2023-2024学年浙江省温州市鹿城区南浦实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省温州市鹿城区南浦实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，4）C．（2，0）D．（﹣2，0）
2．下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．等腰三角形的三条边都相等
B．两个偶数的和为偶数
C．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上
D．立定跳远运动员的成绩是9m
3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣3）2B．y＝2（x+3）2C．y＝2x2﹣3D．y＝2x2+3
4．有5张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到5的一个自然数．从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．在如图所示的6×6的方格中，每个小方格的边长都为1，有M，N，O，P，Q五个格点，若以O为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
6．一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当x＝1秒时，乒乓球所经过的路程为（ ）
A．2米B．米C．米D．米
7．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
8．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）均在抛物线y＝﹣x2+2x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
9．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，CB，分别以AC，BC为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接OD，DE，若要求出DE的长，只需知道（ ）
A．AC的长B．BC的长C．OD的长D．AB的长
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过（m，0），（﹣3m，0），（0，1）三点，则a与b的关系正确的是（ ）
A．a＝b﹣1B．a＝﹣b﹣1C．3b2＝4aD．3b2＝﹣4a
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．若抛物线的开口向上，则它的表达式可以是 ．
12．在一个箱子里放有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．某数学兴趣小组一共做了4000次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，搅匀），摸到白球的次数为1000次，估计这个箱子里红球有 个．
13．抛物线y＝x2+4x+3的对称轴是直线 ．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，若点O到BC的距离为2，则BC的长为 ．
15．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 米．
16．如图，AB是半圆O的直径，弦AC平行半径OD，连接CD，CD＝AO，将半圆O绕点A旋转，点O的对应点为O′，半圆O′交AB于点E，D，E，B′三点恰好在同一直线上时，若，则四边形AODC的面积为 ．
三、解答题（本题有7小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．
（1）请用树状图或列表的方法，表示松鼠走出笼子的所有可能路线（经过的两道门）．
（2）求松鼠经过E门出去的概率．
18．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）请你判断饲养室的占地面积是否可能达到210m2，并说明理由．
19．如图，在7×7的方格中，△ABC是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求画图．
（1）在图中画一个格点三角形AB1C1，它是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到．
（2）在图中画一个格点三角形A2B2C2并标出点O的位置，△A2B2C2是由△ABC绕格点O旋转得到，且点B的对应点为B2．
20．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
21．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求b，c的值及这个图象的顶点坐标．
（2）若点P（m，n）在该二次函数图象上，且到y轴的距离小于2，求n的取值范围．
22．根据背景素材，探索解决问题．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
23．如图1，四边形ABDE内接于⊙O，AB＝AE，点C在⊙O上，AC⊥BD于点F．
（1）连接BE，求证：∠ABE＝∠ACB．
（2）设∠CBF为x度，∠BAE为y度，写出y关于x的函数表达式．
（3）如图2，作OG⊥AC于点G，连接AO并延长交⊙O于点H．
①∠BAE＝120°，OG＝4，，求BD的长．
②若DE＝12，求OG的长．
参考答案
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多
1．抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，4）C．（2，0）D．（﹣2，0）
【分析】二次函数y＝ax2+k的顶点坐标是（0，k），直接解答．
解：抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（0，﹣4）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k）．
