2023-2024学年广东省深圳市龙岗区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市龙岗区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0B．C．πD．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣6，4）D．（2，﹣5）
4．已知点P（﹣3，5），则点P到y轴的距离是（ ）
A．5B．3C．4D．﹣3
5．函数y＝+中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．1≤x＜2C．1＜x＜2D．1≤x≤2
6．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠BB．a2＝b2﹣c2
C．a＝3，b＝5，c＝4D．a：b：c＝2：3：4
7．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2023值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）2023
8．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cmB．17cmC．20cmD．25cm
9．一次函数y＝kx+k2（k＜0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，则直线BC的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若a，b为两个连续整数，且a＜，则a+b＝ ．
12．y＝（m﹣1）x|m|+3是关于x的一次函数，则m＝ ．
13．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ．
14．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★，则★（★）＝ ．
15．如图，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点B和点A，若将△ABC沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的A'处 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．计算：
（1）；
（2）（2）（2﹣1）﹣（﹣1）2．
17．已知的整数部分是a，小数部分是b．
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）试求b2020（a+）2021的值．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（﹣2，0），C（﹣1，﹣2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
（3）求△ABC的面积；
（4）已知点P为x轴上一点，若S△ABP＝6时，求点P的坐标．
19．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10＜m＜20），当把购进的两种多媒体全部售出，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
20．将一长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．
（1）试说明：CE＝CF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求DE的长．
21．兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能；若不能，说明理由．
22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣3与x轴交于点B，与l1相交于点C．
（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A ，B ，C ．
（2）如图2，动直线y＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点．
①若PQ＝3，求t的值．
②若存在S△AQC：S△ABC＝3：4，求出此时点Q的坐标；若不存在
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0B．C．πD．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：A、0是有理数；
B、是有理数；
C、π是无理数；
D、＝2是有理数；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
解：A． 与不能合并；
B．原式＝4；
C．原式＝＝，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣6，4）D．（2，﹣5）
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
解：由图得点位于第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．已知点P（﹣3，5），则点P到y轴的距离是（ ）
A．5B．3C．4D．﹣3
【分析】直接利用点的坐标特点得出点P到y轴的距离．
解：点P（﹣3，5）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握坐标特点是解题关键．
5．函数y＝+中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．1≤x＜2C．1＜x＜2D．1≤x≤2
【分析】本题考查了函数式有意义的自变量的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解：根据题意得到：，
解得1≤x＜8．
故选：B．
【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
6．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠BB．a2＝b2﹣c2
C．a＝3，b＝5，c＝4D．a：b：c＝2：3：4
【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题．
解：A．∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠C＝∠A+∠B．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°．
∴∠C＝90°．
此时，△ABC是直角三角形．
B．∵a2＝b5﹣c2，
∴a2+c2＝b2．
∴△ABC是直角三角形．
C．∵a＝3，c＝7，
∴a2+b2＝c8．
∴△ABC是直角三角形．
D．∵a：b：c＝2：3：2，
∴设a＝2x，b＝3x．
∵a7+b2＝4x5+9x2＝13x6，c2＝＝16x2，
∴a8+b2≠c2．
∴△ABC不是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解决本题的关键．
7．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2023值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）2023
