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辽宁省大连市沙河口区部分学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷
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这是一份辽宁省大连市沙河口区部分学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ）
A．相似B．平移C．轴对称D．旋转
2．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（ ）
A．6B．C．D．
5．（3分）如果抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点的坐标是（6，0），那么它与x轴的一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣6，0）B．（﹣4，0）C．（﹣2，0）D．（4，0）
6．（3分）已知tanA＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（3，1）B．（3，3）C．（4，1）D．（4，4）
8．（3分）关于二次函数y＝3x2+6的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．开口向上
B．x＜0时，y随x的增大而减小
C．对称轴是y轴
D．抛物线过点（0，﹣6）
9．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A．3sinα米B．3csα米C．米D．米
10．（3分）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+×10）
D．w＝（x﹣50）（200+×10）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′且＝，则S△ABC：S△A′B′C′为 ．
12．（3分）如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为 米．
13．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，AD＝2，则BC＝ ．
14．（3分）如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是 ．
15．（3分）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 米．
三、解答题（本大题含8道小题，共75分）
16．（4分）（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cs45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度数．
17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
18．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
19．（9分）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中BE∥CD，BC⊥CD，ED⊥CD，AB＝CD＝3.3m，BC＝1m．现由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最大为42°．
（1）求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．
（2）若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
20．（8分）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
21．（8分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
22．（12分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，连接AD，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是AC上一点，连接FE并延长交BC于点G，∠AEF＝∠ABD．求证：∠BAD＝∠CGF．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题；
实践探究：（2）王老师提出了新问题，求证DG＝AF．王老师的问题引发了同学们的思考，并积极地进行了小组讨论．在展示交流的过程中，小明同学分享了他的思路，他先发现并证明了AE和GE相等，然后又构造全等得到了结论．相信你也得到了启发，请你完成证明DG＝AF；
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，如图2，当BG＝CF＝3AF时，可以求的值，请你尝试完成解答．
23．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点且AB＝4，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴和解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点M，连接CM，以M为旋转中心顺时针旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在抛物线上，求点M坐标；
（3）如图2，点D是抛物线顶点，点P是抛物线上一点，连接AD，CP交于H，当∠CHD＝45°时，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ）
A．相似B．平移C．轴对称D．旋转
【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的特点，结合图形即可得出答案．
【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
2．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线顶点式确定抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanA＝，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴tanA＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
4．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（ ）
A．6B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴AB：BC＝DE：EF，
即2：4＝DE：5，
∴DE＝2.5，
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
5．（3分）如果抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点的坐标是（6，0），那么它与x轴的一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣6，0）B．（﹣4，0）C．（﹣2，0）D．（4，0）
【分析】根据抛物线的对称性解答即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键．
6．（3分）已知tanA＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：∵，且∠A是锐角，
