2023-2024学年辽宁省本溪市高级中学名校体高三上学期11月期中考试数学含答案

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1．A【解析】因为，故，故选A．
2．A【解析】由题意得，从而，故A正确，B，C，D均错误．故选A．
3．B【解析】若，，则或解得．而，所以“”是“}，”的必要不充分条件．故选B．
4．D【解析】设，可知其图象开口向上，对称轴为直线，，，所以要使不等式在区间内有解，只要a小于在内的最大值即可，即，得，所以实数a的取值范围为，故选D．
5．A【解析】，，则，，故．故选A．
6．C【解析】由题意知，，解得，∴，
∴．故选C．
7．B【解析】如图，设圆台上、下底面圆心分别为C，A，半径分别为，，由题意得，即，因为圆台的轴截面面积为9．所以，所以，过点D作于点E，所以．因为母线长为上底面圆的半径的倍，所以，即．所以，，所以，所以该圆台容器的容积，故选B．
8．B【解析】设函数，，当时，，函数在上单调递减．∵，∴，即，∵，∴，综上，，即．故选B．
9．ACD【解析】对于A，，当时，，在区间上单调递减，A选项正确；对于B，当时，，B选项错误；对于C，令可得对称轴为，，所以C选项正确；将的图象向右平移个单位长度后即得，D选项正确．故选ACD．
10．AC【解析】根据题意知，数列中，有①，则当时有②，①-②可得．又由，，得，则，，，，则，A正确，B错误；若，则，，，，则，C正确，D错误．故选AC．
11．AC【解析】令，则．∵在上恒成立，∴，故在单调递增．由，得，即，故A正确；由，得，即，故B错误；由，得，即，故C正确；由得，即，故D错误．故选AC．
12．AD【解析】设几何体外接球的球心为O，正四棱锥为，底面中心为．设正四棱柱为，其下底面中心为，设E是的中点，连接，，设球O的半径为R，设正四棱柱的高为x，则正四棱锥的高为，x为正数，所以根据题意可得，，所以，所以，解得．组合体的体积为，A选项正确．，球O的体积为，B选项错误．依题意可知正四棱锥的侧棱与其底面所成角为，，C选项错误．根据正四棱锥的性质可知：，，所以是正四棱锥的侧面与其底面的夹角，，D选项正确．故选AD．
13．【解析】因为，所以．
14．15【解析】由题意知，，设等差数列的公差为d，则，即，因为，故，即等差数列为首项为正的递减数列．又由，可得，即，故，，即等差数列前15项为正，从第16项开始为负，故取最大值时，．
15．【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时，故，则球O的体积为．
16．【解析】由，得，变形得，所以．令，则，当时，，所以在上为增函数，若，则不等式恒成立，若，则，，即，所以恒成立，即恒成立．设，，则．当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减．所以的最大值为，所以，故实数a的取值范围是．
17．解：（1）由题意得，
因此．
（2）由，，，得
，，
因为E，F，G三点共线，∴，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
18．解：（1）由题意可知，
（2）考虑函数
当时，．令，解得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，
又x是整数，，，所以当时，有最大值．
当时，，所以函数在上单调递减，所以当时，取得最大值．
由于，所以当该产品的日产量为10件时，日利润最大．
而千元元，故当该产品的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是11111元．
19．（1）证明：因为，O是的中点，所以，
在直角中，，，所以．
在矩形中，，，所以．
又因为，所以在中，，即．
而，，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）知，平面，取中点Q，连接，易知，，两两垂直．如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，
则即令，得，所以，
设直线与面所成角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1），．
当时，，即，得或（舍去）
由，①
得，②
①-②得，化简得．
因为，所以，，
即数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）存在．
当，时，
会得到数列中原次序的一列等比数列，，，，，．
此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中．下面证明此时的公比最小
，假设取，公比为，
则，为奇数，不可能在数列中．
所以．
又，所以，即的通项公式为，
故．
21．解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即，
化简得．
又因为，所以，即．
因为，，所以，解得．故．
（2）设，则，由正弦定理以及，可得，中，由余弦定理得．
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值9，所以的最大值为3
22．解：（1），则，的定义域为．
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，得，当时， ，单调递减；当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由题意得，可知，
因为，是的极值点，所以，是方程的两个不等的正实数根，
所以，，则
．
要证成立，只需证，即证，
即证，即证，设，则，即证．
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．