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2022-2023学年河南省郑州九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省郑州九年级（上）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．负数是表示生活中互为相反的两个方向上数量发生改变而产生的一种计数方式．﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣2022B．2022C．D．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的一种展开图，那么在原正方体中（ ）
A．发B．展C．飞D．速
3．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，∠AOD＝125°．则∠EOC的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．（﹣a2）3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2（b≠0）D．3xy﹣2yx＝xy
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E是边AB的中点，连接OE．若BD＝6，则线段OE的长为（ ）
A．B．3C．4D．5
6．关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
7．某超市销售A，B，C，D四种品牌的冷饮，某天的销售情况如图所示（ ）
A．A品牌B．B品牌C．C品牌D．D品牌
8．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A．0.2022×1014B．20.22×1012
C．2.022×1013D．2.022×1014
9．如图，已知等边三角形OAB，顶点O（0，0），B（1，0），每次旋转90°，则第2022次旋转结束时（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，连接AC，以对角线AC为边1B1，使矩形ACC1B1～矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2～矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作S1，矩形ACC1B1的面积记作S2，矩形AC1C2B2的面积记作S3，…，则S2021的值为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个函数解析式 ，使它符合条件“当x＞0时，y随x的增大而增大”．
12．不等式组的解集是 ．
13．2022年北京冬奥会有很多的创新，尤其是颁奖的花束，并没有使用鲜花，有着很好的寓意，若把玫瑰、月季、铃兰、以及月桂这四朵绒花分别装在四个一样的小盒子里，则拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率是 ．
14．如图，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，使得OG＝ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I△NOI的值为 ．
15．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，其中点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'．在旋转过程中，A'C的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算；
（2）化简：．
17．2021年5月15日，“天问一号”成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着我国首次火星探测任务着陆火星取得成功．为增加学生对火星的了解，对八、九年级学生进行了火星知识测试，并随机从各年级抽取20名学生（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息（说明：数据被分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100；成绩在80分及以上为优秀，70﹣79分为良好，60﹣69分为合格，60分以下为不合格）．
信息一：八年级学生成绩的频数分布直方图，如图：
信息二：八年级学生成绩在60≤x＜70这一组的具体成绩是：61，62，63，63，64，63，63
信息三：九年级学生成绩的平均数中位数、众数、优秀率如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据上述信息，推断哪个年级学生测试成绩更好，请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（2）若九年级有900名学生都参加了此次测试，估计九年级学生中成绩达到优秀的有 名；
（3）请对该校学生火星知识测试的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，5），B（2，1），C（6，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找一点P，使PB+PC的值最小（保留作图痕迹），并写出点P的坐标．
19．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
（1）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小敏 ，小霞 ；
（2）写出你的解答过程．
20．临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同
（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如下所示）
21．阅读下列材料：
解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①，
解这个方程得：y1＝1，y2＝5．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝5时，x2＝5，∴x＝±
所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为 ；
（2）利用换元法解方程：＝2．
22．如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数y＝（2，a），B（b，﹣）两点．
（1）求A，B两点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）请结合图象直接写出x+3＞的解集；
（3）直线y＝x+3交y轴于点C，交x轴于点D，若∠CMD＝∠OCD
23．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系： ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；
③求证：四边形BGHM是菱形．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．负数是表示生活中互为相反的两个方向上数量发生改变而产生的一种计数方式．﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣2022B．2022C．D．
【答案】B
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