∴∠A＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
7．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（3，1）B．（3，3）C．（4，1）D．（4，4）
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，
∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为：1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
8．（3分）关于二次函数y＝3x2+6的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．开口向上
B．x＜0时，y随x的增大而减小
C．对称轴是y轴
D．抛物线过点（0，﹣6）
【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质逐项进行判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵y＝3x2+6，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减小，与y轴的交点坐标为（0，6）．
综上，A、B、C均正确，D不正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
9．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A．3sinα米B．3csα米C．米D．米
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
10．（3分）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+×10）
D．w＝（x﹣50）（200+×10）
【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润＝实际售价﹣成本价，销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润＝每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
【解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售（200+×10）件，
根据题意得：w＝（x﹣50）（200+×10），
故选：D．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，理解题意找到题目蕴含的等量关系是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′且＝，则S△ABC：S△A′B′C′为 1：4 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝（）2＝1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12．（3分）如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为 100 米．
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，则AB＝，
∴AB＝＝100（米）．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
13．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，AD＝2，则BC＝ ．
【分析】先利用三角形外角性质计算出∠ABD＝30°，则∠A＝∠ABD，所以BD＝AD＝2，然后在Rt△BDC中利用∠BDC的正弦可计算出BC的长．
【解答】解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
而∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝2，
在Rt△BDC中，∵sin∠BDC＝，
∴BC＝2sin60°＝2×＝．
故答案为．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
14．（3分）如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是 8km ．
【分析】先根据题意得出∠BAC＝30°，AB＝12km，再由cs∠BAC＝得AC＝，据此代入计算可得．
【解答】解：由题意知∠BAC＝30°，AB＝12km，
在Rt△ABC中，∵cs∠BAC＝，
∴AC＝＝＝8（km），
即A处与灯塔C的距离是8km，
故答案为：km．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
15．（3分）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 26 米．
【分析】把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k求出k，根据镜面对称可得PP′＝2k，即可求得结果．
【解答】解：由二次函数的图象可知，A（22，0）在抛物线上，
把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k得：
0＝﹣（22﹣11）2+k，
解得：k＝13，
∴y＝﹣（x﹣11）2+13，
∵P和P′关于x轴对称，
∴PP′＝2×13＝26（米），
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，把A（22，0）代入函数解析式求出k值是解决问题的关键．
三、解答题（本大题含8道小题，共75分）
16．（4分）（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cs45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度数．
【分析】（1）将tan60°＝，tan30°＝，sin60°＝及cs45°＝代入原式，即可求出结论；
（2）在Rt△ABC中，利用正切的定义可求出tanA的值，进而可求出∠A的度数．
【解答】解：（1）原式＝+9×﹣8×﹣2×＝﹣；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝60°．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；
（2）根据A，B，C的坐标求出AB，CO长，即可求出S△ABC的值．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0）；B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝＝6．
【点评】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，熟练进行计算是解题的关键．
18．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4．
∵E是BC中点，
∴CE＝BC＝2．
∵△CDE∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴DE＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．
19．（9分）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中BE∥CD，BC⊥CD，ED⊥CD，AB＝CD＝3.3m，BC＝1m．现由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最大为42°．
