辽宁省沈阳市大东区2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市大东区2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，简答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣1B．C．πD．
2．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12B．2，3，4C．4，6，7D．3，4，5
3．（2分）气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心的位置的是（ ）
A．西太平洋B．北纬26°，东经35°
C．距台湾300海里D．台湾附近
4．（2分）下列曲线不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）+|b+2|＝0，则的值是（ ）
A．0B．2018C．﹣1D．1
6．（2分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）已知点P（x+5，x﹣4）在y轴上，则x的值为（ ）
A．5B．﹣5C．﹣4D．4
8．（2分）小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形，则底边长y（cm）关于腰长x（cm）（ ）
A．y＝2x，x＜40B．y＝80﹣2x，x＜40
C．y＝2x，20＜x＜40D．y＝80﹣2x，20＜x＜40
9．（2分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．较小两个正方形重叠部分的面积
C．最大正方形的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
10．（2分）正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，DN+MN的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
二、填空题（本大题共8小题，共24分.）
11．（3分）的平方根是 ．
12．（3分）三角形的三边a，b，c满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是 三角形．
13．（3分）若，且a，b是两个连续整数 ．
14．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 ．
15．（3分）已知，函数y＝3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）
16．（3分）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，则这里水深是 m．
17．（3分）已知AB∥x轴，A点的坐标为（﹣3，2），并且AB＝4 ．
18．（3分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形 ．
三、计算题（本大题共1小题，共10分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
四、简答题（本大题共6小题，共66分）
20．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝3，DB＝．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
21．（10分）观察下列各式：
第一个式子：＝1＝1+（1﹣）；
第二个式子：＝1＝1+（）；
第三个式子：＝1＝1+（）；
…
（1）求第四个式子为： ；
（2）求第n个式子为： （用n表示）；
（3）求+…+的值．
22．（10分）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）在网格中建立平面直角坐标系，A点（﹣2，4），B点（﹣4，2）．
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数 ．
（3）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
（4）求△ABC的周长＝ （保留根号）；△ABC的面积＝ （直接写答案）．
23．（12分）如图，表示小王骑自行车和小李骑摩托车都沿相同的路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地相距80千米
（1）L1是 行驶过程的函数图象，L2是 行驶过程的函数图象．
（2）哪一个人出发早？早多长时间？哪一个早到达目的地？早多长时间？
（3）分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式，并求出自变量x的取值范围．
24．（12分）已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，则线段BD和线段CE的数量关系．
（2）如图2，在（1）的条件下，在△ADE中，AE＝4，，求线段BE的长．
（3）如图3，点D是等边△ABC外一点，∠ADC＝75°，，求出线段BD的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，过点B的直线交x轴于点C，且点C（4，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）将直线BC向下平移3个单位长度得到直线L，此时直线L交于AB于点D，交x轴于点E，请求出△ADE的面积；
（3）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S（不要求写出自变量m的取值范围）．
2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共20分．请选出符合题目的一项）
1．（2分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣1B．C．πD．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣1，，是有理数，
π是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12B．2，3，4C．4，6，7D．3，4，5
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：A、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、26+32≠22，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、45+62≠82，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、35+42＝42，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3．（2分）气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心的位置的是（ ）