2．下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．等腰三角形的三条边都相等
B．两个偶数的和为偶数
C．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上
D．立定跳远运动员的成绩是9m
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、等腰三角形的三条边都相等，不是必然事件，不符合题意；
B、两个偶数的和为偶数，是必然事件，符合题意；
C、任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、立定跳远运动员的成绩是9m，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣3）2B．y＝2（x+3）2C．y＝2x2﹣3D．y＝2x2+3
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝2x2向右平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x﹣3）2；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．有5张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到5的一个自然数．从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出从1到5的数中的偶数的个数，再根据概率公式解答即可．
解：∵从1到5的数中的偶数是2，4，共2个，
∴从中任取一张卡片，卡片上的数是偶数的概率＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了概率公式，正确记忆概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键．
5．在如图所示的6×6的方格中，每个小方格的边长都为1，有M，N，O，P，Q五个格点，若以O为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】根据格点的特点，勾股定理，得出OM、OP、ON、OQ的值，与圆的半径进行比较，即可求解．
解：在6×6的正方形网格中小正方形的边长为1，
∴，，ON＝2，，
∵⊙O的半径为，，，，
∴在⊙O外的点是P，
故选：C．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，掌握圆的基础知识、格点中勾股定理的运用等知识是解题的关键．
6．一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当x＝1秒时，乒乓球所经过的路程为（ ）
A．2米B．米C．米D．米
【分析】先由待定系数法求出函数关系式，再代入x＝1即可求出结论．
解：设y＝ax2，
将（1.5，3）代入上式得：3＝2.25a，
解得：，
则函数的表达式为：，
当x＝1时，，
即乒乓球所经过的路程是米，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，确定函数表达式是本题解题的关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】根据，∠得出∠AOD＝∠DOC，计算，根据OA＝OD，计算，选择答案即可．
解：∵AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴，
∵OA＝OD，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的关键．
8．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）均在抛物线y＝﹣x2+2x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【分析】根据抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+m，求出对称轴为直线，根据二次函数的图象与性质分析即可得出答案．
解：∵抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴B（1，y2）为顶点，y2为最大值，图象上的点离顶点越远，则函数值越小，
∵A（﹣1，y1），C（2，y3），
∴点A和点C相比，点A离顶点更远，
∴y1＜y3＜y2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、计算分析是解题的关键．
9．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，CB，分别以AC，BC为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接OD，DE，若要求出DE的长，只需知道（ ）
A．AC的长B．BC的长C．OD的长D．AB的长
【分析】记OD交AC于G，连接OE交BC于F，连接AD、OC、BE，根据垂直平分线的判定，弧、弦之间的关系，证明OD垂直平分AC，OE垂直平分BC，推出△CDG和△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，证明点C、D、E在同一直线上，证明△DEO是等腰直角三角形，推出，即可选择答案．
解：如图，记OD交AC于G，连接OE交BC于F，连接AD、OC、BE，
∵C是以AB为直径的半圆O上一点，
∴∠ACB＝90°，OA＝OC＝OB，
∴点O在AC的垂直平分线上，也在BC垂直平分线上，
∵AC，BC的中点分别为D，E，
∴AD＝CD，CE＝BE，
∴点D在AC的垂直平分线上，点E在BC垂直平分线上，
∴OD垂直平分AC，OE垂直平分BC，
∴点G和点F分别是AC和BC的中点，即点G和点F分别是以AC，BC为直径向外所作半圆的圆心，
∴DG＝CG，EF＝CF，
∴△CDG和△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CDO＝∠DCG＝∠ECF＝∠CEO＝45°，
∴∠DCG+∠ACB+∠ECF＝45°+90°+45°＝180°，即点C、D、E在同一直线上，