（1）求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．
（2）若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【分析】（1）过点A作AF⊥BE于点F，当故障时A点最高时，在Rt△ABF利用锐角三角函数计算出AF，进而可得出此时A点离地面的高度；
（2）在CD上取点H，使得DH＝1.8m，过点H作HG⊥CD，交AB于点G，交BE于点M，可得出HM、BM，在Rt△BMG中利用锐角三角函数可计算出GM长，进而可得出GH，根据GH长度与2.4的大小关系即可进行判断．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥BE于点F，则∠AFB＝90°，
当故障时A点最高时，∠ABF＝42°，
在Rt△ABF中，sin42°＝，即0.67＝，
∴AF＝2.211m，
∴此时A点离地面长为：2.211+1＝3.211≈3.2m；
（2）在CD上取点H，使得DH＝1.8m，
过点H作HG⊥CD，交AB于点G，交BE于点M，则HM＝BC＝1m，CH＝BM＝3.3﹣1.8＝1.5m，
在Rt△BMG中，tan42°＝，即0.9＝，
∴GM＝1.35m，
∴GH＝GM+MH＝1.35+1＝2.35m＜2.4m，
∴一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m不能在升降杆故障时进入停车场．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是构造合适的辅助线．
20．（8分）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
【分析】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC，再利用Rt△ABC和Rt△ADF相似求得DF的长，加上EF，即可求得树高DE；
（2）利用Rt△A′B′C′和Rt△D′B′F相似求得B′F的长，即可求得小丽向前移动了多少米．
【解答】解：（1）∵∠DFA＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CAB，
∴△DFA∽△BCA，
∴＝，
在Rt△ABC中，
∵AB＝0.5m，BC＝0.3m，
由勾股定理得AC＝＝0.4（m），
∵AF＝16m，
∴＝，
∴DF＝12（m），
∴DE＝DF+EF＝12+1.5＝13.5（m），
答：古树的高度DE为13.5米；
（2）∵∠D′FB′＝∠A′C′B′＝90°，∠D′B′F＝∠A′B′C′，
∴△D′FB′∽△A′C′B′，
∴＝，
∴＝，
∴B′F＝9（m），
∴16﹣9＝7（m），
答：小丽向前移动了7米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DFA∽△BCA和△D′FB′∽△A′C′B′．
21．（8分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 11.25 ，直接写出满足的函数关系式： y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25 ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可；
（2）分别求出两个解析式当y＝0时，x的值，进行比较即可；
（3）先求出c的值，再求出t＝1.6时的y值，进行判断即可．
【解答】解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25），
∴h＝＝3.5，
∴y＝a（x﹣3.5）2+k，
∴，
解得：，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案为：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）+11.25，
（2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x＝5或x＝2（不合题意，舍去）；
∴d1＝5米；
∵y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时：﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合题意，舍去）；
∴d2＝+4＞5，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴B（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上无法完成此动作，
∴她当天的比赛不能成功完成此动作．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
22．（12分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，连接AD，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是AC上一点，连接FE并延长交BC于点G，∠AEF＝∠ABD．求证：∠BAD＝∠CGF．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题；
实践探究：（2）王老师提出了新问题，求证DG＝AF．王老师的问题引发了同学们的思考，并积极地进行了小组讨论．在展示交流的过程中，小明同学分享了他的思路，他先发现并证明了AE和GE相等，然后又构造全等得到了结论．相信你也得到了启发，请你完成证明DG＝AF；
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，如图2，当BG＝CF＝3AF时，可以求的值，请你尝试完成解答．
【分析】（1）由四边形的内角和定理可得∠BAD+∠BGE＝180°，即可求解；
（2）由“SAS”可证△BGE≌△BHE，可得HE＝EG，∠BGE＝∠BHE，由“SAS”可证△AEF≌△NEG，可得∠AFE＝∠N，AF＝GD，由外角的性质可求解；
（3）通过证明△EGD∽△BAD，可得，可求ED＝x，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠AEF+∠AEG＝180°，∠AEF＝∠ABD，
∴∠ABD+∠AEG＝180°，
∵∠ABD+∠AEG+∠BAD+∠BGE＝360°，
∴∠BAD+∠BGE＝180°，
∵∠CGF+∠BGE＝180°，
∴∠CGF＝∠BAD；
（2）证明：如图1，在AB上截取BH＝BG，连接HE，延长AD至N，使EN＝EF，连接GN，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵BG＝BH，BE＝BE，
∴△BGE≌△BHE（SAS），
∴HE＝EG，∠BGE＝∠BHE，
∴∠AHE＝∠CGF，
由（1）可得∠CGF＝∠BAD，
∴∠AHE＝∠BAD，
∴AE＝HE，
∴AE＝EG，
又∵EF＝EN，∠AEF＝∠GEN，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠AFE＝∠N，AF＝GD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠AEF＝∠GED，
∴∠ACB+∠FGC＝∠GED+∠FGC，
∴∠AFE＝∠GDN，
∴∠N＝∠GDN，
∴GD＝GN，
∴AF＝GD；
（3）解：∵BG＝CF＝3AF，
∴设AF＝x，则BG＝CF＝3x，
由（2）可知：AF＝GD＝x，
∴BD＝AC＝4x＝AB，
又∵BE平分∠ABC，
∴AE＝DE，
∵∠EGC＝∠BAD，∠ADB＝∠GDE，
∴△EGD∽△BAD，
∴，
∴2ED2＝4x2，
∴ED＝x（负值舍去），
∴AD＝2x，