A．西太平洋B．北纬26°，东经35°
C．距台湾300海里D．台湾附近
【分析】根据用参照物确定物体的位置需要与参照物的相对方向和距离进行分析，即可得到答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，两点确定一个点的位置，
根据各选项的数据，只有北纬26°东经35°能确定台风中心的位置．
故选：B．
【点评】此题考查的是坐标确定位置，掌握方向角的概念是解决此题的关键．
4．（2分）下列曲线不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】函数就是在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，则x叫自变量，y是x的函数．在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【解答】解：A、B、D都符合函数的定义；
C、对x的一个值y的值不是唯一的．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
5．（2分）+|b+2|＝0，则的值是（ ）
A．0B．2018C．﹣1D．1
【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出a，b的值，代入计算得出答案．
【解答】解：根据题意得a﹣1＝0，b+7＝0，
解得：a＝1，b＝﹣4，
则＝＝1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，能够正确得出a，b的值是解题的关键．
6．（2分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于6，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
7．（2分）已知点P（x+5，x﹣4）在y轴上，则x的值为（ ）
A．5B．﹣5C．﹣4D．4
【分析】根据y轴上点的坐标特点求出x的值即可．
【解答】解：∵点P（x+5，x﹣4）在y轴上，
∴x+2＝0，解得x＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知y轴上点的横坐标等于0是解题的关键．
8．（2分）小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形，则底边长y（cm）关于腰长x（cm）（ ）
A．y＝2x，x＜40B．y＝80﹣2x，x＜40
C．y＝2x，20＜x＜40D．y＝80﹣2x，20＜x＜40
【分析】由等腰三角形的周长为80cm，底边长ycm，腰长xcm，得y+2x＝80，则y＝80﹣2x，由三角形的三边关系得，则20＜x＜40，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵等腰三角形的周长为80cm，底边长ycm，
∴y+2x＝80，
整理得y＝80﹣2x，
根据三角形的三边关系得，
解得20＜x＜40，
故选：D．
【点评】此题重点考查一次函数的应用、不等式的应用等知识，正确地用代数式表示三角形的周长是解题的关键．
9．（2分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．较小两个正方形重叠部分的面积
C．最大正方形的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短的直角边为a，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式及长方形的面积公式，表示出阴影面积，再与各选项有关的面积联系，得出结论．
【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，
根据勾股定理得，c2＝a2+b5，
∴阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a5﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
∵较小的两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣b），宽＝a，
∴较小的两个正方形重叠部分的面积＝a•[a﹣（c﹣b）]＝a（a+b﹣c）＝阴影部分的面积，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求的是两个小正方形重叠部分的面积，
故选：B．
【点评】本题主要考查正方形的性质和勾股定理等知识点，用a、b、c表示出阴影部分的面积和较小两个正方形重叠部分的面积是解题的关键．
10．（2分）正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，DN+MN的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【分析】将动点N所在直线AC同侧的两条线段中的一条DN，利用轴对称转化为异侧的线段BN，再利用两点之间线段最短求解即可．
【解答】解：连接BN，BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线所在直线是其一条对称轴，
∴BN＝DN，
∴DN+MN＝BN+MN≥BM，
∴DN+MN的最小值为BM的长，
在Rt△BCM中，
BC＝8，CM＝CD﹣DM＝8﹣3＝6，
∴BM＝，
即DN+MN的最小值为10，
故选：D．
【点评】本题考查最短路径问题，解答时涉及轴对称，勾股定理，两点之间线段最短．解题的关键是将动点所在直线同侧的两条线段利用轴对称转化为异侧的两条线段．
二、填空题（本大题共8小题，共24分.）
11．（3分）的平方根是 ．
【分析】直接根据平方根的定义即可解决问题．
【解答】解：∵（±）2＝
∴＝．
故答案为：±．
【点评】此题主要考查了平方根的概念，要求学生能够正确求出一个正数的平方根．
12．（3分）三角形的三边a，b，c满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是 直角 三角形．
【分析】化简等式，可得a2+b2＝c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．
【解答】解：（a+b）2＝c2+8ab，即a2+b2+7ab＝c2+2ab，所以a5+b2＝c2，所以可得三角形为直角三角形．
【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．
13．（3分）若，且a，b是两个连续整数 1 ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数﹣2的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵22＝5，32＝7，而4＜7＜7，
∴2＜＜3，
∴0＜﹣8＜1，
又∵a＜﹣3＜b，b是两个连续整数，
∴a＝0，b＝1，
∴a+b＝4．
故答案为：1．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
14．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 （2，5） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（5，
