关于c的方程，解之可得答案．
解：根据题意，将x＝2代入方程x2﹣c＝0，得：4﹣c＝0，
解得c＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．一元二次方程x2+3x＝0的解是 x1＝0，x2＝﹣3 ．
【分析】提公因式后直接解答即可．
解：提公因式得，x（x+3）＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法，要根据方程特点选择合适的方法．
13．抛物线y＝2x2﹣4x+3的顶点坐标是 （1，1） ．
【分析】已知抛物线解析式为一般式，利用公式法可求顶点坐标，也可以用配方法求解．
解：解法1：利用公式法
y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，1）．
解法2：利用配方法
y＝2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x+1）+1＝2（x﹣1）2+1，故顶点的坐标是（1，1）．
【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值通常有两种方法：（1）公式法；（2）配方法．
14．方程x2+6x+c＝0有相等的两个实数根，则c＝ 9 ．
【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次方程，解之即可得出c值．
解：∵方程x2+6x+c＝0有相等的两个实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝36﹣4c＝0，
解得：c＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
15．学校组织一次篮球赛，要求每两队之间都要赛一场，若共赛了28场，则有 8 个球队参赛．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝28，把相关数值代入，再解方程即可求解．
解：设有x支球队，每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：，
整理，得x2﹣x﹣56＝0，
解这个方程，得x1＝8，x2＝﹣7．
合乎实际意义的解为x＝8．
答：有8个球队参赛．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
16．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 6 ．
【分析】根据抛物线y＝x2的性质，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，P即为所求．
解：如图，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，
则P就是使△PAB的周长最小时．
因为∠BAC的平分线交BC于点D，
∵B、B′关于y轴对称，
∴PB＝PB′，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此时△PAB的周长最小，
∵B（3，9），
∴B′（﹣3，9），
∵A（1，1），
设直线AB′的直线方程为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣2x+3，
∴P点的坐标为（0，3）．
∴S△PAB＝S△B′BA﹣S△B′BP＝×6×（9﹣1）﹣＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键．
三、解答题（本大题共6题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（20分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）2x2﹣3x+1＝0；
（3）（x+2）2﹣25＝0；
（3）3x（x﹣2）＝4﹣2x．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用直接开平方法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
（2）2x2﹣3x+1＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1．
（3）（x+2）2﹣25＝0，
（x+2）2＝25，
∴x+2＝±5，
∴x1＝3，x2＝﹣7．
（3）3x（x﹣2）＝4﹣2x，
3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，，
（x﹣2）（3x+2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x+2＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．已知一元二次方程ax2+4x+2＝0，根的判别式Δ＝0．求：
（1）a的值；
（2）该方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式为0得到有关a的方程求解即可；
（2）将a的值代入一元二次方程求解即可．
解：∵一元二次方程ax2+4x+2＝0，根的判别式Δ＝0，
∴b2﹣4ac＝16﹣8a＝0，
解得：a＝2；
（2）把a＝2代入方程得：2x2+4x+2＝0，
即x2+2x+1＝0，
（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式的知识，解题的关键是了解根的判别式对方程的根的影响，难度不大．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，0），C（0，﹣3）．求此二次函数的解析式．
【分析】利用待定系数法求抛物线解析式．
解：把A（1，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
20．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
【分析】设路宽为x，则道路面积为30x+20x﹣x2，所以所需耕地面积551＝20×30﹣（30x+20x﹣x2），解方程即可．
解：设修建的路宽为x米．
则列方程为20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝551，
解得x1＝49（舍去），x2＝1．
答：修建的道路宽为1米．
【点评】本题涉及一元二次方程的应用，难度中等．
21．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据铁栏的长是长方形的长与宽的2倍的和，从而确定长和宽，即可表示出矩形面积，求出即可；
（2）利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可．
解：（1）设AB＝x，则BC＝38﹣2x；
根据题意列方程的，
x（38﹣2x）＝180，
解得x1＝10，x2＝9；
当x＝10，38﹣2x＝18（米），
当x＝9，38﹣2x＝20（米），而墙长19m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为18米，10米；
（2）根据题意列方程得，
x（38﹣2x）＝200，
整理得出：x2﹣19x+100＝0；
Δ＝b2﹣4ac＝361﹣400＝﹣39＜0，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能达到200m2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从B点出发以每秒1cm的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为t（s），
（1）用含t的代数式表示CP、CQ的长，并直接写出t的取值范围；
（2）多长时间后△CPQ的面积为6cm2？
【分析】（1）由BC的长度，结合点P的出发点、运动方向及运动时间即可用含t的代数式表示出CP的长，由点Q的出发点、运动方向及运动时间即可用含t的代数式表示出CQ的长，由BC，AC的长及点P，Q的运动速度，即可找出t的取值范围；
（2）利用三角形的面积计算公式，结合△CPQ的面积为6cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）∵BC＝8cm，点P从B点出发以每秒1cm的速度向C点运动，
∴当运动时间为t（s）时，CP＝（8﹣t）cm；
∵点Q从C点出发以每秒1cm的速度向A点运动，
∴CQ＝tcm．
∵AC＝6cm，BC＝8cm，点P，Q的运动速度为每秒1cm，且当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，
∴t的取值范围为0≤t≤6．
（2）依题意得：（8﹣t）t＝6，
整理得：t2﹣8t+12＝0，
解得：t1＝2，t2＝6．
答：经过2s或6s时，△CPQ的面积为6cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出CP，CQ的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．