∴＝2．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点且AB＝4，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴和解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点M，连接CM，以M为旋转中心顺时针旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在抛物线上，求点M坐标；
（3）如图2，点D是抛物线顶点，点P是抛物线上一点，连接AD，CP交于H，当∠CHD＝45°时，求点P的坐标．
【分析】（1）由公式可得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，又AB＝4，可得A（﹣3，0），B（1，0），再用待定系数法即得抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）过M作KT∥x轴交y轴于K，过C'作C'T⊥KT于T'，设M（﹣1，m），得MK＝1，CK＝m+3，证明△C'TM≌△MKC（AAS），有C'T＝MK＝1，TM＝CK＝m+3，可得C'（﹣m﹣4，m﹣1），代入y＝x2+2x﹣3知m﹣1＝（﹣m﹣4）2+2（﹣m﹣4）﹣3，即可解得M（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣3）；
（3）过C作CK⊥CP交AD延长线于K，过K作KR⊥y轴于R，过H作HW⊥y轴于W，求出抛物线顶点D（﹣1，﹣4），直线AD解析式为y＝﹣2x﹣6，设H（t，﹣2t﹣6），则HW＝﹣t，CW＝﹣2t﹣6﹣（﹣3）＝﹣2t﹣3，证明△HWC≌△CRK（AAS），即得HW＝CR＝﹣t，CW＝KR＝﹣2t﹣3，故K（2t+3，t﹣3），代入y＝﹣2x﹣6可解得H（﹣，﹣），从而直线CH解析式为y＝﹣x﹣3，联立，即可解得P的坐标为（﹣，﹣）．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵AB＝4，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2ax+c得：
，
解得，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）过M作KT∥x轴交y轴于K，过C'作C'T⊥KT于T'，如图：
设M（﹣1，m），
∵C（0，﹣3），
∴MK＝1，CK＝m+3，
∵∠TMC'＝90°﹣∠KMC＝∠KCM，∠MTC'＝90°＝∠MKC，CM＝C'M，
∴△C'TM≌△MKC（AAS），
∴C'T＝MK＝1，TM＝CK＝m+3，
∴C'（﹣m﹣4，m﹣1），
把C'（﹣m﹣4，m﹣1）代入y＝x2+2x﹣3得：
m﹣1＝（﹣m﹣4）2+2（﹣m﹣4）﹣3，
解得m＝﹣2或m＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣3）；
（3）过C作CK⊥CP交AD延长线于K，过K作KR⊥y轴于R，过H作HW⊥y轴于W，如图：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线顶点D（﹣1，﹣4），
由A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）得直线AD解析式为y＝﹣2x﹣6，
设H（t，﹣2t﹣6），则HW＝﹣t，CW＝﹣2t﹣6﹣（﹣3）＝﹣2t﹣3，
∵∠CHD＝45°，
∴△CHK是等腰直角三角形，
∴CH＝CK，∠HCK＝90°，
∴∠HCW＝90°﹣∠KCR＝∠CKR，
∵∠HWC＝90°＝∠CRK，
∴△HWC≌△CRK（AAS），
∴HW＝CR＝﹣t，CW＝KR＝﹣2t﹣3，
∴K（2t+3，t﹣3），
把K（2t+3，t﹣3）代入y＝﹣2x﹣6得：
t﹣3＝﹣2（2t+3）﹣6，
解得t＝﹣，
∴H（﹣，﹣），
由C（0，﹣3），H（﹣，﹣）得直线CH解析式为y＝﹣x﹣3，
联立，解得或，
∴P的坐标为（﹣，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25
1．（3分）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ）
A．相似B．平移C．轴对称D．旋转
2．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（ ）
A．6B．C．D．
5．（3分）如果抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点的坐标是（6，0），那么它与x轴的一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣6，0）B．（﹣4，0）C．（﹣2，0）D．（4，0）
6．（3分）已知tanA＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（3，1）B．（3，3）C．（4，1）D．（4，4）
8．（3分）关于二次函数y＝3x2+6的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．开口向上
B．x＜0时，y随x的增大而减小
C．对称轴是y轴
D．抛物线过点（0，﹣6）
9．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A．3sinα米B．3csα米C．米D．米
10．（3分）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+×10）
D．w＝（x﹣50）（200+×10）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′且＝，则S△ABC：S△A′B′C′为 ．
12．（3分）如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为 米．
13．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，AD＝2，则BC＝ ．
14．（3分）如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是 ．
15．（3分）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 米．
三、解答题（本大题含8道小题，共75分）
16．（4分）（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cs45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度数．
17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
18．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
19．（9分）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中BE∥CD，BC⊥CD，ED⊥CD，AB＝CD＝3.3m，BC＝1m．现由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最大为42°．
（1）求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．
（2）若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
20．（8分）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
21．（8分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
