2023-2024学年度初三秋季B版第3讲：直线与圆(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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第3讲：直线与圆【重要考点目录】模块1：切线的性质定理模块2：切线判定定理模块3：切线长定理模块4：内切圆【重要考点讲解】模块1：切线的性质定理【知识精讲】题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题.【典例精讲】例题1．（1）（2023•哈尔滨）如图，是的切线，为切点，连接，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的度数为　　A． B． C． D．（2）（2023•眉山）如图，切于点，连结交于点，交于点，连结，若，则的度数为　　A． B． C． D．（3）（2023•徐州）如图，在中，直径与弦交于点．，连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则　　．【能力提升】例题2．（1）（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠于点，长边与相切于点，角尺的直角顶点为．已知，，则的半径为 　　．（2）（2020•梧州）如图，在矩形中，，，点在对角线上，以为半径作交于点，连接，若是的切线，此时的半径为　　A．2 B． C． D．模块2：切线判定定理【知识精讲】判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。【典例精讲】例题3．如图，是的外接圆，为的直径，，垂足为点，延长交的延长线于点．（1）是的切线吗？为什么？（2）若，，求的半径．例题4．如图，为的直径，是上一点，在的延长线上，且．是下半圆弧中点，连接交于．（1）求证：与相切．（2），，求的半径．例题5．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的长．模块2：切线判定定理【知识精讲】【典例精讲】例题5．（1）（2020•西宁）如图，，与分别相切于点，，，，则　　A． B．2 C． D．3（2）如图，、、分别切于点、、．若，，则的长是　　A．4 B．3 C．2 D．1（3）（2020•永州）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④是外接圆的圆心．其中正确说法的个数是　　A．1 B．2 C．3 D．4【能力提升】例题6．（1）（2020•眉山）如图，点为外一点，过点作的切线、，点、为切点，连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．已知，，则的长为　　．（2）（2020•鄂州）如图，已知直线与、轴交于、两点，的半径为1，为上一动点，切于点．当线段长取最小值时，直线交轴于点，为过点的一条直线，则点到直线的距离的最大值为　　．（3）（2021•泸州）如图，的直径，，是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，，相交于点，若，则的长是　　A． B． C． D．模块4：内切圆【知识精讲】【典例精讲】例题7．（1）（2019•泸州）如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是　　A． B． C． D．（2）（2019•娄底）如图，边长为的等边的内切圆的半径为　　A．1 B． C．2 D．（3）（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 　　步（注：“步”为长度单位）．【能力提升】例题8．（1）（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　　．（2）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，，依此规律，第2020次滚动后，内切圆的圆心的坐标是　　．（3）（2023•桂林二模）如图，在中，，，，半径为1的在内移动，当与的两边都相切时，圆心到点的距离为 　　．第3讲：直线与圆课后巩固1．（2023•北京）如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为 　　．2．（2021•贺州）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为　　A． B． C． D．13．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（　　）A． B． C． D．4．如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　A．8 B．12 C．16 D．205．（2018•河池）如图，等边的边长为2，的半径为1，是上的动点，与相切于，的最小值是　　A．1 B． C． D．26．（2023•攀枝花）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（　　）A．rl B．πrl C．rl D．πrl7．如图，在中，，，，则的内切圆的半径是　　A．2 B．3 C．4 D．无法判断8．（2022•潍坊）如图，的内切圆（圆心为点与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是　　A．射线一定过点 B．点是三条中线的交点 C．若是等边三角形，则 D．点不是三条边的垂直平分线的交点9．（2021•乐山）如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为　　A．4 B． C． D．510．（2021秋•南宁期末）如图1，已知为的直径，为上一点，平分，于点，并与交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径；（3）如图2，为中点，连接，在（2）的条件下，求的长．定 理示例剖析切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．“经过圆心”、“经过切点”、“互相垂直”知二推一定 理示例剖析切线的判定：定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 定义法 距离法 定理法定 理示例剖析切线长：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 定 义示例剖析三角形内切圆：（1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．（2）三角形内心的性质：①三角形内心是指内切圆的圆心，它是三角形三个角的角平分线交点，它到三条边的距离都相等；②三角形的切切圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其内心是唯一的，但一个圆的外切三角形却有无数个，这些三角形的内心重合．（3）结论：①若三角形三边长分别为，内切圆半径为，则三角形的面积；②若直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，则此直角三角形内切圆半径．内切圆：直角三角形内切圆：设为的内切圆，三边长分别为，则有：①四边形是正方形；②内切圆半径．