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2023-2024学年广东省东莞外国语中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省东莞外国语中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．1cm，4cm，2cm
C．1cm，2cm，3cmD．6cm，2cm，3cm
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
4．若一个正n边形的每个外角为36°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．14
5．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
6．点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，1）
7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
8．等腰三角形一个为50°，则其余两角度数是（ ）
A．50°，80°B．65°，65°
C．50°，80°或65°，65°D．无法确定
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），（0，6），若△AOB≌△CDA，则点D的坐标是（ ）
A．（﹣9，0）B．（﹣6，0）C．（0，﹣9）D．（﹣12，0）
10．已知：如图，在△ABC，△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，D，E三点在同一条直线上，连接BD
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，CD是△ABC的中线，若AB＝8 ．
12．如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件： ，使△ABD≌△ACD．
13．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ．
14．如图，△ABC中，∠BAC＝50° ．
15．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 ．
三、解答题（一）（每题6分，共24分）
16．一个多边形的内角和比其外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数．
17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC 关于y轴的对称图形△A1B1C1 （其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1 ）
（2）写出点A1、B1、C1 的坐标：A1 、B1、 、C1 ．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
四、解答题（二）（每题9分，共27分）
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明：BE＝2CE．
21．如图，△ABC中，AC＝BC（点A，B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，E，且AD＝CE＝6，DC＝8
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求△ACB的面积．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BG⊥AE，垂足为点F
（1）求证：BG平分∠ABE；
（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．
五、解答题（三）（每题12分，共24分）
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，点F在边AC上
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24；
（3）若CF＝BE，直接写出线段AB，AF ．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为边向外作等边△ABE，CE与AD交于点F．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠BAC＝20°，求∠DCF的度数；
（3）在（2）的条件下，若DF＝1
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．1cm，4cm，2cm
C．1cm，2cm，3cmD．6cm，2cm，3cm
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算，可选出答案．
解：A、∵2+3＞4；
B、∵1+2＜2；
C、∵1+2＝7；
D、∵2+3＜7．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：A．不是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以应该拿这块去．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
4．若一个正n边形的每个外角为36°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．14
【分析】根据多边形的外角和为360°进行计算即可．
解：一个正n边形的每个外角为36°，
所以这个正n边形的边数为360°÷36°＝10，
故选：A．
【点评】本题考查多边形内角与外角，掌握“多边形的外角和是360°”是正确解答的关键．
5．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
【分析】据在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度数，进而得出结论．
解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，1）
【分析】根据坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
解：∵点P与点P′关于x轴对称，已知点P（﹣2，
∴P′的坐标为（﹣2，﹣8）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标平面内两个点关于x轴对称的特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，难度适中．
7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
【分析】根据角平分线的性质即可求得．
解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键
8．等腰三角形一个为50°，则其余两角度数是（ ）