【分析】根据点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，可得a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，求出a和b的值，进一步计算即可．
解：∵点P1（a﹣1，3）和P2（2，b﹣2）关于x轴对称，
∴a﹣1＝2，b﹣5＝﹣5，
解得a＝3，b＝﹣2，
∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
8．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cmB．17cmC．20cmD．25cm
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B＝＝＝＝17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
9．一次函数y＝kx+k2（k＜0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据k＜0，由一次函数的性质即可判断出函数y＝kx+k2（k＜0）的图象所经过的象限．
解：∵一次函数y＝kx+k2中的k＜0，k7＞0，
∴该直线经过第二、四象限，
观察选项，只有C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质及一次函数图象与系数的关系：
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
10．如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，则直线BC的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用直线AB的解析式确定A（﹣4，0），B（0，3），再把Rt△AOB绕点A逆时针旋转90°得到Rt△AO′B′，如图，则B′（﹣7，4），接着判断△ABB′为等腰直角三角形得到∠ABB′＝45°，所以点D在直线BC上，然后利用待定系数法求直线BC的解析式即可．
解：当y＝0时，x+3＝0，则A（﹣4，
当x＝0时，y＝，则B（0，
把Rt△AOB绕点A逆时针旋转90°得到Rt△AO′B′，如图，
∴∠OAO′＝∠BAB′＝90°，∠AO′B′＝AOB＝90°，O′B′＝OB＝3，
∴B′（﹣5，4），
∴∠ABB′＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴点B′在直线BC上，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B′（﹣7，6），3）分别代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若a，b为两个连续整数，且a＜，则a+b＝ 3 ．
【分析】先估算在哪两个连续整数之间求得a，b的值，然后将其代入a+b中计算即可．
解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜4，
∴a＝1，b＝2，
则a+b＝3+2＝3，
故答案为：5．
【点评】本题考查无理数的估算和代数式求值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．y＝（m﹣1）x|m|+3是关于x的一次函数，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据一次函数的定义知自变量的次数为1且其系数不为0，据此求解可得．
解：∵y＝（m﹣1）x|m|+3是关于x的一次函数，
∴|m|＝6且m﹣1≠0，
解得m＝﹣3，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
13．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 2﹣ ．
【分析】先求出单位正方形的对角线的长，设点A表示的数为x，则2﹣x＝单位正方形的对角线的长，求出x即可．
解：如图：
由题意可知：CD＝CA＝＝，
设点A 表示的数为x，
则：6﹣x＝
x＝2﹣
即：点A 表示的数为2﹣
故：答案为8﹣
【点评】本题考查了实数与数轴的有关问题，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长．
14．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★，则★（★）＝ 2 ．
【分析】根据新定义得到★＝，则★（★）＝★，然后再根据新定义得到★＝＝＝2．
解：∵★＝，
∴★（★）
＝★
＝
＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了阅读理解能力．
15．如图，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点B和点A，若将△ABC沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的A'处 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用勾股定理可求出AB的长度，进而可得出OA′的长度，设OC＝m，则AC＝A′C＝2﹣m，在Rt△A′OC中，利用勾股定理即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而根据三角形面积公式即可求得．
解：当x＝0时，y＝，
∴点A的坐标为（0，2）；
当y＝3时，x+5＝0，
∴点B的坐标为（﹣，4）．
∴AB＝＝．
∵AB＝A′B，
∴OA′＝﹣＝8．
设OC＝m，则AC＝A′C＝2﹣m．
在Rt△A′OC中，A′C2＝A′O4+OC2，
即（2﹣m）4＝12+m7，
解得：m＝，
∴OC＝，
∴△BOC的面积为：OB•OC＝××＝，
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质以及勾股定理，在Rt△A′OC中，利用勾股定理找出关于m的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．计算：
（1）；
（2）（2）（2﹣1）﹣（﹣1）2．
【分析】（1）化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先用平方差公式，完全平方根式展开，再去括号，合并即可．
解：（1）原式＝4﹣3+
＝；
（2）原式＝12﹣1﹣（3﹣5+1）
＝12﹣7﹣3+2﹣1
＝7+3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
17．已知的整数部分是a，小数部分是b．
（1）a＝ 4 ；b＝ ﹣4 ；
（2）试求b2020（a+）2021的值．
【分析】（1）先估算出的大小，然后可求得a、b的值；
（2）先求得a+的值，然后逆用积的乘方公式进行计算即可．
解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜＜5．
∴a＝2，b＝．
故答案为：4；﹣4；
（2）a+＝+7．
b2020（a+）2021＝（﹣4）2020×（+4）2021＝[（+5）（2020×（+4）＝．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，积的乘方，逆用积的乘方公式是解题的关键．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（﹣2，0），C（﹣1，﹣2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 （1，﹣2） ；
（3）求△ABC的面积；
