2023-2024学年广西河池市宜州区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西河池市宜州区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+xy+2＝0B．
C．x2+x+1＝0D．ax2+bx+c＝0
3．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（ ）
A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1
C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝
4．解方程（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0的最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．因式分解法
5．要得到抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
6．抛物线y＝x2+1的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．平面直角坐标系内，与点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
8．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝756D．x（x+1）＝756
9．如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝3，x2＝1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4＝0B．x2﹣4x+3＝0C．x2+4x﹣3＝0D．x2+3x﹣4＝0
10．如图，将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A′BC′D′，AD与C′D′交于点M，那么图中点M的坐标为（ ）
A．B．C．D．
11．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（ ）
A．0.7B．0.9C．2D．2.1
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④对于方程ax2+bx+c﹣2＝0，有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．①②B．①②④C．③④D．①②③④
二、填空题（每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上对应的区域内。）
13．一元二次方程x2﹣2＝4x的一次项是 ．
14．正五形绕其中心至少旋转 度后能与自身重合．
15．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是 ．
16．关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
17．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的大小是 °．
18．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请将解答写在答题卡上对应的区域内。）
19．解下列方程：
（1）x2+10x+21＝0；
（2）x2﹣x﹣1＝0
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
21．已知关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
22．已知抛物线．
（1）写出该抛物线的开口方向、对称轴．
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值．
（3）设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y对应的部分对应值如表：
（1）表中的m＝ ，解析式中的c＝ ；
（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1 y2（填“＜”或“＞”或“＝”）；
（3）当y＜0时，x的取值范围是 ；
（4）关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为 ．
24．某商城在2023年国庆节期间促销海尔冰箱，每台进货价2500元，标价3000元．
（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户商城将连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为3000元时，平均每天能售出10台，当每台售价降100元时，平均每天就能多售出5台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到6000元，且让顾客得到实惠，则每台冰箱应降价多少元？
25．阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式x2+2x﹣3的最小值．
解：x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x2+2x+12）﹣4＝（x+1）2﹣4．
∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2﹣4≥﹣4，
∴当x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值为﹣4．
再例如：求代数式﹣x2+4x﹣1的最大值．
解：﹣x2+4x﹣1＝﹣（x2﹣4x+1）＝﹣（x2﹣4x+22﹣22+1）
＝﹣[（x2﹣4x+22）﹣3]＝﹣（x﹣2）2+3
∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+3≤3．
∴当x＝2时，﹣x2+4x﹣1的最大值为3．
（1）【直接应用】代数式x2+4x+3的最小值为 ；
（2）【类比应用】若M＝a2+b2﹣2a+4b+2023，试求M的最小值；
（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20m的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
26．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶点，且这两个正方形边长相等．OE与BC相交于点M，OG与CD相交于点N．
（1）求证：△OBM≌△OCN；
（2）嘉琪说：当正方形EFGO绕点O转动，且OE与BC垂直时，四边形OMCN的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由；
（3）若正方形ABCD的边长为a，用含a的代数式表示两个正方形重叠部分的面积为 ．
参考答案
一、选择题（每小题中只有一个选项符合要求，每小题3分，共36分。）
1．下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+xy+2＝0B．
C．x2+x+1＝0D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x2+xy+2＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x2+x+1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．
3．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（ ）
A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1
C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝
【分析】根据配方法即可求出答案．
解：y2﹣y﹣＝0
y2﹣y＝
y2﹣y+＝1
（y﹣）2＝1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
4．解方程（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0的最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．因式分解法
【分析】利用因式分解法很容易把方程转化为x﹣1＝0或x﹣4＝0．
解：（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
x﹣1＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝1，x2＝4．
所以此方程利用因式分解法最适当．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法、配方法．
5．要得到抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（3，﹣2），由此确定平移规律．
解：∵抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），