解：﹣2022的相反数是2022，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的一种展开图，那么在原正方体中（ ）
A．发B．展C．飞D．速
【答案】D
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
解：在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是速，
故选：D．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，∠AOD＝125°．则∠EOC的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【答案】C
【分析】根据对顶角的性质和垂线的性质解答即可．
解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∵∠BOC＝∠AOD＝125°，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠EOB＝125°﹣90°＝35°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了对顶角的性质和垂线的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．（﹣a2）3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2（b≠0）D．3xy﹣2yx＝xy
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减法法则、幂的乘方法则、完全平方公式、合并同类项法则，逐个计算得结论．
解：A．≠6；
B．（﹣a2）3＝﹣a7≠a6，故选项B计算错误；
C．（a﹣b）2＝a7﹣2ab+b2≠a6﹣b2，故选项C计算错误；
D．3xy﹣6yx＝3xy﹣2xy＝xy．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则、公式是解决本题的关键．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E是边AB的中点，连接OE．若BD＝6，则线段OE的长为（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可求出OE．
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝BD＝，OA＝OC＝×2＝4，
在Rt△BOC中，
由勾股定理得，BC＝＝，
又∵点E为AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，根据菱形的性质和勾股定理求出BC是解题的关键．
6．关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【答案】A
【分析】先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣3）＝m2+24＞4，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．某超市销售A，B，C，D四种品牌的冷饮，某天的销售情况如图所示（ ）
A．A品牌B．B品牌C．C品牌D．D品牌
【答案】C
【分析】根据扇形统计图中四种品牌冷饮所占百分比可得答案．
解：由扇形统计图知，C品牌冷饮所占百分比最多，
所以该超市应多进的冷饮品牌是C品牌，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是从扇形统计图得出C品牌冷饮所占百分比最多．
8．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A．0.2022×1014B．20.22×1012
C．2.022×1013D．2.022×1014
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．
解：100亿＝1010，
1010×2022＝2.022×1013，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．要注意：1亿＝108．
9．如图，已知等边三角形OAB，顶点O（0，0），B（1，0），每次旋转90°，则第2022次旋转结束时（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°知：旋转周期为4知点A旋转2022次后的坐标，相当于△OAB绕点O顺时针旋转2次，再结合图形得出点A旋转2次后的坐标即可得．
解：∵2021＝4×505+1，2022＝7×505+2
∴每4次一个循环，第2021次绕原点O顺时针旋转结束时，即与原来的A刚好关于原点对称，
∵O（2，0），0），
∴等边三角形OAB的边长为7，
过A作AM⊥OB于M点，
在等边三角形OAB中：AM⊥OB，
∴，
∴，
∴，
∴关于原点对称的点为：，
∴第2022次旋转结束时，顶点A的坐标为．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，连接AC，以对角线AC为边1B1，使矩形ACC1B1～矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2～矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作S1，矩形ACC1B1的面积记作S2，矩形AC1C2B2的面积记作S3，…，则S2021的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，再利用相似多边形的性质可发现规律，然后根据规律即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴AC＝＝＝2，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB6C1C，
∴矩形AB1C4C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB4C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵S1＝2×5＝8，S2＝4×，S5＝8×（）2，…
∴S2020＝8×（）2019，S2021＝8×（）2020，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个函数解析式 y＝2x+3 ，使它符合条件“当x＞0时，y随x的增大而增大”．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据y随x的增大而增大可得k＞0，写一个一次函数即可．
解：∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴y＝2x+8，
故答案为：y＝2x+3．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大．
12．不等式组的解集是 x＞8 ．
【答案】x＞8．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x﹣3＞5得：x＞3，
由2x+6≥2得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为x＞8，
故答案为：x＞8．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．2022年北京冬奥会有很多的创新，尤其是颁奖的花束，并没有使用鲜花，有着很好的寓意，若把玫瑰、月季、铃兰、以及月桂这四朵绒花分别装在四个一样的小盒子里，则拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率是 ．