故答案为：（2，5）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
15．（3分）已知，函数y＝3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1 ＞ y2（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】分别把点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2）代入函数y＝3x，求出点y1，y2的值，并比较出其大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），点B（﹣8，y2）是函数y＝3x上的点，
∴y3＝﹣3，y2＝﹣3，
∵﹣3＞﹣6，
∴y6＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
16．（3分）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，则这里水深是 m．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理解答．
【解答】解：如图，AD是红莲高出水面部分，B是红莲入泥处（根部）．
设BD＝x，则BA＝1+x，
所以BC＝AB＝1+x，
在Rt△BCD中，CD3+BD2＝BC2，
即82+x2＝（3+x）2，
4+x3＝1+2x+x7，
2x＝3
解得：x＝．
即这里的水深m．
故答案为：．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的应用这一知识点的理解和掌握，关键是根据题意构造直角三角形，利用勾股定理求解，难度不大，属于中档题．
17．（3分）已知AB∥x轴，A点的坐标为（﹣3，2），并且AB＝4 （1，2）或（﹣7，2） ．
【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为2，
又∵AB＝4，可能右移；可能左移横坐标为﹣6﹣4＝﹣7，
∴B点坐标为（6，2）或（﹣7，
故答案为：（4，2）或（﹣7．
【点评】此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，解决本题的关键是分类讨论思想．
18．（3分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形 3.6或4.32或4.8 ．
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC＝5、S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，
∴AC＝＝5，S△ABC＝AB•BC＝6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，
作△ABC的高BD，则BD＝＝，
∴AD＝DP＝＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.8，
∴S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.32；
③当CB＝CP＝7时，如图③所示，
S等腰△BCP＝S△ABC＝×3＝4.8．
综上所述：等腰三角形的面积可能为7.6或4.32或4.8．
故答案为3.2或4.32或4.7．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
三、计算题（本大题共1小题，共10分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂的意义和绝对值的意义计算，然后把化简后合并即可；
（2）先利用平方差公式计算，然后化简二次根式后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2+1+2﹣（﹣）
＝3+2﹣+
＝4++；
（2）原式＝4﹣18
＝2﹣10．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
四、简答题（本大题共6小题，共66分）
20．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝3，DB＝．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB且CB＝3，BD＝，
∴在Rt△CDB中，CD＝，
在Rt△CAD中，AD＝．
（2）△ABC为直角三角形．
理由：∵AD＝，BD＝+＝5，
∴AC2+BC6＝42+72＝25＝53＝AB2，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，是一个好题目．
21．（10分）观察下列各式：
第一个式子：＝1＝1+（1﹣）；
第二个式子：＝1＝1+（）；
第三个式子：＝1＝1+（）；
…
（1）求第四个式子为： ；
（2）求第n个式子为： （n为正整数） （用n表示）；
（3）求+…+的值．
【分析】（1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．
（2）利用（1）中的发现即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论即可解决问题．
【解答】解：（1）观察题中所给式子可知，
第四个式子为：．
故答案为：．
（2）由（1）中的发现可知，
第n个式子为：．
故答案为：（n为正整数）．
（3）原式＝
＝1×2022+
＝2022+8﹣
＝．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的关键．
22．（10分）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）在网格中建立平面直角坐标系，A点（﹣2，4），B点（﹣4，2）．
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数 （﹣1，1） ．
（3）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
（4）求△ABC的周长＝ 2+2 （保留根号）；△ABC的面积＝ 4 （直接写答案）．
【分析】（1）根据题意画出平面直角坐标系即可；
（2）作线段AB的垂直平分线，与格点相交于点C，则C点即为所求点；
（3）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，根据点B′在坐标系中的位置写出坐标即可；
（4）求出AB，AC，BC可得三角形的周长，利用分割法求出三角形的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图可知，C（﹣1．
故答案为：（﹣1，3）；
（3）由图可知，B′点的坐标为（4．
故答案为：（4，5）．
（4）∵AB＝＝2＝，
∴△ABC的周长＝2+6．
△ABC的面积＝3×5﹣×2×2﹣2×．
故答案为：2+6，4．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称变换的性质是解答此题的关键．