A．50°，80°B．65°，65°
C．50°，80°或65°，65°D．无法确定
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解：已知等腰三角形的一个内角是50°，
根据等腰三角形的性质，
当50°的角为顶角时，三角形的内角和是180°＝65°；
当50°的角为底角时，顶角为180﹣50×2＝80°．
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和为180度．分类讨论是正确解答本题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），（0，6），若△AOB≌△CDA，则点D的坐标是（ ）
A．（﹣9，0）B．（﹣6，0）C．（0，﹣9）D．（﹣12，0）
【分析】根据全等三角形的性质可得AD＝OB＝6，求出OD的长，即可确定点D坐标．
解：∵点A，B的坐标分别是（﹣3，（0，
∴OA＝8，OB＝6，
∵△AOB≌△CDA，
∴AD＝OB＝6，
∴OD＝4+3＝9，
∴点D坐标为（﹣2，0），
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
10．已知：如图，在△ABC，△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，D，E三点在同一条直线上，连接BD
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，CD是△ABC的中线，若AB＝8 4 ．
【分析】利用三角形的中线定义解答即可．
解：∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝AB，
∵AB＝8，
∴AD＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
12．如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件： ∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD或BD＝CD ，使△ABD≌△ACD．
【分析】∠1、∠2分别是△ADB、△ADC的外角，由∠1＝∠2可得∠ADB＝∠ADC，然后根据判定定理AAS、ASA、SAS尝试添加条件．
解：添加∠B＝∠C，可用AAS判定两个三角形全等；
添加∠BAD＝∠CAD，可用ASA判定两个三角形全等；
添加BD＝CD，可用SAS判定两个三角形全等．
故填∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD或BD＝CD．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 20 ．
【分析】因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：①当4为底时，其它两边都为8，
5、8、8可以构成三角形，
周长为20；
②当7为腰时，
其它两边为4和8，
∵8+4＝8，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．如图，△ABC中，∠BAC＝50° 115° ．
【分析】利用三角形内角和定理先求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的定义即可求解．
解：∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+（∠ABC+∠ACB）＝，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数．
15．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 16． ．
【分析】首先根据等边三角形的性质得∠B1A1A2＝60°，进而得∠MON＝∠OB1A1＝30°，再根据等腰三角形的性质得OA1＝A1B1＝A1A2＝2，故得△A1B1A2的边长为2，同理得△A2B2A3的边长为4，△A3B3A4的边长为8，以此规律可得△A4B4A5的边长．
解：∵△A1B1A5为等边三角形，
∴∠B1A1A4＝60°，
∴∠OA1B1＝180°﹣∠B2A1A2＝120°，
又∠MON＝30°，
∴∠OB5A1＝180°﹣∠OA1B8﹣∠MON＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠MON＝∠OB1A1＝30°，
∴OA6＝A1B1＝A8A2＝2，
∴△A6B1A2的边长为6，
同理：△A2B2A4的边长为4，△A3B7A4的边长为8，△A5B4A5的边长为16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三、解答题（一）（每题6分，共24分）
16．一个多边形的内角和比其外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数．
【分析】设这个多边形的边数为n．根据多边形的内角和公式与外角和可得（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，再解方程即可．
解：设这个多边形的边数为n．
根据题意，得（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，
解得n＝3．
所以这个多边形的边数为9．
【点评】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合，一元一次方程的应用，熟记多边形的内角和公式与外角和为360°是解本题的关键．
17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF
【分析】根据全等三角形的判定SSS，可以判定△ABC和△DEF全等，然后即可得到∠B＝∠E，从而证明AB∥DE．
【解答】证明：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC 关于y轴的对称图形△A1B1C1 （其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1 ）
（2）写出点A1、B1、C1 的坐标：A1 （1，5） 、B1、 （1，0） 、C1 （4，3） ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得出答案．
解：（1）如图，△A1B1C6即为所求．
（2）由图可得，A1（1，7），B1（1，4），C1（4，6）．
故答案为：（1，5），6），3）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF是解题的关键．
四、解答题（二）（每题9分，共27分）
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明：BE＝2CE．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）连接AE，结合线段垂直平分线的性质，求出∠CAE＝30°，即可得CE＝DE，再根据BE＝2DE，即可得出答案．
【解答】（1）解：如图，DE即为所求.
