山西省晋中市多校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份山西省晋中市多校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 如图，在平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判定小手盖住的点在第二象限，然后第二象限点的坐标特点即可解答．
【详解】解：∵手的位置是在第二象限，
∴手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴结合选项这个点．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点在第二象限时点的坐标特征，掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解答本题的关键．
2. 要使二次根式有意义，的值可以是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 ∴的值可以是2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握：二次根式有意义，则．
3. 下列各式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简、立方根的性质以及二次根式的加法法则运算，即可作答．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项是错误的，不符合题意；
B、2与不是同类二次根式，不能合并，故该选项是错误的，不符合题意；
C、，故该选项是正确的，符合题意；
D、，故该选项是错误的，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简、立方根的性质以及二次根式的加法法则，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
4. 如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，3）表示（ ）
A. 3排5号B. 5排3号C. 4排3号D. 3排4号
【答案】C
【解析】
【详解】解：由“5排2号”记作（5，2）可知横坐标表示排，纵坐标表示号，
所以（4，3）表示4排3号，
故选：C．
5. 如图所示的蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，那么关于轴对称的点的坐标为．则的值为（ ）

A. B. 1C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由点，点关于轴对称，可得，求出的值，然后代值求解即可．
【详解】解：∵点，点关于轴对称，
∴，
解得，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的特征，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：关于y轴对称的点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等．
6. 为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点O）到达点，点对应的数是（ ）

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆的周长等于线段的长度，从而可得答案．
【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆的周长为，
∴点对应的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，无理数在数轴上的表示，理解实数与数轴上的点一一对应是解本题的关键．
7. 如图，在中，，平分交于点，且，，则点到的距离为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作于点E，运用勾股定理求出，因为平分交于点，则，即可作答．
【详解】解：过点D作于点E，如图

因为，，，
所以，
因为平分交于点，且，，
所以，
则点到的距离为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8. 已知，均为有理数，若，则的算术平方根是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，可得，由，均为有理数，可得，，然后求的算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，均为有理数，
∴，，
∴的算术平方根为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，完全平方公式，算术平方根．解题的关键在于确定的值．
9. 下列四个选项中，符合函数的性质的选项是（ ）
A. 图象经过第一、三、四象限B. 随的增大而增大
C. 图象必经过点 D. 图象与轴交于点
【答案】C
【解析】
【分析】由，可知，，则函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，进而可判断A、B的正误；当时，，即图象必经过点，进而可判断C的正误；当时，，图象与轴交于点，进而可判断D的正误．
【详解】解：∵，
∴，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，A、B错误，故不符合要求；
当时，，即图象必经过点，C正确，故符合要求；
当时，，图象与轴交于点，D错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题．解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质．
10. 已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：一次函数，随着的增大而减小，
，
又，
，
此一次函数图象过第一，二，四象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 写出一个可以与合并的二次根式 _____．
【答案】（不唯一）
【解析】
【分析】可以合并的二次根式即为同类二次根式，据此解答．
【详解】解：以与合并的二次根式是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了同类二次根式：含有相同的被开方数的最简二次根式，正确掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
12. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为广泛流行的益智游戏．如图，这是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，，则表示棋子“帥”的点的坐标为________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据棋子“炮”和“車”的点的坐标建立直角坐标系，然后直接写出棋子“帥”的点的坐标即可．
【详解】解：根据棋子“炮”和“車”的点的坐标建立直角坐标系如图所示：
则棋子“帥”的点的坐标为．

故答案为．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确作出平面直角坐标系是解答本题的关键．
13. 下列各图是由若干个盆花组成的三角形图案，每条边（包括两个顶点）有盆花，每个图案花盆的总数是．按此规律推断，与的关系式是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据图形，写出前几个图形的关系式，找到规律即可求解．
【详解】根据图片可知：
第一图：有花盆个，每条边有花盆个，那么；
第二图：有花盆个，每条边有花盆个，那么；
第三图：有花盆个，每条边有花盆个，那么；
…
所以．
故答案为：．
【点睛】本题要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．
14. 若a、b为实数，在数轴上的位置如图所示，则= _________．
【答案】b
【解析】
【详解】分析：根据数轴确定的符号，得到 再根据绝对值，算术平方根的性质化简即可.
详解：根据数轴可得：

原式
故答案为
点睛：本题主要考查了数轴的知识，熟练掌握绝对值的性质及二次根式的性质与化简是解题的关键；
15. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为____．