22．（12分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，连接AD，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是AC上一点，连接FE并延长交BC于点G，∠AEF＝∠ABD．求证：∠BAD＝∠CGF．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题；
实践探究：（2）王老师提出了新问题，求证DG＝AF．王老师的问题引发了同学们的思考，并积极地进行了小组讨论．在展示交流的过程中，小明同学分享了他的思路，他先发现并证明了AE和GE相等，然后又构造全等得到了结论．相信你也得到了启发，请你完成证明DG＝AF；
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，如图2，当BG＝CF＝3AF时，可以求的值，请你尝试完成解答．
23．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点且AB＝4，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴和解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点M，连接CM，以M为旋转中心顺时针旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在抛物线上，求点M坐标；
（3）如图2，点D是抛物线顶点，点P是抛物线上一点，连接AD，CP交于H，当∠CHD＝45°时，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ）
A．相似B．平移C．轴对称D．旋转
【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的特点，结合图形即可得出答案．
【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
2．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线顶点式确定抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanA＝，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴tanA＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
4．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（ ）
A．6B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴AB：BC＝DE：EF，
即2：4＝DE：5，
∴DE＝2.5，
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
5．（3分）如果抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点的坐标是（6，0），那么它与x轴的一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣6，0）B．（﹣4，0）C．（﹣2，0）D．（4，0）
【分析】根据抛物线的对称性解答即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键．
6．（3分）已知tanA＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：∵，且∠A是锐角，
∴∠A＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
7．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（3，1）B．（3，3）C．（4，1）D．（4，4）
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，
∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为：1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
8．（3分）关于二次函数y＝3x2+6的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．开口向上
B．x＜0时，y随x的增大而减小
C．对称轴是y轴
D．抛物线过点（0，﹣6）
【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质逐项进行判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵y＝3x2+6，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减小，与y轴的交点坐标为（0，6）．
综上，A、B、C均正确，D不正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
9．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A．3sinα米B．3csα米C．米D．米
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
10．（3分）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+×10）
D．w＝（x﹣50）（200+×10）
【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润＝实际售价﹣成本价，销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润＝每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
【解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售（200+×10）件，
根据题意得：w＝（x﹣50）（200+×10），
故选：D．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，理解题意找到题目蕴含的等量关系是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′且＝，则S△ABC：S△A′B′C′为 1：4 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝（）2＝1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12．（3分）如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为 100 米．
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，则AB＝，
∴AB＝＝100（米）．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
13．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，AD＝2，则BC＝ ．
【分析】先利用三角形外角性质计算出∠ABD＝30°，则∠A＝∠ABD，所以BD＝AD＝2，然后在Rt△BDC中利用∠BDC的正弦可计算出BC的长．
【解答】解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
而∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝2，