（2）证明：连接AE，
∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠ADE＝∠C，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE，
∴BE＝2CE．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的作图方法以及性质是解答本题的关键．
21．如图，△ABC中，AC＝BC（点A，B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，E，且AD＝CE＝6，DC＝8
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求△ACB的面积．
【分析】（1）由HL证明Rt△ADC≌Rt△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质得∠DAC＝∠ECB，再证∠ACB＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEB中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS）；
（2）解：∵△ADC≌△CEB，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∵AC＝BC＝10，
∴S△ACB＝AC•BC＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BG⊥AE，垂足为点F
（1）求证：BG平分∠ABE；
（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理和（1）的结论解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E，
∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴BA＝BE．
∵BG⊥AE，
∴BG平分∠ABE；
（2）解：∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∵∠DAB＝60°，
∴∠BAE＝30°．
∵BG⊥AE，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAE＝60°．
由（1）知：∠EBF＝∠ABF＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣∠BCG﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣60°＝20°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的想在和角平分线的定义是解题的关键．
五、解答题（三）（每题12分，共24分）
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，点F在边AC上
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24；
（3）若CF＝BE，直接写出线段AB，AF AB＝AF+2EB ．
【分析】（1）先过点D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，联合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据S△ACB＝S△ACD+S△ADB即可求得DE．
（3）由AC＝AE，CF＝BE，根据AB＝AE+EB，AC＝AF+CF即可证得．
解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE．
（2）由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB，
∴，
又∵AC＝8，AB＝10，
∴
∴DE＝．
（3）∵AB＝AE+EB，AC＝AE，
∴AB＝AC+EB，
∵AC＝AF+CF，CF＝BE
∴AB＝AF+2EB．
故答案为AB＝AF+2EB．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为边向外作等边△ABE，CE与AD交于点F．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠BAC＝20°，求∠DCF的度数；
（3）在（2）的条件下，若DF＝1
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；
（2）先由∠BAC＝20°，AB＝AC求出∠ACD＝80°，再根据△AEC是等腰三角形即可求出∠ACE＝50°即可求出∠DCF；
（3）在EF上取一点G，使得FG＝AF，即可得出△AGF是等边三角形，易证△AEG≌△ACF，EG＝CF，则EF﹣AF＝EF﹣GF＝EG＝CF，由（2）知∠DCF＝30°，CF＝2DF＝2即可解答．
解：（1）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC（三线合一）；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ACB＝80°，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，AE＝AB＝AC，
∴∠EAC＝60°+20°＝80°，
∴∠ACE＝50°，
∴∠DCF＝∠ACB﹣∠ACE＝80°﹣50°＝30°；
（3）在EF上取一点G，使得FG＝AF，
∵∠DCF＝30°，AD⊥BC，
∴∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴AF＝AG，∠GAF＝60°，
∴∠EAG＝∠CAF＝10°，
∵AE＝AC，
∴△AEG≌△ACF（SAS），
∴EG＝CF，
∵∠DCF＝30°，∠FDC＝90°，
∴CF＝2DF＝2，
∴EF﹣AF＝EF﹣GF＝EG＝CF＝5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．1cm，4cm，2cm
C．1cm，2cm，3cmD．6cm，2cm，3cm
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
4．若一个正n边形的每个外角为36°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．14
5．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
6．点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，1）
7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
8．等腰三角形一个为50°，则其余两角度数是（ ）
A．50°，80°B．65°，65°
C．50°，80°或65°，65°D．无法确定
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），（0，6），若△AOB≌△CDA，则点D的坐标是（ ）
A．（﹣9，0）B．（﹣6，0）C．（0，﹣9）D．（﹣12，0）
10．已知：如图，在△ABC，△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，D，E三点在同一条直线上，连接BD
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，CD是△ABC的中线，若AB＝8 ．
12．如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件： ，使△ABD≌△ACD．
13．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ．
14．如图，△ABC中，∠BAC＝50° ．
15．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 ．
三、解答题（一）（每题6分，共24分）
16．一个多边形的内角和比其外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数．
17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC 关于y轴的对称图形△A1B1C1 （其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1 ）
（2）写出点A1、B1、C1 的坐标：A1 、B1、 、C1 ．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
四、解答题（二）（每题9分，共27分）
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明：BE＝2CE．
21．如图，△ABC中，AC＝BC（点A，B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，E，且AD＝CE＝6，DC＝8
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求△ACB的面积．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BG⊥AE，垂足为点F
（1）求证：BG平分∠ABE；
（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．
五、解答题（三）（每题12分，共24分）
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，点F在边AC上
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24；
