还剩20页未读，
继续阅读
2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县九年级（上）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．某人5次射击成绩为7，x，10，8，7．若这组数据的平均数为8（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x（x+1）＝x2B．（x﹣1）（x+2）＝
C．x2+bx+c＝0D．x2﹣2xy+y2＝0
3．对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环（ ）
A．甲B．乙C．两D．丁
4．已知线段a＝9，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项（ ）
A．±3B．3C．4.5D．5
5．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣1，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，若AD＝2，AB＝5，则（ ）
A．B．C．D．
7．某初级中学足球队9名队员的年龄情况如表：
则该队队员年龄的中位数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
8．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
9．在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝72B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50D．72（1+x）2＝50
10．如图矩形ABCD中，点E是边AD的中点，FE交对角线AC于点F，则△BCF的面积等于（ ）
A．8B．4C．2D．1
11．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
12．如图在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，则tanA是（ ）
A．B．C．D．
13．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＞且m≠1C．m≥且m≠1D．m＞
14．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，则DE的长度为（ ）
A．4B．9C．12D．13.5
15．如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点OB．点PC．点QD．点R
16．“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图（ ）
A．甲完成家庭作业所花费时间最长为2.5小时
B．乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时
C．这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高
D．同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时
二、填空题（本大题共10个小题，每题2分，共20分）
17．一组数据1，8，4，8，4，6，4的众数是 ．
18．一元二次方程2x2﹣3x+1＝x（x+1）化为一般形式是 ．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，则sinA＝ ．
20．已知，那么＝ ．
21．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
22．若n是方程2x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则2n2﹣3n+2023的值为 ．
23．2023秦皇岛马拉松赛于5月21日在秦皇岛奥体中心开跑，点燃了人们对马拉松的激情，我县某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛 （从众数、中位数、平均数三个统计量中任选一个）
24．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则＝ ．
25．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB：BC＝1：2，则EF的长为 ．
26．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为6m，小鸟至少要飞 m．
三、解答题（本大题共5个小题；共48分.解答应写出演算步骤、证明过程
27．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环），小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
（1）a＝ ，＝ ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
28．计算：．
29．用适当方法解方程：2x（x+3）＝﹣x﹣3．
30．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）
31．中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，每天可售出20盒，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价1元，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
32．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，两点停止运动
（1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，每小题各2分，共32分。）
1．某人5次射击成绩为7，x，10，8，7．若这组数据的平均数为8（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】平均数是指在一组数据中，所有数的和再除以这些数的个数所得出的结果．即把n个数的总和除以n，所得的商叫作这n个数的平均数．据此可列出关于x的方程，求解即可．
解：根据平均数的定义得：7+x+10+8+7＝8×5，
解得：x＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了平均数的定义，解题的关键是正确运用平均数的定义列出方程．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x（x+1）＝x2B．（x﹣1）（x+2）＝
C．x2+bx+c＝0D．x2﹣2xy+y2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x（x+1）＝x2整理可得x＝6，是一元一次方程；
B．该选项的方程是分式方程；
C．x2+bx+c＝0，是关于x的一元二次方程；
D．x3﹣2xy+y2＝2是二元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3．对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环（ ）
A．甲B．乙C．两D．丁
【分析】根据方差越小越稳定判断即可．
解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义，解题关键是明确方差越小，波动越小．
4．已知线段a＝9，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项（ ）
A．±3B．3C．4.5D．5
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负．
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则c2＝9×2，
解得c＝±3（线段是正数，负值舍去），
所以c＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数是解题关键．
5．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣1，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝﹣1代入方程得关于k的一次方程1﹣3﹣k＝0，然后解一次方程即可．
解：把x＝﹣1代入方程得1﹣k﹣8＝0，
解得k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，若AD＝2，AB＝5，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接运用平行线分线段成比例定理得出比例式求解即可．
解：∵DE∥BC，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
7．某初级中学足球队9名队员的年龄情况如表：