【答案】．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：玫瑰、月季、B、C、D表示，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的结果有2种，
∴拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，使得OG＝ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I△NOI的值为 5 ．
【答案】5．
【分析】先根据黄金分割比定义分两种情况：
①当PH＞NH时，由题意，
②当NH＞PH中，则，，分别利用相似三角形的性质及勾股定理求解即可．
解：①当PH＞NH时，由题意，
设ON＝OG＝x，则，
∵∠OPN＝90°，
∴，
∴，
∴OP＝2，OQ＝2，
∵∠OPN＝∠Q＝∠NQI＝90°，
∴∠NOP+∠QOI＝90°，∠NOP+∠PNO＝90°，
∴∠QOI＝∠PNO，
∴△OQI∽△NPO，
∴，
∴，
∴，
∴．
②当NH＞PH中，则，，
设ON＝OG＝y，则，
∵∠OPN＝90°，
∴，
∴y＝8，
∴（不符合题意，
综上所述，△NOI的面积为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质；解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
15．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，其中点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'．在旋转过程中，A'C的长为 或 ．
【答案】或．
【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得A'N＝，CN＝A'N＝A'C，由勾股定理可求解．
解：当点A'在点C的下方时，如图，交BC的延长线于N，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，
∴BD＝CD＝1，∠CAD＝30°＝∠BCE，
∵将△ADC绕点D顺时针旋转得到△A'DC'，
∴AD＝A'D＝，
∵∠A'CN＝∠BCE＝30°，A'N⊥BC，
∴A'N＝，CN＝A'C，
∵A'D3＝DN2+A'N2，
∴8＝（1+A'C）2+A'C2，
∴A'C＝﹣（舍去）或，
当点A'在点E的上方时，同理可求A'C＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算；
（2）化简：．
【答案】（1）﹣4；
（2）．
【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂、立方根，去绝对值，再算加减即可；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分即可．
解：（1）原式＝﹣2+1﹣2
＝﹣4；
（2）原式＝÷
＝•
＝．
【点评】本题考查实数运算、分式运算，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的相关法则．
17．2021年5月15日，“天问一号”成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着我国首次火星探测任务着陆火星取得成功．为增加学生对火星的了解，对八、九年级学生进行了火星知识测试，并随机从各年级抽取20名学生（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息（说明：数据被分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100；成绩在80分及以上为优秀，70﹣79分为良好，60﹣69分为合格，60分以下为不合格）．
信息一：八年级学生成绩的频数分布直方图，如图：
信息二：八年级学生成绩在60≤x＜70这一组的具体成绩是：61，62，63，63，64，63，63
信息三：九年级学生成绩的平均数中位数、众数、优秀率如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据上述信息，推断哪个年级学生测试成绩更好，请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（2）若九年级有900名学生都参加了此次测试，估计九年级学生中成绩达到优秀的有 270 名；
（3）请对该校学生火星知识测试的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【答案】（1）九年级学生的测试成绩更好一些，因为九年级学生测试成绩的中位数、众数、优秀率均大于八年级；
（2）270；
（3）见解答．
【分析】（1）求出班级成绩的众数，中位数与优秀率，再与九年级的成绩作比较即可；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据（1）的数据解答即可．
解：（1）由信息二可知，八年级成绩众数是73；
八年级的中位数是第10、11位数分别是74，
∴八年级测试成绩的中位数为，
八年级学生测试成绩达到优秀的有5人，优秀率为；
∵九年级学生测试成绩的中位数、众数，
∴九年级学生的测试成绩更好一些；
（2）900×30%＝270（人）；
即估计九年级学生中成绩达到优秀的有270人．
故答案为：270；
（3）例如：该校大部分学生对火星知识的测试成绩不理想；建议①：该校各学科授课老师要引导学生多加关注我们社会主义建设的新成果；建议②：建议学生多关注我们前沿科技的相关知识．
【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、加权平均数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，5），B（2，1），C（6，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找一点P，使PB+PC的值最小（保留作图痕迹），并写出点P的坐标．
【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答；（4，0）．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）找到点B关于x轴的对称点B′，连接B′C交x轴于点P，即可使PB+PC的值最小．
解：（1）△A1B1C5如图所示．
（2）点P如图所示；点P的坐标为（4．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
（1）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小敏 × ，小霞 × ；
（2）写出你的解答过程．
【答案】（1）×；×；
（2）x1＝3，x2＝6．
【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
解：（1）小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况，所以×；
小霞：提取公因式时出现了错误，所以×；
故答案为：×；×；
（2）正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）5＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（4﹣x+3）＝0．
则x﹣6＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝4，x2＝6．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
