浙江省杭州高级中学2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州高级中学2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 若，则的可能值为（ ）
A. 0，2B. 0，1
C. 1，2D. 0，1，2
【答案】A
【解析】
分析】根据，分，，讨论求解.
【详解】因为，
当时，集合为，不成立；
当时，集合为，成立；
当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立；
∴或.
故选：A
2. 命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称命题的否定解答即可.
【详解】因为命题，
所以命题的否定形式为.
故选：C.
3. 若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，利用作差法，逐一验证A、B、D，对于C，利用特殊值法，可得答案.
【详解】对于A，，由，则，，即，故A错误；
对于B，，由，则，，即，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，由，则，显然，即，故D正确.
故选：D.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法以及指数函数的性质进行求解.
【详解】函数定义域为，所以，
则有的定义域为，
则函数的定义域满足，即该函数的定义域为
故选：B.
5. 使 “”成立必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果.
【详解】不等式可化为解得
则成立，反之不可以.
所以是成立的必要不充分条件.
故选：A
6. 因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ）
A. 甲方案B. 乙方案C. 一样D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.
【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），甲方案每次加油的量为；乙方案每次加油的钱数为，
则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：，
因为，
所以，即乙方案更经济．
故选：B．
7. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性与单调性，依次讨论，，，时的符号即可得答案.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，
因为定义在上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上是单调递减，且.
所以，当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
故满足的的取值范围是
故选：B
8. 已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先画出两个函数的图象，得到的图象，根据最小值为进行数形结合可知，交点处函数值为，计算即得结果.
【详解】依题意，先作两个函数的草图，

因为，故草图如下：可知在交点A出取得最小值，

令，得，故，代入直线，得，
故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于弄明白函数的图象意义，通过数形结合确定在交点处取得最值，计算即可突破.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 与是同一函数
B. 奇函数的图象一定过点
C. 对于任何一个函数，如果因变量的值不同，则自变量的值一定不同
D. 函数在其定义域内是单调递减函数
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，定义域与对应法则均相同，为同一函数；
B选项，举出反例；
C选项，根据函数的定义做出判断；
D选项，的单调减区间为和，故D错误.
【详解】与的定义域与对应法则相同，故为同一函数，A正确；
奇函数的图象不一定过点，如，故B错误；
函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则的值一定不同，故C正确；
的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误．
故选：AC
10. 函数与在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A和B项中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向下，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是A，不可能是B；
对于C中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是C；
对于D中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是D.
故选：ACD.
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D. 当
【答案】AD
【解析】
【分析】当时，，根据递推关系以及求出对应的函数值及函数.
【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确；
对于B，所以，，故B错误；
对于C，所以，故C错误；
对于D，当时，所以，故D正确.
故选：AD.
12. 对于定义在D函数若满足：①对任意的，；②对任意的，存在，使得 ；则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，直接代入验证①，任意的R，存在R，使得②成立；对于B，分段代入验证①，任意的，存在使得②成立；对于C，直接代入验证①，对任意的，存在使得②成立；对于D，定义域是，不满足①，
【详解】对于A，，所以，满足①；
对任意的R，存在R，使得，满足②，故A正确；
对于B，当时，，，，
当时，同理可得，即满足①；
对任意的，存在，，满足②，故B正确；
对于C，，所以，满足①；
对任意的，存在，
使得，满足②，故C正确；
对于D，定义域是，对于任意的x，当时，没有对应的使得成立，不满足①，故D错误；
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 化简求值：__________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据分数指数幂、负数指数幂以及零指数幂进行运算.
【详解】.
故答案为：8.
14. 函数的单调递减区间为__________，值域为__________.
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】空①，根据复合函数的单调性进行讨论即可;空②，由结合指数函数的单调性求解结果.
【详解】函数的定义域为R，，，值域为
设，，
在区间上单调递减，在区间1，上单调递增，
为减函数，
在区间上单调递增，在区间1,上单调递减.
故答案为：；
15. 已知函数，，若对于任意实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】当，，时，分别进行讨论，在时，分成，，三种情况讨论二次函数的的值域情况.
【详解】当时，；当时，；当时，；
因为对于任意实数x，与至少有一个为正数，
故当时，恒成立，
当时，显然不成立，
当时，对时恒成立，满足题意，
当时，函数图象开口向上，对称轴，
①若，即时，函数在上单调递减，，
故对时恒成立，满足题意；
②若，即时，，
解得，所以.
综上，
故答案为：.
16. 已知函数，若实数a、b满足，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，得出的关系及范围，再分成，两种情况讨论的最值.
【详解】令，
因为，故为奇函数，
，即，
可知，
即成立，则，
当时，恒小于或等于0，
当时，
当时，有最大值.
综上的最大值为
故答案为：.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设集合，，或．
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；
（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.
【小问1详解】
因为，所以．
①当时，由，得，解得；
②当，即时，成立．
综上，实数m的取值范围是．
【小问2详解】
因为中只有一个整数，所以，且，解得，
所以实数m的取值范围是．
18. 已知函数，为非零常数．
（1）当时，试判断函数的单调性，并用定义证明；
（2）当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数在定义域上为单调增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1），进而结合指数型复合函数判断，再根据函数单调性的定义判断即可；
（2）结合（1）得在为单调增函数，再判断函数的奇偶性得为奇函数，再根据单调性与奇偶性得对恒成立，进而根据二次不等式恒成立求解即可.
【小问1详解】
解：因为，
所以，由指数型复合函数单调性可判断：函数在定义域上为单调增函数．
证明：时，对恒成立，
函数的定义域为，
任取且，，，
，

，
，，，，
∴，，，，
，
∴函数在为单调增函数．
【小问2详解】
解：当时， ，
∴由（1）知函数在为单调增函数，
∵函数的定义域为，关于原点对称，
又，
函数为上的奇函数，
∴不等式对恒成立等价于 对恒成立，
对恒成立，
对恒成立，
，解得 ．
实数的取值范围是 ．
19. 老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重量增长率，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为个单位，含氧量y与年份x的函数模型为，当含氧量少于个单位，鱼虽然依然生长，但会损失的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.
（1）试求出含氧量模型函数关系式；
（2）试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；
（3）求出第年鱼的总重量与第n年鱼的总重量的关系式不用证明关系式，n为整数，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
【答案】（1）
（2）从第6年开始生长缓慢并出现损失
（3）；7年
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出函数关系式；
（2）根据题意列出不等关系进行求解即可；
（3）分成，两种情况并结合数列的单调性进行讨论.
【小问1详解】
含氧量y与年份x的函数模型为，
由已知条件知，，即
【小问2详解】
，可得，即，
所以从第6年开始生长缓慢并出现损失.
【小问3详解】
由题意和（2）可知，当时，
当时，，即.
当时，显然是递增，
当时，
即：，，则，即，
，故签7年.
20. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”．
（1）判断函数（）和函数（）是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）
（2）如果是函数（）的一个“优美区间”，求的最大值．
【答案】（1）存在“优美区间”，“优美区间”是；不存在“优美区间”
（2）
【解析】
【分析】（1）根据定义，结合函数的单调性，列出方程，求出相应的优美区间；
（2）对变形得到，结合函数单调性列出方程，得到两根之和，两根之积，结合根的判别式求出或，表达出，求出最大值.
小问1详解】
在上单调递增，由得或1，存在“优美区间”是；
是增函数，若存在优美区间，则无解，不合题意，
因此，不存在优美区间．
【小问2详解】
在和上都是增函数，
因此优美区间或，
由题意所以有两个同号的不等实根，
，,
，解得或，
，同号，满足题意，
，
因为或．所以当，即时．．