则该队队员年龄的中位数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【分析】根据中位数的定义求解．
解：将该队9名队员年龄按从小到大顺序排列为：14，15，15，16，17，其中第5位是15，
因此该队队员年龄的中位数是15，
故选：B．
【点评】本题考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数叫作中位数．
8．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
解：把方程x2﹣4x+8＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝﹣1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣7x+4＝﹣1+6，
配方得（x﹣2）2＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
9．在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝72B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50D．72（1+x）2＝50
【分析】根据题意，利用前年投入建设资金×（1+x）2＝今年投入建设资金列方程即可．
解：根据题意，得50（1+x）2＝72，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．
10．如图矩形ABCD中，点E是边AD的中点，FE交对角线AC于点F，则△BCF的面积等于（ ）
A．8B．4C．2D．1
【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出BC＝AD＝2AE，求出△AFE∽△CFB，根据相似三角形的性质即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E是边AD的中点，
∴BC＝AD＝2AE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝（）2＝（）2＝．
∵△AFE的面积为2，
∴△BCF的面积为8
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AFE∽△CFB是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
11．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
解：∵x1，x2是方程x7﹣6x﹣7＝6的两个根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，则，．
12．如图在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，则tanA是（ ）
A．B．C．D．
【分析】在Rt△AOC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：如图：
在Rt△AOC中，OC＝2，
∴tanA＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＞且m≠1C．m≥且m≠1D．m＞
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4×（m﹣1）×（﹣5）＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣3）×（﹣5）＞0，
解得m＞且m≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
14．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，则DE的长度为（ ）
A．4B．9C．12D．13.5
【分析】根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3．
∴，
∴当AB＝6时，DE＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
15．如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点OB．点PC．点QD．点R
【分析】连接AA'，CC'交于点O，即可得到位似中心．
解：如图，连接AA'，
∴位似中心是点O．
故选：A．
【点评】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
16．“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图（ ）
A．甲完成家庭作业所花费时间最长为2.5小时
B．乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时
C．这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高
D．同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时
【分析】根据折线统计图可得，甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间，再计算平均数，即可判断A、B；计算同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间差，即可判断D，根据方差的意义可判断C．
解：由统计图可知，甲完成家庭作业所花费时间最长为2小时，
乙完成家庭作业所花费时间最长为2.5小时，故选项A，不合题意．
这一周甲每天完成家庭作业平均花费的时间为1+1.7+1.5）＝5.5（小时），
乙每天完成家庭作业平均花费的时间为1.786（小时），
∵6.5＜1.786，
∴甲平均每天完成家庭作业花费的时间比乙短，乙完成家庭作业的平均效率比甲低，
故C错误，不符合题意；
根据折线图可知，同一天中，甲，故选项D说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．从折线图中获取有用信息是解题的关键．
二、填空题（本大题共10个小题，每题2分，共20分）
17．一组数据1，8，4，8，4，6，4的众数是 4 ．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，据此填空．
解：数据1，8，2，8，4，8，4中4出现的次数最多．
故答案为：7．
【点评】本题考查了众数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．
18．一元二次方程2x2﹣3x+1＝x（x+1）化为一般形式是 x2﹣4x+1＝0 ．
【分析】根据一元二次方程一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），去括号、移项、合并同类项即可得到答案．
解：一元二次方程2x2﹣8x+1＝x（x+1）化为一般形式是x4﹣4x+1＝2，
故答案为：x2﹣4x+4＝0．
【点评】本题考查一元二次方程定义，熟记一元二次方程的一般形式是解决问题的关键．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，则sinA＝ ．
【分析】根据正弦的定义解答即可．
解：sinA＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
20．已知，那么＝ 2.5 ．
【分析】由可设a＝3k，b＝2k，代入计算可得．
解：由可设a＝7k，
则，
故答案为：．
【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质和设k的方法．
21．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件： ∠C＝∠E或∠B＝∠ADE ，使△ABC∽△ADE．
【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）
∴△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE．
【点评】此题是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．
22．若n是方程2x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则2n2﹣3n+2023的值为 2029 ．
【分析】依据题意，由方程根满足方程进而将n代入2x2﹣3x﹣6＝0，可得2n2＝3n+6，再代入所求式子，即可得解．
解：由题意，∵n是方程2x2﹣8x﹣6＝0的一个根，
∴5n2﹣3n﹣8＝0．
∴2n2＝3n+6．
∴5n2﹣3n+2023＝6n+6﹣3n+2023＝2029．
故答案为：2029．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题时要熟悉一元二次方程根的意义并熟练掌握变形．
23．2023秦皇岛马拉松赛于5月21日在秦皇岛奥体中心开跑，点燃了人们对马拉松的激情，我县某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛 中位数 （从众数、中位数、平均数三个统计量中任选一个）