20．临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同
（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如下所示）
【答案】（1）每支2B涂卡铅笔的进价为3元，每支0.5mm黑色水笔的进价为2元；
（2）该商店应购进100支2B涂卡铅笔，260支0.5mm黑色水笔才能使利润最大，最大利润是230元．
【分析】（1）设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支2B涂卡铅笔的进价为（x+1）元，利用数量＝总价÷单价，结合用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每支0.5mm黑色水笔的进价，再将其代入（x+1）中即可求出每支2B涂卡铅笔的进价；
（2）设购进m支2B涂卡铅笔，则购进（2m+60）支0.5mm黑色水笔，根据购进两种笔的总数量不超过360支，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围，设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每支笔的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支4B涂卡铅笔的进价为（x+1）元，
依题意得：＝，
解得：x＝7，
经检验，x＝2是原方程的解，
∴x+1＝5+1＝3．
答：每支6B涂卡铅笔的进价为3元，每支0.7mm黑色水笔的进价为2元．
（2）设购进m支2B涂卡铅笔，则购进（6m+60）支0.5mm黑色水笔，
依题意得：m+4m+60≤360，
解得：m≤100．
设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（4﹣3）m+（2.5﹣2）（2m+60）＝2m+30，
∵2＞6，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝100时，w取得最大值，此时2m+60＝2×100+60＝260．
答：该商店应购进100支7B涂卡铅笔，260支0.5mm黑色水笔才能使利润最大．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21．阅读下列材料：
解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①，
解这个方程得：y1＝1，y2＝5．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝5时，x2＝5，∴x＝±
所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为 y2﹣4y﹣12＝0 ；
（2）利用换元法解方程：＝2．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接代入得结果；
（2）设y＝把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值．
解：（1）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣6y﹣12＝0．
故答案为：y2﹣3y﹣12＝0
（2）设y＝，则＝，
原方程变形为：+y﹣2＝0
去分母，得y2﹣2y+1＝2，
即（y﹣1）2＝2
解得，y1＝y2＝4
经检验，y＝1是分式方程的根．
所以＝1
即x3﹣2x﹣4＝2
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
经检验，1±．
所以原分式方程的解为：x3＝1+，x7＝1﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．
22．如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数y＝（2，a），B（b，﹣）两点．
（1）求A，B两点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）请结合图象直接写出x+3＞的解集；
（3）直线y＝x+3交y轴于点C，交x轴于点D，若∠CMD＝∠OCD
【答案】（1）A（2，），B（﹣6，﹣），反比例函数的解析式为y＝；
（2）﹣6＜x＜0或x＞2；
（3）（0，8）或（0，﹣8）．
【分析】（1）将点A，B坐标代入一次函数和反比例函数的解析式中，求出点A，B坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出答案；
（2）根据图象直接得出结论；
（3）分两种情况：当点M在点C上方时，利用等腰三角形的性质确定出点M的坐标，当点M在点C下方时，利用对称性得出答案．
解：（1）∵点A（2，a）在一次函数y＝，
∴a＝×7+3＝，
∴A（2，），
∵点B（b，﹣）在一次函数y＝，
∴﹣＝b+3，
∴b＝﹣6，
∴B（﹣6，﹣），
∵点A（2，）在反比例函数y＝，
∴k＝2×＝9，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）知，点A（2，），﹣），
由图象知，x+3＞；
（3）针对于一次函数y＝x+3，
令x＝2，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则x+3＝0，
∴x＝﹣8，
∴D（﹣4，0），
∴CD＝5，
当点M在点C上方时，
在点C上方取一点M，使CM＝CD＝5，∠CMD＝，
∴OM＝OC+CD＝8，
∴M（0，6），
当点M在点C下方时，由对称性得，﹣8），
即满足条件的点M（0，3）或（0．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，找出点M的位置是解（3）的关键．
23．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系： BE＝BN ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；
③求证：四边形BGHM是菱形．
【答案】①BE＝BN；
②∠ABM＝30°；
③证明见解答过程．
【分析】①根据折叠的性质可得BE＝AB，AB＝BN，即可得BE＝BN；
②根据折叠的性质可得∠BEN＝∠AEN＝90°，由BE＝BN可得∠BNE＝30°，根据直角三角形的两锐角互余得∠ABN＝60°，根据折叠的性质即可得出∠ABM＝∠ABN＝30°；
③由②得∠ABM＝30°，根据矩形的性质∠A＝∠ABC＝90°，∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，可得△BMG是等边三角形，则BM＝BG，由折叠得BM＝MH，BG＝GH，可得出BM＝MH＝BG＝GH，即可得出四边形BGHM是菱形．
【解答】①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴BE＝AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，得到折痕BM．
∴AB＝BN，
∴BE＝BN，
故答案为：BE＝BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．
【点评】本题考查四边形综合题、直角三角形的性质、矩形的性质、菱形的判定等知识，正确的理解题意是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．平均数
中位数
众数
优秀率
74
76
78
30%
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
为期末加油！
2B涂卡铅笔
4元/支
0.5mm黑色水笔
2.5元/支
平均数
中位数
众数
优秀率
74
76
78
30%