∴平移的方法可以是向右平移3个单位，再向下平移2个单位．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
6．抛物线y＝x2+1的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴，直接判断．
解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C．
【点评】应熟练掌握二次函数的图象与性质．
7．平面直角坐标系内，与点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
解：与点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝756D．x（x+1）＝756
【分析】利用发信息的总数＝QQ群里好友的人数×（QQ群里好友的人数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意得：x（x﹣1）＝756．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝3，x2＝1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4＝0B．x2﹣4x+3＝0C．x2+4x﹣3＝0D．x2+3x﹣4＝0
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝3，x2＝1，
∴3+1＝﹣p，3×1＝q，
∴p＝﹣4，q＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
10．如图，将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A′BC′D′，AD与C′D′交于点M，那么图中点M的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由正方形和旋转的性质得出，∠BAM＝∠BC′M＝90°，证出Rt△ABM≌Rt△C′BM（HL），得出∠1＝∠2，求出∠1＝∠2＝30°，在Rt△ABM中，求出AM＝1即可．
解：∵四边形ABCD是边长为的正方形，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A′BC′D′，
∴，∠BAM＝∠BC′M＝90°，
在Rt△ABM和Rt△C′BM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△C′BM（HL），
∴∠1＝∠2，
∵将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，
∴∠CBC′＝30°，
∴∠1＝∠2＝30°，
在Rt△ABM中，，
∴，
∴AM＝1，
∴点M的坐标为，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（ ）
A．0.7B．0.9C．2D．2.1
【分析】利用x＝﹣1时，y＜2和当x＝2时，y＞3得到a的范围，然后对各选项进行判断．
解：∵x＝﹣1时，y＜2，即a＜2；
当x＝2时，y＞3，即4a＞3，解得a＞，
所以＜a＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④对于方程ax2+bx+c﹣2＝0，有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．①②B．①②④C．③④D．①②③④
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，即a＝﹣，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴ax2+bx+c﹣2＝0，ax2+bx+c＝2，
y＝2时由两个x的值，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上对应的区域内。）
13．一元二次方程x2﹣2＝4x的一次项是 ﹣4x ．
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项进行解答．
解：x2﹣2＝4x，
x2﹣4x﹣2＝0，
所以一次项是﹣4x，
故答案为：﹣4x．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是把一元二次方程化成一般形式．
14．正五形绕其中心至少旋转 72 度后能与自身重合．
【分析】根据圆周角为360°，五角星把周角分为了相同的五部分，结合旋转的定义，利用以上内容，问题即可解答．
解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，所以五形绕其中心至少旋转72度后能与自身重合．
故答案为：72．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，掌握旋转的定义是解题的关键．
15．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是 （1，3） ．
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解：y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．
故答案为（1，3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
16．关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 9 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
17．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的大小是 50 °．
【分析】证明∠ABD＝∠ADB＝∠ADE＝65°，可得结论．
解：设AC交DE于点O．
∵DE⊥AC，
∴∠AOD＝90°，
∵∠CAD＝25°，
∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠ADE＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 ﹣1或 ．
【分析】先求出而二次函数的对称轴，再分a≤﹣1，﹣1＜a＜2，a≥2三种情况讨论，根据函数最大值时列方程求出a的值．
解：二次函数y＝x2﹣2ax﹣2的对称轴为x＝﹣＝a，
由题意，分以下三种情况：
（1）当a≤﹣1时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y取得最大值，最大值为4﹣4a﹣2＝2﹣4a，
∴2﹣4a＝6，
解得：a＝﹣1，符合题设；
（2）当﹣1＜a＜2时，
在﹣1≤x≤2内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而减小，
当a＜x≤2时，y随x的增大而增大，
则当x＝﹣1或x＝2时，y取得最大值，
因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6，
解得：a＝或a＝﹣1 （均不符题设，舍去）；
（3）当a≥2时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为1+2a﹣2＝2a﹣1，
因此有2a﹣1＝6，解得a＝，符合题设；
综上，a＝﹣1或a＝．
故答案为：﹣1或．
【点评】本题考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请将解答写在答题卡上对应的区域内。）
19．解下列方程：
（1）x2+10x+21＝0；
（2）x2﹣x﹣1＝0
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用求根公式法解方程．
解：（1）（x+3）（x+7）＝0，
x+3＝0或x+7＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣7；
（2）△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
A2（1，5）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
21．已知关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
解：（1）∵（m﹣1）x2+x﹣2＝0，
∴此方程是一元一次方程，则m﹣1＝0，
解得m＝1．
即m＝1时，此方程是一元一次方程；
（2）∵（m＝1）x2+x＝2＝0，
此方程是一元二次方程，则﹣1≠0，
解得m≠1．
即m≠1时，此方程是一元一次方程．
【点评】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
22．已知抛物线．
（1）写出该抛物线的开口方向、对称轴．
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值．
（3）设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标．
【分析】（1）根据函数表达式即可解决问题．
（2）由抛物线开口向上，结合函数表达式解决问题．
（3）令x＝0即可．