（3）若CF＝BE，直接写出线段AB，AF ．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为边向外作等边△ABE，CE与AD交于点F．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠BAC＝20°，求∠DCF的度数；
（3）在（2）的条件下，若DF＝1
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．1cm，4cm，2cm
C．1cm，2cm，3cmD．6cm，2cm，3cm
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算，可选出答案．
解：A、∵2+3＞4；
B、∵1+2＜2；
C、∵1+2＝7；
D、∵2+3＜7．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：A．不是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以应该拿这块去．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
4．若一个正n边形的每个外角为36°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．14
【分析】根据多边形的外角和为360°进行计算即可．
解：一个正n边形的每个外角为36°，
所以这个正n边形的边数为360°÷36°＝10，
故选：A．
【点评】本题考查多边形内角与外角，掌握“多边形的外角和是360°”是正确解答的关键．
5．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
【分析】据在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度数，进而得出结论．
解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，1）
【分析】根据坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
解：∵点P与点P′关于x轴对称，已知点P（﹣2，
∴P′的坐标为（﹣2，﹣8）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标平面内两个点关于x轴对称的特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，难度适中．
7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
【分析】根据角平分线的性质即可求得．
解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键
8．等腰三角形一个为50°，则其余两角度数是（ ）
A．50°，80°B．65°，65°
C．50°，80°或65°，65°D．无法确定
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解：已知等腰三角形的一个内角是50°，
根据等腰三角形的性质，
当50°的角为顶角时，三角形的内角和是180°＝65°；
当50°的角为底角时，顶角为180﹣50×2＝80°．
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和为180度．分类讨论是正确解答本题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），（0，6），若△AOB≌△CDA，则点D的坐标是（ ）
A．（﹣9，0）B．（﹣6，0）C．（0，﹣9）D．（﹣12，0）
【分析】根据全等三角形的性质可得AD＝OB＝6，求出OD的长，即可确定点D坐标．
解：∵点A，B的坐标分别是（﹣3，（0，
∴OA＝8，OB＝6，
∵△AOB≌△CDA，
∴AD＝OB＝6，
∴OD＝4+3＝9，
∴点D坐标为（﹣2，0），
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
10．已知：如图，在△ABC，△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，D，E三点在同一条直线上，连接BD
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，CD是△ABC的中线，若AB＝8 4 ．
【分析】利用三角形的中线定义解答即可．
解：∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝AB，
∵AB＝8，
∴AD＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
12．如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件： ∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD或BD＝CD ，使△ABD≌△ACD．
【分析】∠1、∠2分别是△ADB、△ADC的外角，由∠1＝∠2可得∠ADB＝∠ADC，然后根据判定定理AAS、ASA、SAS尝试添加条件．
解：添加∠B＝∠C，可用AAS判定两个三角形全等；
添加∠BAD＝∠CAD，可用ASA判定两个三角形全等；
添加BD＝CD，可用SAS判定两个三角形全等．
故填∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD或BD＝CD．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 20 ．
【分析】因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：①当4为底时，其它两边都为8，
5、8、8可以构成三角形，
周长为20；
②当7为腰时，
其它两边为4和8，
∵8+4＝8，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．如图，△ABC中，∠BAC＝50° 115° ．
【分析】利用三角形内角和定理先求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的定义即可求解．
解：∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+（∠ABC+∠ACB）＝，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数．
15．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 16． ．
【分析】首先根据等边三角形的性质得∠B1A1A2＝60°，进而得∠MON＝∠OB1A1＝30°，再根据等腰三角形的性质得OA1＝A1B1＝A1A2＝2，故得△A1B1A2的边长为2，同理得△A2B2A3的边长为4，△A3B3A4的边长为8，以此规律可得△A4B4A5的边长．
解：∵△A1B1A5为等边三角形，
∴∠B1A1A4＝60°，
∴∠OA1B1＝180°﹣∠B2A1A2＝120°，
又∠MON＝30°，
∴∠OB5A1＝180°﹣∠OA1B8﹣∠MON＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠MON＝∠OB1A1＝30°，
∴OA6＝A1B1＝A8A2＝2，
∴△A6B1A2的边长为6，
同理：△A2B2A4的边长为4，△A3B7A4的边长为8，△A5B4A5的边长为16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三、解答题（一）（每题6分，共24分）
16．一个多边形的内角和比其外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数．
【分析】设这个多边形的边数为n．根据多边形的内角和公式与外角和可得（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，再解方程即可．
解：设这个多边形的边数为n．
根据题意，得（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，
解得n＝3．
所以这个多边形的边数为9．
【点评】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合，一元一次方程的应用，熟记多边形的内角和公式与外角和为360°是解本题的关键．
17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF
【分析】根据全等三角形的判定SSS，可以判定△ABC和△DEF全等，然后即可得到∠B＝∠E，从而证明AB∥DE．
【解答】证明：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC 关于y轴的对称图形△A1B1C1 （其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1 ）
（2）写出点A1、B1、C1 的坐标：A1 （1，5） 、B1、 （1，0） 、C1 （4，3） ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得出答案．
解：（1）如图，△A1B1C6即为所求．
（2）由图可得，A1（1，7），B1（1，4），C1（4，6）．
故答案为：（1，5），6），3）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF是解题的关键．
四、解答题（二）（每题9分，共27分）
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明：BE＝2CE．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）连接AE，结合线段垂直平分线的性质，求出∠CAE＝30°，即可得CE＝DE，再根据BE＝2DE，即可得出答案．
【解答】（1）解：如图，DE即为所求.