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
为期末加油！
2B涂卡铅笔
4元/支
0.5mm黑色水笔
2.5元/支
1．负数是表示生活中互为相反的两个方向上数量发生改变而产生的一种计数方式．﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣2022B．2022C．D．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的一种展开图，那么在原正方体中（ ）
A．发B．展C．飞D．速
3．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，∠AOD＝125°．则∠EOC的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．（﹣a2）3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2（b≠0）D．3xy﹣2yx＝xy
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E是边AB的中点，连接OE．若BD＝6，则线段OE的长为（ ）
A．B．3C．4D．5
6．关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
7．某超市销售A，B，C，D四种品牌的冷饮，某天的销售情况如图所示（ ）
A．A品牌B．B品牌C．C品牌D．D品牌
8．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A．0.2022×1014B．20.22×1012
C．2.022×1013D．2.022×1014
9．如图，已知等边三角形OAB，顶点O（0，0），B（1，0），每次旋转90°，则第2022次旋转结束时（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，连接AC，以对角线AC为边1B1，使矩形ACC1B1～矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2～矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作S1，矩形ACC1B1的面积记作S2，矩形AC1C2B2的面积记作S3，…，则S2021的值为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个函数解析式 ，使它符合条件“当x＞0时，y随x的增大而增大”．
12．不等式组的解集是 ．
13．2022年北京冬奥会有很多的创新，尤其是颁奖的花束，并没有使用鲜花，有着很好的寓意，若把玫瑰、月季、铃兰、以及月桂这四朵绒花分别装在四个一样的小盒子里，则拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率是 ．
14．如图，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，使得OG＝ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I△NOI的值为 ．
15．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，其中点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'．在旋转过程中，A'C的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算；
（2）化简：．
17．2021年5月15日，“天问一号”成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着我国首次火星探测任务着陆火星取得成功．为增加学生对火星的了解，对八、九年级学生进行了火星知识测试，并随机从各年级抽取20名学生（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息（说明：数据被分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100；成绩在80分及以上为优秀，70﹣79分为良好，60﹣69分为合格，60分以下为不合格）．
信息一：八年级学生成绩的频数分布直方图，如图：
信息二：八年级学生成绩在60≤x＜70这一组的具体成绩是：61，62，63，63，64，63，63
信息三：九年级学生成绩的平均数中位数、众数、优秀率如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据上述信息，推断哪个年级学生测试成绩更好，请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（2）若九年级有900名学生都参加了此次测试，估计九年级学生中成绩达到优秀的有 名；
（3）请对该校学生火星知识测试的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，5），B（2，1），C（6，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找一点P，使PB+PC的值最小（保留作图痕迹），并写出点P的坐标．
19．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
（1）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小敏 ，小霞 ；
（2）写出你的解答过程．
20．临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同
（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如下所示）
21．阅读下列材料：
解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①，
解这个方程得：y1＝1，y2＝5．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝5时，x2＝5，∴x＝±
所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为 ；
（2）利用换元法解方程：＝2．
22．如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数y＝（2，a），B（b，﹣）两点．
（1）求A，B两点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）请结合图象直接写出x+3＞的解集；
（3）直线y＝x+3交y轴于点C，交x轴于点D，若∠CMD＝∠OCD
23．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系： ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；
③求证：四边形BGHM是菱形．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．负数是表示生活中互为相反的两个方向上数量发生改变而产生的一种计数方式．﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣2022B．2022C．D．
【答案】B
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
解：﹣2022的相反数是2022，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的一种展开图，那么在原正方体中（ ）
A．发B．展C．飞D．速
【答案】D