【分析】由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故答案为：中位数．
【点评】本题考查了统计量的选择以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
24．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则＝ ﹣3 ．
【分析】因为x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，有根与系数的关系可得x1+x2和x1•x2的值，把通分，再把得x1+x2和x1•x2的值代入即可得到问题的答案．
解：∵一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0中，a＝5，c＝﹣1，
x1，x5为方程的两根，
∴x1+x2＝﹣＝，x1•x8＝＝﹣，
∵＝，
∴＝＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
25．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB：BC＝1：2，则EF的长为 12 ．
【分析】由a∥b∥c，根据平行线分线段成比例解答即可．
解：∵a∥b∥c，
∴，
∵DE＝6，
∴EF＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确应用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
26．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为6m，小鸟至少要飞 12 m．
【分析】过B作水平面的垂线，垂足为C，连接DE，由题意得AD∥BE，AD＝BE，则四边形ABED是平行四边形，得AB＝DE，再由含30°角的直角三角形的性质求出BC＝AC＝6m，即可解决问题．
解：如图，过B作水平面的垂线，连接DE，
由题意得：AD∥BE，AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°m，
∴BC＝AC＝6（m），
∴DE＝AB＝12（m），
即一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞12m，
故答案为：12．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及含30°角的直角三角形的性质，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．
三、解答题（本大题共5个小题；共48分.解答应写出演算步骤、证明过程
27．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环），小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
（1）a＝ 4 ，＝ 6 ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出 乙 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【分析】（1）根据他们的总成绩相同，得出a＝30﹣7﹣7﹣5﹣7＝4，进而得出＝30÷5＝6；
（2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可；
（3）①观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+4+4+6＝30，
则a＝30﹣5﹣7﹣5﹣3＝4，
＝30÷5＝4，
故答案为：4，6；
（2）如图所示：
；
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
＝[（2﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（5﹣6）2]＝3.6．
由于＜，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定．
【点评】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可．
28．计算：．
【分析】利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．
解：原式＝9+1+8﹣2﹣3×
＝10+7﹣2﹣
＝8+．
【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
29．用适当方法解方程：2x（x+3）＝﹣x﹣3．
【分析】利用因式分解法解方程即可．
解：2x（x+3）＝﹣x﹣5，
2x（x+3）+（x+6）＝0，
（2x+7）（x+3）＝0，
∴7x+1＝0 或 x+8＝0，
∴，x2＝﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．
30．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）
【分析】（1）延长PC交直线AB于点F，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PC＝x米，根据AF＝PF，构建方程求出x即可．
解：（1）延长PC交直线AB于点F，则PF⊥AF，
依题意得：∠PAF＝45°，∠PBF＝60°，
∴∠BPC＝90°﹣60°＝30°；
（2）设PC＝x米，则CB＝CP＝x米，
在Rt△CBF中，BF＝x•cs30°＝，CF＝，
在Rt△APF中，FA＝FP，
∴9+x＝，
∴x＝9+3 ，
∴PC＝9+3 ≈14.2（米），
即该铁塔PC的高度约为14.2米．
【点评】本题考查了仰角的定义、解直角三角形、三角函数；运用三角函数求出PE和QE是解决问题的关键．
31．中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，每天可售出20盒，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价1元，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
【分析】设每盒茶叶降价x元，则销售量为（20+2x）盒，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
解：设每盒茶叶降价x元，则每盒的销售利润为（40﹣x）元，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝6，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
∴每盒茶叶降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
32．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，两点停止运动
（1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会
【分析】（1）△PBQ的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示PB，BQ，根据数量关系，列方程即可求解；
（2）计算出△ABC面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解．
解：（1）点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，∠B＝90°，BC＝4cm，
∴点P从点A到点B的时间为6÷1＝4秒，点Q从点B到点C的时间为8÷2＝7秒，Q运动的时间为t（0＜t≤4），
∴AP＝t，BQ＝5t，
∴，即t2﹣5t+8＝0，解方程得，t4＝2，t2＝4，
∴经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，
∴，
设运动时间为a秒，根据题意得，，
∴a2﹣6a+12＝3，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×12＝36﹣48＝﹣12＜3，关于a的一元二次方程无解，
∴不存在△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半．
【点评】本题主要靠三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用，求解是解题的关键．选手
甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21
年龄（岁）
14
15
16
17
人数（人）
1
4
2
2
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
选手
甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21
年龄（岁）
14
15
16
17
人数（人）
1
4
2
2
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