（2）证明：连接AE，
∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠ADE＝∠C，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE，
∴BE＝2CE．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的作图方法以及性质是解答本题的关键．
21．如图，△ABC中，AC＝BC（点A，B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，E，且AD＝CE＝6，DC＝8
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求△ACB的面积．
【分析】（1）由HL证明Rt△ADC≌Rt△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质得∠DAC＝∠ECB，再证∠ACB＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEB中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS）；
（2）解：∵△ADC≌△CEB，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∵AC＝BC＝10，
∴S△ACB＝AC•BC＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BG⊥AE，垂足为点F
（1）求证：BG平分∠ABE；
（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理和（1）的结论解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E，
∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴BA＝BE．
∵BG⊥AE，
∴BG平分∠ABE；
（2）解：∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∵∠DAB＝60°，
∴∠BAE＝30°．
∵BG⊥AE，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAE＝60°．
由（1）知：∠EBF＝∠ABF＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣∠BCG﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣60°＝20°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的想在和角平分线的定义是解题的关键．
五、解答题（三）（每题12分，共24分）
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，点F在边AC上
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24；
（3）若CF＝BE，直接写出线段AB，AF AB＝AF+2EB ．
【分析】（1）先过点D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，联合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据S△ACB＝S△ACD+S△ADB即可求得DE．
（3）由AC＝AE，CF＝BE，根据AB＝AE+EB，AC＝AF+CF即可证得．
解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE．
（2）由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB，
∴，
又∵AC＝8，AB＝10，
∴
∴DE＝．
（3）∵AB＝AE+EB，AC＝AE，
∴AB＝AC+EB，
∵AC＝AF+CF，CF＝BE
∴AB＝AF+2EB．
故答案为AB＝AF+2EB．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为边向外作等边△ABE，CE与AD交于点F．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠BAC＝20°，求∠DCF的度数；
（3）在（2）的条件下，若DF＝1
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；
（2）先由∠BAC＝20°，AB＝AC求出∠ACD＝80°，再根据△AEC是等腰三角形即可求出∠ACE＝50°即可求出∠DCF；
（3）在EF上取一点G，使得FG＝AF，即可得出△AGF是等边三角形，易证△AEG≌△ACF，EG＝CF，则EF﹣AF＝EF﹣GF＝EG＝CF，由（2）知∠DCF＝30°，CF＝2DF＝2即可解答．
解：（1）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC（三线合一）；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ACB＝80°，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，AE＝AB＝AC，
∴∠EAC＝60°+20°＝80°，
∴∠ACE＝50°，
∴∠DCF＝∠ACB﹣∠ACE＝80°﹣50°＝30°；
（3）在EF上取一点G，使得FG＝AF，
∵∠DCF＝30°，AD⊥BC，
∴∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴AF＝AG，∠GAF＝60°，
∴∠EAG＝∠CAF＝10°，
∵AE＝AC，
∴△AEG≌△ACF（SAS），
∴EG＝CF，
∵∠DCF＝30°，∠FDC＝90°，
∴CF＝2DF＝2，
∴EF﹣AF＝EF﹣GF＝EG＝CF＝5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
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