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
解：在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是速，
故选：D．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，∠AOD＝125°．则∠EOC的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【答案】C
【分析】根据对顶角的性质和垂线的性质解答即可．
解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∵∠BOC＝∠AOD＝125°，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠EOB＝125°﹣90°＝35°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了对顶角的性质和垂线的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．（﹣a2）3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2（b≠0）D．3xy﹣2yx＝xy
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减法法则、幂的乘方法则、完全平方公式、合并同类项法则，逐个计算得结论．
解：A．≠6；
B．（﹣a2）3＝﹣a7≠a6，故选项B计算错误；
C．（a﹣b）2＝a7﹣2ab+b2≠a6﹣b2，故选项C计算错误；
D．3xy﹣6yx＝3xy﹣2xy＝xy．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则、公式是解决本题的关键．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E是边AB的中点，连接OE．若BD＝6，则线段OE的长为（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可求出OE．
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝BD＝，OA＝OC＝×2＝4，
在Rt△BOC中，
由勾股定理得，BC＝＝，
又∵点E为AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，根据菱形的性质和勾股定理求出BC是解题的关键．
6．关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【答案】A
【分析】先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣3）＝m2+24＞4，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．某超市销售A，B，C，D四种品牌的冷饮，某天的销售情况如图所示（ ）
A．A品牌B．B品牌C．C品牌D．D品牌
【答案】C
【分析】根据扇形统计图中四种品牌冷饮所占百分比可得答案．
解：由扇形统计图知，C品牌冷饮所占百分比最多，
所以该超市应多进的冷饮品牌是C品牌，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是从扇形统计图得出C品牌冷饮所占百分比最多．
8．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A．0.2022×1014B．20.22×1012
C．2.022×1013D．2.022×1014
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．
解：100亿＝1010，
1010×2022＝2.022×1013，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．要注意：1亿＝108．
9．如图，已知等边三角形OAB，顶点O（0，0），B（1，0），每次旋转90°，则第2022次旋转结束时（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°知：旋转周期为4知点A旋转2022次后的坐标，相当于△OAB绕点O顺时针旋转2次，再结合图形得出点A旋转2次后的坐标即可得．
解：∵2021＝4×505+1，2022＝7×505+2
∴每4次一个循环，第2021次绕原点O顺时针旋转结束时，即与原来的A刚好关于原点对称，
∵O（2，0），0），
∴等边三角形OAB的边长为7，
过A作AM⊥OB于M点，
在等边三角形OAB中：AM⊥OB，
∴，
∴，
∴，
∴关于原点对称的点为：，
∴第2022次旋转结束时，顶点A的坐标为．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，连接AC，以对角线AC为边1B1，使矩形ACC1B1～矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2～矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作S1，矩形ACC1B1的面积记作S2，矩形AC1C2B2的面积记作S3，…，则S2021的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，再利用相似多边形的性质可发现规律，然后根据规律即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴AC＝＝＝2，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB6C1C，
∴矩形AB1C4C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB4C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵S1＝2×5＝8，S2＝4×，S5＝8×（）2，…
∴S2020＝8×（）2019，S2021＝8×（）2020，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个函数解析式 y＝2x+3 ，使它符合条件“当x＞0时，y随x的增大而增大”．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据y随x的增大而增大可得k＞0，写一个一次函数即可．
解：∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴y＝2x+8，
故答案为：y＝2x+3．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大．
12．不等式组的解集是 x＞8 ．
【答案】x＞8．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x﹣3＞5得：x＞3，
由2x+6≥2得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为x＞8，
故答案为：x＞8．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．2022年北京冬奥会有很多的创新，尤其是颁奖的花束，并没有使用鲜花，有着很好的寓意，若把玫瑰、月季、铃兰、以及月桂这四朵绒花分别装在四个一样的小盒子里，则拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率是 ．
【答案】．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：玫瑰、月季、B、C、D表示，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的结果有2种，