23．（12分）如图，表示小王骑自行车和小李骑摩托车都沿相同的路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地相距80千米
（1）L1是 自行车 行驶过程的函数图象，L2是 摩托车 行驶过程的函数图象．
（2）哪一个人出发早？早多长时间？哪一个早到达目的地？早多长时间？
（3）分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式，并求出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由函数图象的数据结合题意分析即可；
（2）根据图象即可解答；
（3）分别利用待定系数法求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，L1是小王骑自行车行驶过程的函数图象，L2是小李骑摩托车行驶过程的函数图象，
故答案为：自行车，摩托车．
（2）根据函数图象可知，小王出发早；小李早到达目的地．
（3）设自行车行驶过程（L3）的函数解析式为y＝k1x．将坐标（8，
得80＝8k1，解得k1＝10．
∴L2的函数解析式为y＝10x（0≤x≤8）．
设摩托车行驶过程（L5）的函数解析式为y＝k2x+b．将坐标（3，80）代入，
得，解得．
∴L5的函数解析式为y＝40x﹣120（3≤x≤5）．
【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是本题的关键．
24．（12分）已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，则线段BD和线段CE的数量关系．
（2）如图2，在（1）的条件下，在△ADE中，AE＝4，，求线段BE的长．
（3）如图3，点D是等边△ABC外一点，∠ADC＝75°，，求出线段BD的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△EAC≌△DAB，可得EC＝BD，
（2）由全等三角形的性质可得∠BDA＝∠AEC＝30°，则∠EDB＝90°，然后由勾股定理得EF＝2，CF＝，则BD＝EC，最后由勾股定理即可求解；
（3）由“SAS”可证△BAD≌△CAE（SAS），得BD＝CE，再证△DHE是等腰直角三角形，得EH＝DH＝1，则CH＝CD+DH＝4，然后由勾股定理得CE＝，即可求解．
【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下：
∵AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠DEA＝∠ADE＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠DEA＝30°AD＝2，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD；
（2）由（1）可得△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠AEC＝30°，
∴∠EDB＝∠ADE+∠BDA＝90°，
∵AE＝4，AF＝2，∠EFA＝∠AFC＝90°，
∴EF＝＝＝8＝，
∴BD＝EC＝EF+CF＝3，
∴BE＝＝＝；
（3）以AD为边向上作等边△ADE，连接CE，如图3所示：
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE＝DE＝，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∵∠EDH＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴△DHE是等腰直角三角形，
∴EH＝DH＝DE＝6，
∴CH＝CD+DH＝3+1＝6，
在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴BD＝．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等求解．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，过点B的直线交x轴于点C，且点C（4，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）将直线BC向下平移3个单位长度得到直线L，此时直线L交于AB于点D，交x轴于点E，请求出△ADE的面积；
（3）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S（不要求写出自变量m的取值范围）．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由等腰三角形的性质可求点C坐标，由待定系数法可求BC的解析式；
（2）由直线的平移可得直线DE的解析式，进而可得点D，E的坐标，根据三角形的面积公式可得结论．
（3）过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，由“AAS”可证△AGP≌△CHQ，可得AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，由“AAS”可证△PEF≌△QCF，可得S△PEF＝S△QCF，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点B（3，8），0）
设直线BC解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：．
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6；
（2）将直线BC向下平移3个单位长度得到直线L，
∴L：y＝﹣2x+5，
令y＝0，则x＝2.4，
∴E（2.5，4），
∵点D的横坐标为﹣，
∴D（﹣，），
∴S△ADE＝×（xE﹣xA）×yD
＝×（
＝；
（3）如图，过点P作PG⊥AC，过点Q作HQ⊥AC，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵点Q横坐标为m，
∴点Q（m，﹣2m+7）
∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣6，
∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，
∴△AGP≌△CHQ（AAS），
∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，
∵PE∥BC，
∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，
∴∠PEA＝∠PAE，
∴AP＝PE，且AP＝CQ，
∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，
∴△PEF≌△QCF（AAS）
∴S△PEF＝S△QCF，
∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB的面积，
∴S＝S△ABC﹣S△PAE＝×6×8﹣2．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．