在Rt△BDC中，∵sin∠BDC＝，
∴BC＝2sin60°＝2×＝．
故答案为．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
14．（3分）如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是 8km ．
【分析】先根据题意得出∠BAC＝30°，AB＝12km，再由cs∠BAC＝得AC＝，据此代入计算可得．
【解答】解：由题意知∠BAC＝30°，AB＝12km，
在Rt△ABC中，∵cs∠BAC＝，
∴AC＝＝＝8（km），
即A处与灯塔C的距离是8km，
故答案为：km．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
15．（3分）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 26 米．
【分析】把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k求出k，根据镜面对称可得PP′＝2k，即可求得结果．
【解答】解：由二次函数的图象可知，A（22，0）在抛物线上，
把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k得：
0＝﹣（22﹣11）2+k，
解得：k＝13，
∴y＝﹣（x﹣11）2+13，
∵P和P′关于x轴对称，
∴PP′＝2×13＝26（米），
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，把A（22，0）代入函数解析式求出k值是解决问题的关键．
三、解答题（本大题含8道小题，共75分）
16．（4分）（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cs45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度数．
【分析】（1）将tan60°＝，tan30°＝，sin60°＝及cs45°＝代入原式，即可求出结论；
（2）在Rt△ABC中，利用正切的定义可求出tanA的值，进而可求出∠A的度数．
【解答】解：（1）原式＝+9×﹣8×﹣2×＝﹣；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝60°．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；
（2）根据A，B，C的坐标求出AB，CO长，即可求出S△ABC的值．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0）；B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝＝6．
【点评】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，熟练进行计算是解题的关键．
18．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4．
∵E是BC中点，
∴CE＝BC＝2．
∵△CDE∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴DE＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．
19．（9分）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中BE∥CD，BC⊥CD，ED⊥CD，AB＝CD＝3.3m，BC＝1m．现由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最大为42°．
（1）求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．
（2）若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【分析】（1）过点A作AF⊥BE于点F，当故障时A点最高时，在Rt△ABF利用锐角三角函数计算出AF，进而可得出此时A点离地面的高度；
（2）在CD上取点H，使得DH＝1.8m，过点H作HG⊥CD，交AB于点G，交BE于点M，可得出HM、BM，在Rt△BMG中利用锐角三角函数可计算出GM长，进而可得出GH，根据GH长度与2.4的大小关系即可进行判断．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥BE于点F，则∠AFB＝90°，
当故障时A点最高时，∠ABF＝42°，
在Rt△ABF中，sin42°＝，即0.67＝，
∴AF＝2.211m，
∴此时A点离地面长为：2.211+1＝3.211≈3.2m；
（2）在CD上取点H，使得DH＝1.8m，
过点H作HG⊥CD，交AB于点G，交BE于点M，则HM＝BC＝1m，CH＝BM＝3.3﹣1.8＝1.5m，
在Rt△BMG中，tan42°＝，即0.9＝，
∴GM＝1.35m，
∴GH＝GM+MH＝1.35+1＝2.35m＜2.4m，
∴一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m不能在升降杆故障时进入停车场．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是构造合适的辅助线．
20．（8分）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
【分析】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC，再利用Rt△ABC和Rt△ADF相似求得DF的长，加上EF，即可求得树高DE；
（2）利用Rt△A′B′C′和Rt△D′B′F相似求得B′F的长，即可求得小丽向前移动了多少米．
【解答】解：（1）∵∠DFA＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CAB，
∴△DFA∽△BCA，
∴＝，
在Rt△ABC中，
∵AB＝0.5m，BC＝0.3m，
由勾股定理得AC＝＝0.4（m），
∵AF＝16m，
∴＝，
∴DF＝12（m），
∴DE＝DF+EF＝12+1.5＝13.5（m），
答：古树的高度DE为13.5米；
（2）∵∠D′FB′＝∠A′C′B′＝90°，∠D′B′F＝∠A′B′C′，
∴△D′FB′∽△A′C′B′，
∴＝，
∴＝，
∴B′F＝9（m），
∴16﹣9＝7（m），
答：小丽向前移动了7米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DFA∽△BCA和△D′FB′∽△A′C′B′．
21．（8分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 11.25 ，直接写出满足的函数关系式： y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25 ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可；
（2）分别求出两个解析式当y＝0时，x的值，进行比较即可；
（3）先求出c的值，再求出t＝1.6时的y值，进行判断即可．
【解答】解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25），
∴h＝＝3.5，
∴y＝a（x﹣3.5）2+k，
∴，
解得：，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案为：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）+11.25，
（2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x＝5或x＝2（不合题意，舍去）；
∴d1＝5米；