∴拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，使得OG＝ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I△NOI的值为 5 ．
【答案】5．
【分析】先根据黄金分割比定义分两种情况：
①当PH＞NH时，由题意，
②当NH＞PH中，则，，分别利用相似三角形的性质及勾股定理求解即可．
解：①当PH＞NH时，由题意，
设ON＝OG＝x，则，
∵∠OPN＝90°，
∴，
∴，
∴OP＝2，OQ＝2，
∵∠OPN＝∠Q＝∠NQI＝90°，
∴∠NOP+∠QOI＝90°，∠NOP+∠PNO＝90°，
∴∠QOI＝∠PNO，
∴△OQI∽△NPO，
∴，
∴，
∴，
∴．
②当NH＞PH中，则，，
设ON＝OG＝y，则，
∵∠OPN＝90°，
∴，
∴y＝8，
∴（不符合题意，
综上所述，△NOI的面积为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质；解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
15．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，其中点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'．在旋转过程中，A'C的长为 或 ．
【答案】或．
【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得A'N＝，CN＝A'N＝A'C，由勾股定理可求解．
解：当点A'在点C的下方时，如图，交BC的延长线于N，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，
∴BD＝CD＝1，∠CAD＝30°＝∠BCE，
∵将△ADC绕点D顺时针旋转得到△A'DC'，
∴AD＝A'D＝，
∵∠A'CN＝∠BCE＝30°，A'N⊥BC，
∴A'N＝，CN＝A'C，
∵A'D3＝DN2+A'N2，
∴8＝（1+A'C）2+A'C2，
∴A'C＝﹣（舍去）或，
当点A'在点E的上方时，同理可求A'C＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算；
（2）化简：．
【答案】（1）﹣4；
（2）．
【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂、立方根，去绝对值，再算加减即可；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分即可．
解：（1）原式＝﹣2+1﹣2
＝﹣4；
（2）原式＝÷
＝•
＝．
【点评】本题考查实数运算、分式运算，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的相关法则．
17．2021年5月15日，“天问一号”成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着我国首次火星探测任务着陆火星取得成功．为增加学生对火星的了解，对八、九年级学生进行了火星知识测试，并随机从各年级抽取20名学生（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息（说明：数据被分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100；成绩在80分及以上为优秀，70﹣79分为良好，60﹣69分为合格，60分以下为不合格）．
信息一：八年级学生成绩的频数分布直方图，如图：
信息二：八年级学生成绩在60≤x＜70这一组的具体成绩是：61，62，63，63，64，63，63
信息三：九年级学生成绩的平均数中位数、众数、优秀率如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据上述信息，推断哪个年级学生测试成绩更好，请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（2）若九年级有900名学生都参加了此次测试，估计九年级学生中成绩达到优秀的有 270 名；
（3）请对该校学生火星知识测试的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【答案】（1）九年级学生的测试成绩更好一些，因为九年级学生测试成绩的中位数、众数、优秀率均大于八年级；
（2）270；
（3）见解答．
【分析】（1）求出班级成绩的众数，中位数与优秀率，再与九年级的成绩作比较即可；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据（1）的数据解答即可．
解：（1）由信息二可知，八年级成绩众数是73；
八年级的中位数是第10、11位数分别是74，
∴八年级测试成绩的中位数为，
八年级学生测试成绩达到优秀的有5人，优秀率为；
∵九年级学生测试成绩的中位数、众数，
∴九年级学生的测试成绩更好一些；
（2）900×30%＝270（人）；
即估计九年级学生中成绩达到优秀的有270人．
故答案为：270；
（3）例如：该校大部分学生对火星知识的测试成绩不理想；建议①：该校各学科授课老师要引导学生多加关注我们社会主义建设的新成果；建议②：建议学生多关注我们前沿科技的相关知识．
【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、加权平均数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，5），B（2，1），C（6，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找一点P，使PB+PC的值最小（保留作图痕迹），并写出点P的坐标．
【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答；（4，0）．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）找到点B关于x轴的对称点B′，连接B′C交x轴于点P，即可使PB+PC的值最小．
解：（1）△A1B1C5如图所示．
（2）点P如图所示；点P的坐标为（4．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
（1）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小敏 × ，小霞 × ；
（2）写出你的解答过程．
【答案】（1）×；×；
（2）x1＝3，x2＝6．
【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
解：（1）小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况，所以×；
小霞：提取公因式时出现了错误，所以×；
故答案为：×；×；
（2）正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）5＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（4﹣x+3）＝0．
则x﹣6＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝4，x2＝6．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
20．临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同
（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如下所示）