（4）已知点P为x轴上一点，若S△ABP＝6时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据A（2，2），B（﹣2，0），C（﹣1，﹣2），即可在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）根据轴对称的性质即可得点D的坐标；
（3）根据网格即可求△ABC的面积；
（4）根据S△ABP＝6时，即可求点P的坐标．
解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）∵点D与点C关于y轴对称，
∴点D的坐标为（1，﹣2）；
故答案为：（7，﹣2）；
（3）△ABC的面积＝4×3﹣×5×4﹣×8×4＝5；
（4）∵点P为x轴上一点，S△ABP＝6，
∴点P的坐标为（4，0）或（﹣7．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的面积，关于x轴，y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10＜m＜20），当把购进的两种多媒体全部售出，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【分析】（1）设该教育科技公司计划购进x套A种多媒体，y套B种多媒体，根据“该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设把购进的两种多媒体全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每套的销售利润×销售数量（购进数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设该教育科技公司计划购进x套A种多媒体，y套B种多媒体，
根据题意得：，
解得：．
答：该教育科技公司计划购进20套A种多媒体，30套B种多媒体；
（2）设把购进的两种多媒体全部售出后获得的总利润为w元，
根据题意得：w＝（3.3﹣7）m+（2.8﹣6.4）（50﹣m），
即w＝﹣0.2m+20，
∵﹣0.1＜5，
∴w随m的增大而减小，
又∵10＜m＜20，且m为正整数，
∴当m＝11时，w取得最大值．
答：购进A种多媒体11套时，能获得最大利润．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．将一长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．
（1）试说明：CE＝CF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求DE的长．
【分析】（1）由将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，易得∠1＝∠2＝∠3，即可证得结论；
（2）连接AF，由矩形纸片ABCD折叠，易证四边形AFCE为平行四边形；在Rt△CED中，设DE为x，则CE为8﹣x，CD＝AB＝4，根据勾股定理列方程可求得DE的长．
【解答】（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠，顶点A与C重合，
∴∠1＝∠2，AD∥BC，
∴∠6＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CE＝CF；
（2）解：连接AF，
∵AD∥BC，AE＝CE＝CF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
设DE为x，则CE为8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2+DE4＝CE2，
∴x2+62＝（8﹣x）6，
解得：x＝3，
∴DE＝3．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用．注意利用方程思想求解是关键．
21．兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能；若不能，说明理由．
【分析】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度．
（2）①根据时间＝路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可．
②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．
解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：800÷200＝2（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴a＝8+4﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min，
∴设BC所在直线为s7＝100t+b，
将B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直线为：s1＝100t﹣900．
当s1＝1900时，t哥哥＝28．
∵返回时妹妹的速度是哥哥的3.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴设妹妹返回时的解析式为s2＝160t+b，
将F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s7＝160t﹣2400．
令s1＝s2，则有100t﹣900＝160t﹣2400，
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图象以及利用待定系数法求解析式是解决该类问题的关键．
22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣3与x轴交于点B，与l1相交于点C．
（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A （﹣1，0） ，B （1，0） ，C （2，3） ．
（2）如图2，动直线y＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点．
①若PQ＝3，求t的值．
②若存在S△AQC：S△ABC＝3：4，求出此时点Q的坐标；若不存在
【分析】（1）令y＝x+1＝0，则x＝﹣1，令y＝3x﹣3＝0，则x＝1，联立y＝x+1和y＝3x﹣3得：x+1＝3x﹣3，解得：x＝2，即可求解；
（2）①由PQ＝|t﹣1﹣t﹣1|＝3，即可求解；
②在点N下方取点T使NT＝MN＝，则点T（0，﹣），即可求解；在点N上方取点R，使MR＝MN＝，则点R（0，），同理可解．
解：（1）令y＝x+1＝0，则x＝﹣5，0）；
令y＝3x﹣7＝0，则x＝1，8）；
联立y＝x+1和y＝3x﹣2得：x+1＝3x﹣8，
解得：x＝2，
即点C（2，2）；
故答案为：（﹣1，0），2），3）；
（2）①当y＝t时，则点P，t）、（，t），
则PQ＝|t﹣1﹣t﹣1|＝3，
解得：t＝或﹣；
②存在，理由：
设直线l2和y轴交于点N，则点N（0，
过点B作直线m∥l1，交y轴于点M，则此时，S△AMC＝S△ABC，
由点B（7，0）知，
则点M（0，﹣3），
在点N下方取点T使NT＝MN＝，﹣），
则直线t的表达式为：y＝x﹣，
联立y＝2x﹣3和上式得：3x﹣4＝x﹣，
解得：x＝，则点Q（，）；
在点N上方取点R，使MR＝，则点R（0，），
同理可得，点Q的坐标为：（，）；
综上，点Q的坐标为：（，，）．
【点评】本题考查的是一次函数综合应用，涉及到平行线的性质、线段长度的计算，分类求解是本题解题的关键．A
B
进价（万元/套）
3
2.4
售价（万元/套）
3.3
2.8
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