1．某人5次射击成绩为7，x，10，8，7．若这组数据的平均数为8（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x（x+1）＝x2B．（x﹣1）（x+2）＝
C．x2+bx+c＝0D．x2﹣2xy+y2＝0
3．对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环（ ）
A．甲B．乙C．两D．丁
4．已知线段a＝9，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项（ ）
A．±3B．3C．4.5D．5
5．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣1，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，若AD＝2，AB＝5，则（ ）
A．B．C．D．
7．某初级中学足球队9名队员的年龄情况如表：
则该队队员年龄的中位数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
8．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
9．在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝72B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50D．72（1+x）2＝50
10．如图矩形ABCD中，点E是边AD的中点，FE交对角线AC于点F，则△BCF的面积等于（ ）
A．8B．4C．2D．1
11．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
12．如图在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，则tanA是（ ）
A．B．C．D．
13．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＞且m≠1C．m≥且m≠1D．m＞
14．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，则DE的长度为（ ）
A．4B．9C．12D．13.5
15．如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点OB．点PC．点QD．点R
16．“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图（ ）
A．甲完成家庭作业所花费时间最长为2.5小时
B．乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时
C．这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高
D．同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时
二、填空题（本大题共10个小题，每题2分，共20分）
17．一组数据1，8，4，8，4，6，4的众数是 ．
18．一元二次方程2x2﹣3x+1＝x（x+1）化为一般形式是 ．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，则sinA＝ ．
20．已知，那么＝ ．
21．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
22．若n是方程2x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则2n2﹣3n+2023的值为 ．
23．2023秦皇岛马拉松赛于5月21日在秦皇岛奥体中心开跑，点燃了人们对马拉松的激情，我县某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛 （从众数、中位数、平均数三个统计量中任选一个）
24．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则＝ ．
25．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB：BC＝1：2，则EF的长为 ．
26．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为6m，小鸟至少要飞 m．
三、解答题（本大题共5个小题；共48分.解答应写出演算步骤、证明过程
27．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环），小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
（1）a＝ ，＝ ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
28．计算：．
29．用适当方法解方程：2x（x+3）＝﹣x﹣3．
30．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）
31．中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，每天可售出20盒，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价1元，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
32．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，两点停止运动
（1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，每小题各2分，共32分。）
1．某人5次射击成绩为7，x，10，8，7．若这组数据的平均数为8（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】平均数是指在一组数据中，所有数的和再除以这些数的个数所得出的结果．即把n个数的总和除以n，所得的商叫作这n个数的平均数．据此可列出关于x的方程，求解即可．
解：根据平均数的定义得：7+x+10+8+7＝8×5，
解得：x＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了平均数的定义，解题的关键是正确运用平均数的定义列出方程．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x（x+1）＝x2B．（x﹣1）（x+2）＝
C．x2+bx+c＝0D．x2﹣2xy+y2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x（x+1）＝x2整理可得x＝6，是一元一次方程；
B．该选项的方程是分式方程；
C．x2+bx+c＝0，是关于x的一元二次方程；
D．x3﹣2xy+y2＝2是二元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3．对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环（ ）
A．甲B．乙C．两D．丁
【分析】根据方差越小越稳定判断即可．
解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义，解题关键是明确方差越小，波动越小．
4．已知线段a＝9，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项（ ）
A．±3B．3C．4.5D．5
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负．
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则c2＝9×2，
解得c＝±3（线段是正数，负值舍去），
所以c＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数是解题关键．
5．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣1，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝﹣1代入方程得关于k的一次方程1﹣3﹣k＝0，然后解一次方程即可．
解：把x＝﹣1代入方程得1﹣k﹣8＝0，
解得k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，若AD＝2，AB＝5，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接运用平行线分线段成比例定理得出比例式求解即可．
解：∵DE∥BC，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
7．某初级中学足球队9名队员的年龄情况如表：
则该队队员年龄的中位数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【分析】根据中位数的定义求解．
解：将该队9名队员年龄按从小到大顺序排列为：14，15，15，16，17，其中第5位是15，