∴∠DOE＝180°﹣∠CDO﹣∠CEO＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△DEO是等腰直角三角形，
∴，
∴若要求出DE的长，只需知道OD的长即可．
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧、弦之间的关系，垂直平分线的判定，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过（m，0），（﹣3m，0），（0，1）三点，则a与b的关系正确的是（ ）
A．a＝b﹣1B．a＝﹣b﹣1C．3b2＝4aD．3b2＝﹣4a
【分析】把（0，1）代入y＝ax2+bx+c，求出c的值，判断（m，0），（﹣3m，0）是抛物线上的对称点，计算得出，把代入y＝ax2+bx+1，整理即可得出答案．
解：把（0，1）代入y＝ax2+bx+c，
得：c＝1，
∵（m，0），（﹣3m，0）纵坐标相等，
∴是抛物线上的对称点，
∴，
∴，
∴把代入y＝ax2+bx+1，得：，
整理得：3b2＝﹣4a，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称性计算是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．若抛物线的开口向上，则它的表达式可以是 y＝x2（答案不唯一） ．
【分析】根据抛物线的开口向上，可得二次项系数a＞0，写出一个符合的表达式即可．
解：∵抛物线的开口向上，
∴二次项系数a＞0
∴它的表达式可以是y＝x2，
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数图象开口方向与二次项系数的关系，熟记二次函数图象开口方向与二次项系数的关系是解题的关键．
12．在一个箱子里放有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．某数学兴趣小组一共做了4000次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，搅匀），摸到白球的次数为1000次，估计这个箱子里红球有 18 个．
【分析】由摸到白球的次数为1000次，计算摸到白球的概率，进而求出球的总个数，再用总个数减去白球的个数，得出红球的个数即可．
解：∵数学兴趣小组一共做了4000次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，搅匀），摸到白球的次数为1000次，
∴摸到白球的概率＝，
∴球的总个数＝（个），
∴红球的个数＝24﹣6＝18（个）．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
13．抛物线y＝x2+4x+3的对称轴是直线 x＝﹣2 ．
【分析】把抛物线y＝x2+4x+3化成顶点坐标形式求解即可．
解：抛物线y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
所以对称轴是直线x＝﹣2．
故答案为x＝﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉二次函数的顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，若点O到BC的距离为2，则BC的长为 4 ．
【分析】连接OB、OC，过点O作OM⊥BC于点M，根据圆周角定理求得∠BOC＝120°，然后结合等腰三角形三线合一的性质和含30°角的直角三角形的性质分析求解即可．
解：如图，连接OB、OC，过点O作OM⊥BC于点M，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，点O到BC的距离为2，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，OM＝2，
又∵OB＝OC，OM⊥BC，
∴，MB＝MC，
∴在Rt△COM中，∠OCM＝30°，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、含30°直角三角形的性质，理解相关性质定理正确推理计算是解题的关键．
15．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 6 米．
【分析】以直线OL作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点（0，2），设抛物线解析式为，将（0，2）代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将y＝0代入求解即可．
解：以直线OL作为y轴，以地面为x轴，
由题意可得，抛物线的顶点为，经过点（0，2），
∴设抛物线解析式为，
将（0，2）代入可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，
∴调高后的抛物线解析式为，即，
将y＝0代入得，，
整理得：（x﹣1）2＝25，
x＝±5+1，
解得：x1＝6，x2＝﹣4（舍去），
∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．
16．如图，AB是半圆O的直径，弦AC平行半径OD，连接CD，CD＝AO，将半圆O绕点A旋转，点O的对应点为O′，半圆O′交AB于点E，D，E，B′三点恰好在同一直线上时，若，则四边形AODC的面积为 32 ．
【分析】连接OC，根据等边三角形的判定，证明△CDO和△ACO是等边三角形，证明四边形AODC是菱形，根据勾股定理、含30°角的直角三角形的性质，设BE＝OE＝a，则半圆半径为2a，直径为4a，根据、BE2+B′E2＝B′B2，得出方程，求出a的值，得出AO、DE的长，根据菱形AODC的面积＝AO×DE计算即可．
解：如图，连接OC，
∵CD＝AO，
∴CD＝AO＝DO＝BO＝CO，
∴△CDO是等边三角形，
∴∠CDO＝∠DCO＝∠COD＝60°，
∵弦AC平行半径OD，
∴∠ACD＝180°﹣∠CDO＝120°，
∴∠ACO＝∠ACD﹣∠DCO＝120°﹣60°＝60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴AO＝AC＝DO＝DC，∠AOC＝60°，