∵y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时：﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合题意，舍去）；
∴d2＝+4＞5，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴B（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上无法完成此动作，
∴她当天的比赛不能成功完成此动作．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
22．（12分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，连接AD，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是AC上一点，连接FE并延长交BC于点G，∠AEF＝∠ABD．求证：∠BAD＝∠CGF．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题；
实践探究：（2）王老师提出了新问题，求证DG＝AF．王老师的问题引发了同学们的思考，并积极地进行了小组讨论．在展示交流的过程中，小明同学分享了他的思路，他先发现并证明了AE和GE相等，然后又构造全等得到了结论．相信你也得到了启发，请你完成证明DG＝AF；
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，如图2，当BG＝CF＝3AF时，可以求的值，请你尝试完成解答．
【分析】（1）由四边形的内角和定理可得∠BAD+∠BGE＝180°，即可求解；
（2）由“SAS”可证△BGE≌△BHE，可得HE＝EG，∠BGE＝∠BHE，由“SAS”可证△AEF≌△NEG，可得∠AFE＝∠N，AF＝GD，由外角的性质可求解；
（3）通过证明△EGD∽△BAD，可得，可求ED＝x，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠AEF+∠AEG＝180°，∠AEF＝∠ABD，
∴∠ABD+∠AEG＝180°，
∵∠ABD+∠AEG+∠BAD+∠BGE＝360°，
∴∠BAD+∠BGE＝180°，
∵∠CGF+∠BGE＝180°，
∴∠CGF＝∠BAD；
（2）证明：如图1，在AB上截取BH＝BG，连接HE，延长AD至N，使EN＝EF，连接GN，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵BG＝BH，BE＝BE，
∴△BGE≌△BHE（SAS），
∴HE＝EG，∠BGE＝∠BHE，
∴∠AHE＝∠CGF，
由（1）可得∠CGF＝∠BAD，
∴∠AHE＝∠BAD，
∴AE＝HE，
∴AE＝EG，
又∵EF＝EN，∠AEF＝∠GEN，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠AFE＝∠N，AF＝GD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠AEF＝∠GED，
∴∠ACB+∠FGC＝∠GED+∠FGC，
∴∠AFE＝∠GDN，
∴∠N＝∠GDN，
∴GD＝GN，
∴AF＝GD；
（3）解：∵BG＝CF＝3AF，
∴设AF＝x，则BG＝CF＝3x，
由（2）可知：AF＝GD＝x，
∴BD＝AC＝4x＝AB，
又∵BE平分∠ABC，
∴AE＝DE，
∵∠EGC＝∠BAD，∠ADB＝∠GDE，
∴△EGD∽△BAD，
∴，
∴2ED2＝4x2，
∴ED＝x（负值舍去），
∴AD＝2x，
∴＝2．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点且AB＝4，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴和解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点M，连接CM，以M为旋转中心顺时针旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在抛物线上，求点M坐标；
（3）如图2，点D是抛物线顶点，点P是抛物线上一点，连接AD，CP交于H，当∠CHD＝45°时，求点P的坐标．
【分析】（1）由公式可得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，又AB＝4，可得A（﹣3，0），B（1，0），再用待定系数法即得抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）过M作KT∥x轴交y轴于K，过C'作C'T⊥KT于T'，设M（﹣1，m），得MK＝1，CK＝m+3，证明△C'TM≌△MKC（AAS），有C'T＝MK＝1，TM＝CK＝m+3，可得C'（﹣m﹣4，m﹣1），代入y＝x2+2x﹣3知m﹣1＝（﹣m﹣4）2+2（﹣m﹣4）﹣3，即可解得M（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣3）；
（3）过C作CK⊥CP交AD延长线于K，过K作KR⊥y轴于R，过H作HW⊥y轴于W，求出抛物线顶点D（﹣1，﹣4），直线AD解析式为y＝﹣2x﹣6，设H（t，﹣2t﹣6），则HW＝﹣t，CW＝﹣2t﹣6﹣（﹣3）＝﹣2t﹣3，证明△HWC≌△CRK（AAS），即得HW＝CR＝﹣t，CW＝KR＝﹣2t﹣3，故K（2t+3，t﹣3），代入y＝﹣2x﹣6可解得H（﹣，﹣），从而直线CH解析式为y＝﹣x﹣3，联立，即可解得P的坐标为（﹣，﹣）．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵AB＝4，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2ax+c得：
，
解得，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）过M作KT∥x轴交y轴于K，过C'作C'T⊥KT于T'，如图：
设M（﹣1，m），
∵C（0，﹣3），
∴MK＝1，CK＝m+3，
∵∠TMC'＝90°﹣∠KMC＝∠KCM，∠MTC'＝90°＝∠MKC，CM＝C'M，
∴△C'TM≌△MKC（AAS），
∴C'T＝MK＝1，TM＝CK＝m+3，
∴C'（﹣m﹣4，m﹣1），
把C'（﹣m﹣4，m﹣1）代入y＝x2+2x﹣3得：
m﹣1＝（﹣m﹣4）2+2（﹣m﹣4）﹣3，
解得m＝﹣2或m＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣3）；
（3）过C作CK⊥CP交AD延长线于K，过K作KR⊥y轴于R，过H作HW⊥y轴于W，如图：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线顶点D（﹣1，﹣4），
由A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）得直线AD解析式为y＝﹣2x﹣6，
设H（t，﹣2t﹣6），则HW＝﹣t，CW＝﹣2t﹣6﹣（﹣3）＝﹣2t﹣3，
∵∠CHD＝45°，
∴△CHK是等腰直角三角形，
∴CH＝CK，∠HCK＝90°，
∴∠HCW＝90°﹣∠KCR＝∠CKR，
∵∠HWC＝90°＝∠CRK，
∴△HWC≌△CRK（AAS），
∴HW＝CR＝﹣t，CW＝KR＝﹣2t﹣3，
∴K（2t+3，t﹣3），
把K（2t+3，t﹣3）代入y＝﹣2x﹣6得：
t﹣3＝﹣2（2t+3）﹣6，
解得t＝﹣，
∴H（﹣，﹣），
由C（0，﹣3），H（﹣，﹣）得直线CH解析式为y＝﹣x﹣3，
联立，解得或，
∴P的坐标为（﹣，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25
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