因此该队队员年龄的中位数是15，
故选：B．
【点评】本题考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数叫作中位数．
8．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
解：把方程x2﹣4x+8＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝﹣1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣7x+4＝﹣1+6，
配方得（x﹣2）2＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
9．在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝72B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50D．72（1+x）2＝50
【分析】根据题意，利用前年投入建设资金×（1+x）2＝今年投入建设资金列方程即可．
解：根据题意，得50（1+x）2＝72，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．
10．如图矩形ABCD中，点E是边AD的中点，FE交对角线AC于点F，则△BCF的面积等于（ ）
A．8B．4C．2D．1
【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出BC＝AD＝2AE，求出△AFE∽△CFB，根据相似三角形的性质即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E是边AD的中点，
∴BC＝AD＝2AE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝（）2＝（）2＝．
∵△AFE的面积为2，
∴△BCF的面积为8
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AFE∽△CFB是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
11．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
解：∵x1，x2是方程x7﹣6x﹣7＝6的两个根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，则，．
12．如图在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，则tanA是（ ）
A．B．C．D．
【分析】在Rt△AOC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：如图：
在Rt△AOC中，OC＝2，
∴tanA＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＞且m≠1C．m≥且m≠1D．m＞
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4×（m﹣1）×（﹣5）＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣3）×（﹣5）＞0，
解得m＞且m≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
14．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，则DE的长度为（ ）
A．4B．9C．12D．13.5
【分析】根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3．
∴，
∴当AB＝6时，DE＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
15．如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点OB．点PC．点QD．点R
【分析】连接AA'，CC'交于点O，即可得到位似中心．
解：如图，连接AA'，
∴位似中心是点O．
故选：A．
【点评】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
16．“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图（ ）
A．甲完成家庭作业所花费时间最长为2.5小时
B．乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时
C．这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高
D．同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时
【分析】根据折线统计图可得，甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间，再计算平均数，即可判断A、B；计算同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间差，即可判断D，根据方差的意义可判断C．
解：由统计图可知，甲完成家庭作业所花费时间最长为2小时，
乙完成家庭作业所花费时间最长为2.5小时，故选项A，不合题意．
这一周甲每天完成家庭作业平均花费的时间为1+1.7+1.5）＝5.5（小时），
乙每天完成家庭作业平均花费的时间为1.786（小时），
∵6.5＜1.786，
∴甲平均每天完成家庭作业花费的时间比乙短，乙完成家庭作业的平均效率比甲低，
故C错误，不符合题意；
根据折线图可知，同一天中，甲，故选项D说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．从折线图中获取有用信息是解题的关键．
二、填空题（本大题共10个小题，每题2分，共20分）
17．一组数据1，8，4，8，4，6，4的众数是 4 ．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，据此填空．
解：数据1，8，2，8，4，8，4中4出现的次数最多．
故答案为：7．
【点评】本题考查了众数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．
18．一元二次方程2x2﹣3x+1＝x（x+1）化为一般形式是 x2﹣4x+1＝0 ．
【分析】根据一元二次方程一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），去括号、移项、合并同类项即可得到答案．
解：一元二次方程2x2﹣8x+1＝x（x+1）化为一般形式是x4﹣4x+1＝2，
故答案为：x2﹣4x+4＝0．
【点评】本题考查一元二次方程定义，熟记一元二次方程的一般形式是解决问题的关键．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，则sinA＝ ．
【分析】根据正弦的定义解答即可．
解：sinA＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
20．已知，那么＝ 2.5 ．
【分析】由可设a＝3k，b＝2k，代入计算可得．
解：由可设a＝7k，
则，
故答案为：．
【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质和设k的方法．
21．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件： ∠C＝∠E或∠B＝∠ADE ，使△ABC∽△ADE．
【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）
∴△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE．
【点评】此题是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．
22．若n是方程2x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则2n2﹣3n+2023的值为 2029 ．
【分析】依据题意，由方程根满足方程进而将n代入2x2﹣3x﹣6＝0，可得2n2＝3n+6，再代入所求式子，即可得解．
解：由题意，∵n是方程2x2﹣8x﹣6＝0的一个根，
∴5n2﹣3n﹣8＝0．
∴2n2＝3n+6．
∴5n2﹣3n+2023＝6n+6﹣3n+2023＝2029．
故答案为：2029．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题时要熟悉一元二次方程根的意义并熟练掌握变形．
23．2023秦皇岛马拉松赛于5月21日在秦皇岛奥体中心开跑，点燃了人们对马拉松的激情，我县某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛 中位数 （从众数、中位数、平均数三个统计量中任选一个）
【分析】由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故答案为：中位数．