∴四边形AODC是菱形，∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°，
∵AB′是半圆O′的直径，
∴∠AEB′＝90°，
∴D，E，B′三点恰好在同一直线上时，∠DEO＝90°，
∠ODE＝90°﹣∠DOE＝30°，
∴，
∴BE＝OE，
∴设BE＝OE＝a，则半圆半径为2a，直径为4a，
∴AE＝AO+OE＝2a+a＝3a，AB′＝4a，
∴B′E2＝B′A2﹣AE2＝（4a）2﹣（3a）2＝7a2，
∵，BE2+B′E2＝B′B2，
∴，
a2＝16，
∵a＞0，
∴a＝4，
∴AO＝2a＝8，OE＝4，，
∴菱形AODC的面积＝，
故答案为：．
【点评】本题是圆与四边形的综合题，主要考查了旋转的性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握知识点推理计算是解题的关键
三、解答题（本题有7小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．
（1）请用树状图或列表的方法，表示松鼠走出笼子的所有可能路线（经过的两道门）．
（2）求松鼠经过E门出去的概率．
【分析】（1）根据题意画出树状图即可；
（2）根据（1）所画的树状图确定松鼠走出笼子的所有可能路线结果数和松鼠经过E门出去的结果数，然后运用概率公式计算即可．
解：（1）根据题意画出树状图如下：
（2）根据（1）所得的树状图可知：松鼠走出笼子的所有可能路线结果数为6，松鼠经过E门出去的结果数为3，则松鼠经过E门出去的概率为．
【点评】本题主要考查了画树状图、根据树状图求概率等知识点，正确画出树状图是解答本题的关键．
18．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）请你判断饲养室的占地面积是否可能达到210m2，并说明理由．
【分析】（1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积＝长×宽计算即可；
（2）结合（1）列出关于x的一元二次方程，判断其解的情况即可．
解：（1）∵围墙的总长为50米，2间饲养室合计长x米，
∴饲养室的宽＝米，
∴总占地面积为y＝x•＝﹣x2+x，（0＜x＜50）；
（2）占地面积不可能达到210平方米，理由如下：
当两间饲养室占地总面积达到210平方米时，则﹣x2+x＝210，
即﹣x2+x﹣210＝0，
Δ＝（）2﹣4×（﹣）×（﹣210）＝﹣＜0，
∴此方程无解，
∴占地面积不可能达到210平方米．
【点评】此题主要考查了由实际问题列二次函数故选以及二次函数的最值问题和一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
19．如图，在7×7的方格中，△ABC是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求画图．
（1）在图中画一个格点三角形AB1C1，它是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到．
（2）在图中画一个格点三角形A2B2C2并标出点O的位置，△A2B2C2是由△ABC绕格点O旋转得到，且点B的对应点为B2．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）连接BB2，作线段BB2的垂直平分线，则点O在线段BB2的垂直平分线上，再结合旋转的性质作图即可．
解：（1）如图，△AB1C1即为所求．
（2）如图，点O'和△A'2B2C'2以及点O''和△A''2B2C''2均满足题意．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
20．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
【分析】（1）由垂径定理得CF＝DF，根据等腰三角形的性质可得AF＝BF，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接OC，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF2，
∴r2＝22+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求b，c的值及这个图象的顶点坐标．
（2）若点P（m，n）在该二次函数图象上，且到y轴的距离小于2，求n的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数解析式，求解方程组，得出b，c的值，根据二次函数顶点公式，计算即可得出顶点坐标；
（2）分别把把x＝﹣2和x＝2代入解析式y＝﹣x2+2x+3计算函数值，结合顶点坐标（1，4），根据点P（m，n）到y轴的距离小于2，写出n的取值范围即可．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴b的值为2，c的值为3，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴，，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）∵由（1）得二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴把x＝﹣2代入解析式，得：y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
把x＝2代入解析式，得：y＝﹣（2）2+2×2+3＝3，
∵若点P（m，n）在该二次函数图象上，且到y轴的距离小于2时，
∴﹣2＜m＜2，
又∵二次函数图象顶点坐标为（1，4），
∴﹣5＜n≤4．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、解二元一次方程组等，熟练掌握二次函数的图象与性质、计算求解是解题的关键．
22．根据背景素材，探索解决问题．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可；