【答案】
【解析】
【分析】先求出一次函数表达式，根据平移可知平移后的解析式，最后把点代入即可．
【详解】∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴一次函数表达式为，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为，
由直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线，
∴直线的函数表达式为，
∵，且点位于轴的正半轴，
∴点的坐标为，
∵直线恰好经过点，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）下面是小亮同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．
……………………………………第一步
…………………………………………第二步
………………………………………………第三步
．………………………………………………………第四步
任务一：以上步骤中，第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________．
任务二：请直接写出正确的计算结果：________．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）；（2）任务一：第二步，括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；任务二：；任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的混合运算即可求解；
（2）根据二次根式混合运算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）任务一：第二步，括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号，
故答案为：第二步，括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
任务二：
，
故答案为：；
任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算是解题的关键．
17. 在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点在轴上，则的值为________．
（2）若点位于第四象限，且点到轴的距离等于，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据点在轴，则横坐标即可求解；
（2）根据点位于第四象限，且点到轴的距离等于，得出即可．
【小问1详解】
∵点在轴，
∴，解得：，
故答案为：；
【小问2详解】
由题意可得：，
∵点的纵坐标小于，
∴，解得，
∴点的坐标为．
【点睛】此题考查了点的坐标的几何意义，及坐标轴上的点的坐标的特征，解题的关键是理解注意横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，交轴于点，已知，关于直线对称．
（1）求点的坐标．
（2）若点的坐标为，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）点的坐标为
（2）等腰直角三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标的意义及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征，即可得出答案．
（2）利用轴对称的性质及等腰三角形的定义即可判断的形状.
【小问1详解】
解：由直线过点且平行于轴，交轴于点知点的纵坐标为1.
因为，
所以点的横坐标为，
所以点的坐标为.
【小问2详解】
为等腰直角三角形.
理由：如图，设直线与的交点为.
因为关于直线对称，
所以，，，
所以，.
因为点的坐标为，点的坐标为，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以为等腰直角三角形.
【点睛】此题考查了坐标与图形变化及利用轴对称判断三角形的形状.解此类问题的关键是要掌握点的坐标与距离之间的关系及等腰三角形的判定方法．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线的表达式为，是直线与直线的交点．
（1）求点的坐标．
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接把点的坐标带入直线表达式中求解即可．
（2）先计算线段长，再利用点的纵坐标，直接求出三角形的面积．
【小问1详解】
因为直线过点，
所以，
所以，
所以．
【小问2详解】
因为直线经过点，
所以，
解得：，
所以直线的表达式为，
令，，解得，
所以点的坐标为，
所以的面积.
【点睛】本题主要考查一次函数的交点及三角形面积问题，掌握代入法求坐标和把坐标转化为线段长是解决问题的关键．
20. 如图，和是等腰直角三角形，，，，（与，不重合）是边上一点．
（1）判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1），见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用证明，再根据性质即可求解；
（）根据等腰直角三角形的性质，得出，由全等三角形性质，最后由勾股定理求解即可．
【小问1详解】
，理由：
∵，
∴，即.
∵，，
∴，
；
【小问2详解】
∵是等腰直角三角形，且，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴的长为．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定及其应用．
21. 阅读与思考
观察下列等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）________（填计算的结果）．
（2）计算：．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据题中给出的分母有理化即可；
（）根据题中得出的规律进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
原式，
，
，
．
【点睛】此题考查了分母有理化，解题的关键是熟练掌握平方差公式的应用．
22. 某商店购进一批牛奶进行销售，据了解，每箱甲种牛奶的进价比每箱乙种牛奶的进价少元，且购进2箱甲种牛奶和箱乙种牛奶共需元．
（1）问甲、乙两种牛奶每箱的进价分别为多少元？
（2）若每箱甲种牛奶的售价为元，每箱乙种牛奶的售价为元，考虑到市场需求，商店决定共购进这两种牛奶共箱，且购进甲种牛奶的数量不少于箱．设购进甲种牛奶箱，总利润为元，请求出总利润（元）与（箱）的函数关系式，并根据函数关系式求出获得最大利润的进货方案．
【答案】（1）每箱甲种牛奶的进价为元，每箱乙种牛奶的进价为元．
（2）总利润（元）与（箱）的函数关系式为；获得最大利润的进货方案为购进甲种牛奶箱，乙种牛奶箱．
【解析】
【分析】（1）依据题意设出甲种牛奶的的进价为元，再表示乙种牛奶的进价，直接列一元一次方程求解即可．
（2）根据第一问求出的进价，计算两种牛奶的每箱利润，再设甲种牛奶进购箱，乙种进购箱，即可表示总利润，最后计算出最大利润即可．
【小问1详解】
解：设每箱甲种牛奶的进价为元，则每箱乙种牛奶的进价为元，
依题意得，
解得：，
所以，
答：每箱甲种牛奶的进价为元，每箱乙种牛奶的进价为元．
【小问2详解】
由题可得，
化简得：，
因为，，
所以当时，随的增大而减小，
所以当时，有最大值，此时乙种牛奶数量为（箱），
答：总利润（元）与（箱）的函数关系式为；获得最大利润的进货方案为购进甲种牛奶箱，乙种牛奶箱．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，一次函数，一元一次不等式的综合，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键．
23. 综合与探究
定义：一次函数的相垂函数是．如：一次函数的相垂函数是．
（1）一次函数的相垂函数是________．
（2）请在平面直角坐标系中画出一次函数的图象及其相垂函数的图象．
（3）在（2）的条件下，是一次函数的图象上的一个动点，过点作直线平行于轴，且交其相垂函数的图象于点，当线段时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据相垂函数的定义即可求解；
（2）根据相垂函数的定义先求出的相垂函数，再画出图象即可；
（3）根据题意设，，再结合，即可求解．
【小问1详解】
解：一次函数中，，
∴，，
∴一次函数的相垂函数是；
【小问2详解】
解：由题意可知，一次函数的相垂函数是，
：时，；时，；
：时，；时，；
一次函数的图象及其相垂函数的图象如图所示：
【小问3详解】
解：设点的横坐标为，
∵直线平行于轴，且点在一次函数的图象上，点在其相垂函数的图象上，
∴，，
∵，即，
解得，，
∴或；
【点睛】本题考查一次函数的相关问题，给出了新定义相垂函数，正确理解题意是关键．