【点评】本题考查了统计量的选择以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
24．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则＝ ﹣3 ．
【分析】因为x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，有根与系数的关系可得x1+x2和x1•x2的值，把通分，再把得x1+x2和x1•x2的值代入即可得到问题的答案．
解：∵一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0中，a＝5，c＝﹣1，
x1，x5为方程的两根，
∴x1+x2＝﹣＝，x1•x8＝＝﹣，
∵＝，
∴＝＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
25．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB：BC＝1：2，则EF的长为 12 ．
【分析】由a∥b∥c，根据平行线分线段成比例解答即可．
解：∵a∥b∥c，
∴，
∵DE＝6，
∴EF＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确应用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
26．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为6m，小鸟至少要飞 12 m．
【分析】过B作水平面的垂线，垂足为C，连接DE，由题意得AD∥BE，AD＝BE，则四边形ABED是平行四边形，得AB＝DE，再由含30°角的直角三角形的性质求出BC＝AC＝6m，即可解决问题．
解：如图，过B作水平面的垂线，连接DE，
由题意得：AD∥BE，AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°m，
∴BC＝AC＝6（m），
∴DE＝AB＝12（m），
即一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞12m，
故答案为：12．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及含30°角的直角三角形的性质，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．
三、解答题（本大题共5个小题；共48分.解答应写出演算步骤、证明过程
27．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环），小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
（1）a＝ 4 ，＝ 6 ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出 乙 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【分析】（1）根据他们的总成绩相同，得出a＝30﹣7﹣7﹣5﹣7＝4，进而得出＝30÷5＝6；
（2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可；
（3）①观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+4+4+6＝30，
则a＝30﹣5﹣7﹣5﹣3＝4，
＝30÷5＝4，
故答案为：4，6；
（2）如图所示：
；
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
＝[（2﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（5﹣6）2]＝3.6．
由于＜，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定．
【点评】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可．
28．计算：．
【分析】利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．
解：原式＝9+1+8﹣2﹣3×
＝10+7﹣2﹣
＝8+．
【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
29．用适当方法解方程：2x（x+3）＝﹣x﹣3．
【分析】利用因式分解法解方程即可．
解：2x（x+3）＝﹣x﹣5，
2x（x+3）+（x+6）＝0，
（2x+7）（x+3）＝0，
∴7x+1＝0 或 x+8＝0，
∴，x2＝﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．
30．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）
【分析】（1）延长PC交直线AB于点F，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PC＝x米，根据AF＝PF，构建方程求出x即可．
解：（1）延长PC交直线AB于点F，则PF⊥AF，
依题意得：∠PAF＝45°，∠PBF＝60°，
∴∠BPC＝90°﹣60°＝30°；
（2）设PC＝x米，则CB＝CP＝x米，
在Rt△CBF中，BF＝x•cs30°＝，CF＝，
在Rt△APF中，FA＝FP，
∴9+x＝，
∴x＝9+3 ，
∴PC＝9+3 ≈14.2（米），
即该铁塔PC的高度约为14.2米．
【点评】本题考查了仰角的定义、解直角三角形、三角函数；运用三角函数求出PE和QE是解决问题的关键．
31．中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，每天可售出20盒，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价1元，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
【分析】设每盒茶叶降价x元，则销售量为（20+2x）盒，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
解：设每盒茶叶降价x元，则每盒的销售利润为（40﹣x）元，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝6，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
∴每盒茶叶降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
32．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，两点停止运动
（1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会
【分析】（1）△PBQ的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示PB，BQ，根据数量关系，列方程即可求解；
（2）计算出△ABC面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解．
解：（1）点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，∠B＝90°，BC＝4cm，
∴点P从点A到点B的时间为6÷1＝4秒，点Q从点B到点C的时间为8÷2＝7秒，Q运动的时间为t（0＜t≤4），
∴AP＝t，BQ＝5t，
∴，即t2﹣5t+8＝0，解方程得，t4＝2，t2＝4，
∴经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，
∴，
设运动时间为a秒，根据题意得，，
∴a2﹣6a+12＝3，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×12＝36﹣48＝﹣12＜3，关于a的一元二次方程无解，
∴不存在△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半．
【点评】本题主要靠三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用，求解是解题的关键．选手
甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21
年龄（岁）
14
15
16
17
人数（人）
1
4
2
2
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
选手
甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21
年龄（岁）
14
15
16
17
人数（人）
1
4
2
2
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
相关试卷
2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)： 这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