任务2：作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作BD⊥AE于D，记圆心为O，连接CO、BO．观察图形，得出观察图形，CE、DB、DE的长，设OE＝a，则DO＝DE+OE＝5+a，根据勾股定理OB2＝DB2+OD2，OC2＝OE2+EC2，半径OB＝OC，得到方程（5+a）2+82＝a2+132，求解方程得出a＝8，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径．
解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，
根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水平距离有2.5块花岗岩的长，则2.5×2＝5（肘），
B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有5块花岗岩的宽，则5×1＝5（肘），
答：B，C两点之间的水平距离为5肘，铅垂距离（高度差）为5肘；
任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作BD⊥AE于D，记圆心为O，连接CO、BO，
观察图形，CE＝6.5×2＝13（肘），DB＝8（肘），DE＝5（肘），
∴设OE＝a，则DO＝DE+OE＝5+a，
∵OB2＝DB2+OD2，OC2＝OE2+EC2，OB＝OC，
∴（5+a）2+82＝a2+132，
解得：a＝8，
∴，
∴石拱桥拱圈的半径为肘．
答：石拱桥拱圈的半径为肘．
【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键．
23．如图1，四边形ABDE内接于⊙O，AB＝AE，点C在⊙O上，AC⊥BD于点F．
（1）连接BE，求证：∠ABE＝∠ACB．
（2）设∠CBF为x度，∠BAE为y度，写出y关于x的函数表达式．
（3）如图2，作OG⊥AC于点G，连接AO并延长交⊙O于点H．
①∠BAE＝120°，OG＝4，，求BD的长．
②若DE＝12，求OG的长．
【分析】（1）根据AB＝AE，得出＝，∠ABE＝∠AEB，根据圆周角定理得出∠ACB＝∠AEB，即可证明结论；
（2）根据∠CBF为x度，得出∠BCF＝90°﹣x，根据解析（1）可知，∠ABE＝∠AEB＝∠ACB＝90°﹣x，根据三角形内角和得出∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB；
（3）①连接OB、OE，CD，证明△ABO为等边三角形，得出AB＝OA＝OB，设FG＝x，则，根据勾股定理得出，求出，（舍去），得出，证明△ABF∽△DCF，得出，求出DF＝11，得出BD＝BF+DF＝3+11＝14；
②连接AD，CD，CH，根据AG＝CG，AO＝OH，得出OG∥CH，CH＝2OG，证明∠CAH＝∠EAD，求出CH＝DE＝12，即可求出结果．
【解答】（1）证明：∵AB＝AE，
∴＝，∠ABE＝∠AEB，
∴∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠ACB；
（2）解：∵AC⊥BD，
∴∠BFC＝90°，
∵设∠CBF为x度，
∴∠BCF＝90°﹣x，
根据解析（1）可知，∠ABE＝∠AEB＝∠ACB＝90°﹣x，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB
＝180°﹣2（90°﹣x）
＝2x，
即y＝2x；
（3）解：①连接OB、OE，CD，如图2.1所示：
∵∠BAE＝120°，＝，AH是直径，
∴＝，
∴，
∵AO＝BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
根据解析（2）可知，∠BAE＝2∠CBF，
∴，
∵AC⊥BD，
∴∠BFC＝∠AFB＝∠CFD＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠CBF＝30°，
∴，
设FG＝x，则，
∵OG⊥AC，
∴，
根据勾股定理得：，
，
∵OA2＝AB2，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∵＝，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠AFB＝∠CFD＝90°，
∴△ABF∽△DCF，
∴，
即，
解得：DF＝11，
∴BD＝BF+DF＝3+11＝14；
②连接AD，CD，CH，如图2.2，
∵AG＝CG，AO＝OH，
∴OG∥CH，CH＝2OG，
∴∠ACH＝∠AGO＝90°，
∴∠ACH＝∠AFD＝90°，
∴BD∥CH，
∴∠BDC＝∠DCH，
∵＝，＝，
∴∠DCH＝∠DAH，∠BDC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠DAH，
∵＝，
∴∠BAO＝∠EAO，
∴∠CAH＝∠EAD，
∴CH＝DE＝12，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练相关的判定和性质．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1
某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．
素材2
通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3
如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．
问题解决
任务1
获取数据
通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2
分析计算
通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1
某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．
素材2
通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3
如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．
问题解决
任务1
获取数据
通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2
分析计算
通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．