【答案】（1）每支2B涂卡铅笔的进价为3元，每支0.5mm黑色水笔的进价为2元；
（2）该商店应购进100支2B涂卡铅笔，260支0.5mm黑色水笔才能使利润最大，最大利润是230元．
【分析】（1）设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支2B涂卡铅笔的进价为（x+1）元，利用数量＝总价÷单价，结合用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每支0.5mm黑色水笔的进价，再将其代入（x+1）中即可求出每支2B涂卡铅笔的进价；
（2）设购进m支2B涂卡铅笔，则购进（2m+60）支0.5mm黑色水笔，根据购进两种笔的总数量不超过360支，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围，设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每支笔的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支4B涂卡铅笔的进价为（x+1）元，
依题意得：＝，
解得：x＝7，
经检验，x＝2是原方程的解，
∴x+1＝5+1＝3．
答：每支6B涂卡铅笔的进价为3元，每支0.7mm黑色水笔的进价为2元．
（2）设购进m支2B涂卡铅笔，则购进（6m+60）支0.5mm黑色水笔，
依题意得：m+4m+60≤360，
解得：m≤100．
设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（4﹣3）m+（2.5﹣2）（2m+60）＝2m+30，
∵2＞6，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝100时，w取得最大值，此时2m+60＝2×100+60＝260．
答：该商店应购进100支7B涂卡铅笔，260支0.5mm黑色水笔才能使利润最大．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21．阅读下列材料：
解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①，
解这个方程得：y1＝1，y2＝5．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝5时，x2＝5，∴x＝±
所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为 y2﹣4y﹣12＝0 ；
（2）利用换元法解方程：＝2．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接代入得结果；
（2）设y＝把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值．
解：（1）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣6y﹣12＝0．
故答案为：y2﹣3y﹣12＝0
（2）设y＝，则＝，
原方程变形为：+y﹣2＝0
去分母，得y2﹣2y+1＝2，
即（y﹣1）2＝2
解得，y1＝y2＝4
经检验，y＝1是分式方程的根．
所以＝1
即x3﹣2x﹣4＝2
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
经检验，1±．
所以原分式方程的解为：x3＝1+，x7＝1﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．
22．如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数y＝（2，a），B（b，﹣）两点．
（1）求A，B两点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）请结合图象直接写出x+3＞的解集；
（3）直线y＝x+3交y轴于点C，交x轴于点D，若∠CMD＝∠OCD
【答案】（1）A（2，），B（﹣6，﹣），反比例函数的解析式为y＝；
（2）﹣6＜x＜0或x＞2；
（3）（0，8）或（0，﹣8）．
【分析】（1）将点A，B坐标代入一次函数和反比例函数的解析式中，求出点A，B坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出答案；
（2）根据图象直接得出结论；
（3）分两种情况：当点M在点C上方时，利用等腰三角形的性质确定出点M的坐标，当点M在点C下方时，利用对称性得出答案．
解：（1）∵点A（2，a）在一次函数y＝，
∴a＝×7+3＝，
∴A（2，），
∵点B（b，﹣）在一次函数y＝，
∴﹣＝b+3，
∴b＝﹣6，
∴B（﹣6，﹣），
∵点A（2，）在反比例函数y＝，
∴k＝2×＝9，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）知，点A（2，），﹣），
由图象知，x+3＞；
（3）针对于一次函数y＝x+3，
令x＝2，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则x+3＝0，
∴x＝﹣8，
∴D（﹣4，0），
∴CD＝5，
当点M在点C上方时，
在点C上方取一点M，使CM＝CD＝5，∠CMD＝，
∴OM＝OC+CD＝8，
∴M（0，6），
当点M在点C下方时，由对称性得，﹣8），
即满足条件的点M（0，3）或（0．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，找出点M的位置是解（3）的关键．
23．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系： BE＝BN ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；
③求证：四边形BGHM是菱形．
【答案】①BE＝BN；
②∠ABM＝30°；
③证明见解答过程．
【分析】①根据折叠的性质可得BE＝AB，AB＝BN，即可得BE＝BN；
②根据折叠的性质可得∠BEN＝∠AEN＝90°，由BE＝BN可得∠BNE＝30°，根据直角三角形的两锐角互余得∠ABN＝60°，根据折叠的性质即可得出∠ABM＝∠ABN＝30°；
③由②得∠ABM＝30°，根据矩形的性质∠A＝∠ABC＝90°，∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，可得△BMG是等边三角形，则BM＝BG，由折叠得BM＝MH，BG＝GH，可得出BM＝MH＝BG＝GH，即可得出四边形BGHM是菱形．
【解答】①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴BE＝AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，得到折痕BM．
∴AB＝BN，
∴BE＝BN，
故答案为：BE＝BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．
【点评】本题考查四边形综合题、直角三角形的性质、矩形的性质、菱形的判定等知识，正确的理解题意是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．平均数
中位数
众数
优秀率
74
76
78
30%
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
为期末加油！
2B涂卡铅笔
4元/支
0.5mm黑色水笔
2.5元/支
平均数
中位数
众数
优秀率
74
76
78
30%
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
为期末加油！
2B涂卡铅笔
4元/支
0.5mm黑色水笔
2.5元/支
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