解：（1）∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；
（2）∵ 且顶点坐标为（1，﹣2）
∴函数y有最小值，最小值为﹣2．
（3）在 中，令x＝0，则y＝（0﹣1）2﹣2＝﹣，
∴P（0，﹣）．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和最值，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y对应的部分对应值如表：
（1）表中的m＝ 5 ，解析式中的c＝ ﹣3 ；
（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1 ＞ y2（填“＜”或“＞”或“＝”）；
（3）当y＜0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ；
（4）关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为 x1＝﹣2，x2＝4 ．
【分析】（1）根据表格数据确定函数的对称轴，根据函数图象对称性即可求解；
（2）根据两点距离对称轴的远近进行判断即可；
（3）根据函数有最小值，开口向上，与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0）来判断当y＜0时，x的取值范围；
（4）令函数值等于5，看图表数据直接得出方程的解．
解：（1）根据表格数据，x＝1是抛物线的对称轴，点（﹣2，5）和点（4，m）关于x＝1对称，
∴m＝5，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
故答案为：5，﹣3；
（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）距离对称轴越远，函数值越大，
1﹣（﹣3）＝4；2﹣1＝1，
∵4＞1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞；
（3）函数有最小值，开口向上，与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0）
∴当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3；
（4）由图表可知，当x＝﹣2或4时，y＝5，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝4，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
24．某商城在2023年国庆节期间促销海尔冰箱，每台进货价2500元，标价3000元．
（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户商城将连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为3000元时，平均每天能售出10台，当每台售价降100元时，平均每天就能多售出5台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到6000元，且让顾客得到实惠，则每台冰箱应降价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数＝6000元，即可列方程求解．
解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意，得
3000（1﹣x）2＝2430，
解得 x1＝0，1＝10%，x2＝1.9 （不符合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设每台冰箱应降价y元，由题意得：
，
解得 y1＝100，y2＝200，
∵让顾客得到实惠，
∴y＝200．
答：每台冰箱应降价200元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
25．阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式x2+2x﹣3的最小值．
解：x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x2+2x+12）﹣4＝（x+1）2﹣4．
∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2﹣4≥﹣4，
∴当x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值为﹣4．
再例如：求代数式﹣x2+4x﹣1的最大值．
解：﹣x2+4x﹣1＝﹣（x2﹣4x+1）＝﹣（x2﹣4x+22﹣22+1）
＝﹣[（x2﹣4x+22）﹣3]＝﹣（x﹣2）2+3
∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+3≤3．
∴当x＝2时，﹣x2+4x﹣1的最大值为3．
（1）【直接应用】代数式x2+4x+3的最小值为 ﹣1 ；
（2）【类比应用】若M＝a2+b2﹣2a+4b+2023，试求M的最小值；
（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20m的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
【分析】（1）利用配方法，将原式变形为（x+2）2﹣1，结合（x+2）2≥0，可得出原式≥1，进而可得出原式的最小值；
（2）利用配方法，将原式变形为（a﹣1）2+（b+2）2+2018，结合（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，可得出M≥2018，进而可得出M的最小值；
（3）设垂直于墙的一边长为xm，围成的菜地的面积为S，则平行于墙的一边长为（20﹣2x）m，利用长方形的面积公式，可得出S关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1，
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2﹣1≥﹣1，
∴代数式x2+4x+3的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1；
（2）M＝a2+b2﹣2a+4b+2023
＝a2﹣2a+b2+4b+2023
＝a2﹣2a+12+b2+4b+22+2018
＝（a﹣1）2+（b+2）2+2018，
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+2）2+2018≥2018，
∴M的最小值为2018；
（3）设垂直于墙的一边长为xm，围成的菜地的面积为S，则平行于墙的一边长为（20﹣2x）m，
根据题意得：S＝（20﹣2x）x
＝﹣2x2+20x
＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，S取得最大值，最大值为50，
答：围成的菜地的最大面积为50m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及完全平方公式，解题的关键是：（1）利用配方法，将原式变形为（x+2）2﹣1；（2）利用配方法，将原式变形为（a﹣1）2+（b+2）2+2018；（3）根据各数量之间的关系，找出S关于x的二次函数关系式．
26．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶点，且这两个正方形边长相等．OE与BC相交于点M，OG与CD相交于点N．
（1）求证：△OBM≌△OCN；
（2）嘉琪说：当正方形EFGO绕点O转动，且OE与BC垂直时，四边形OMCN的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由；
（3）若正方形ABCD的边长为a，用含a的代数式表示两个正方形重叠部分的面积为 ．
【分析】（1）由四边形ABCD与EFGO均为正方形，得∠OBM＝∠OCN＝45°，OB＝OC，OB⊥OC，∠EOG＝90°，进而有∠BOM＝∠CON，于是即可证明结论成立；
（2）证明四边形OMCN的面积总等于正方形面积的 即可；
（3）由（2）即可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD与EFGO均为正方形，
∴∠OBM＝∠OCN＝45°，OB＝OC，OB⊥OC，∠EOG＝90°，
∴∠BOC＝∠EOG＝90° N，
∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，即∠BOM＝∠CON，
∴△OBM≌△OCN（ASA）．
（2）解：不同意，理由：
由（1）可知：△OBM⊆△OCN，
∴S△OBM＝S△OCN，
∴S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S正方形ABCD，
即当正方形EFGO绕点O转动时，四边形OMCN的面积总等于正方形面积的．
（3）解：∵S四边形OMCN＝S正方形ABCD，正方形ABCD的边长为a，
∴S四边形OMCN＝a2，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到△OBM≌△OCN是解题的关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
…