2023-2024学年四川省四川外语学院重庆第二外国语学校高三上学期期中数学试题含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 2i−52−i的虚部为（ ）
A. i5B. −15iC. −15D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为−125−15i，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得2i−52−i=2i−52+i2−i2+i=−125−15i，
所以复数的虚部为−15.
故选：C.
2. 已知集合A=x∣lg33x−2<1,B={x∣x<1}，则A∩B=（ ）
A. 23,1B. −∞,1C. −∞,53D. 1,53
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的运算和对数不等式的解法求解即可.
【详解】不等式lg33x−2<1=lg33，即0<3x−2<3,23故A=x∣lg33x−2<1=x∣23所以A∩B=23,1
故选：A
3. 已知p:x−a>0,q:x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A. {a∣a<1}B. a∣a≤1C. {a∣a>1}D. a∣a≥1
【答案】C
【解析】
【分析】先化简条件，利用充分不必要条件列出不等关系，求解即可.
【详解】p:x>a，因为p是q充分不必要条件，所以a>1.
故选：C.
4. 剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为4km的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为a1，第2次对折后的纸张厚度为a2⋯⋯，以此类推，设纸张未折之前的厚度为a毫米，则a13=（ ）
A. 212aB. 412aC. 213aD. 413a
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式求解．
【详解】由题意数列{an}是等比数列，公比是2，且a1=2a，∴a13=2a×212=213a，
故选：C．
5. 已知fx=lg2x,x>0x−2+2,x≤0则ff0=（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到f0=4，再根据ff0=f4求解即可.
【详解】因为f0=0−2+2=4，
所以ff0=f4=lg24=2.
故选：C
6. 已知二次函数fx=ax2+2x+cx∈R的值域为2,+∞，则1a+9c的最小值为（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可得1a=c-2，进而根据基本不等式即可求解最值.
【详解】∵fx的对称轴为：x=−1a,且a>0，
∴f-1a=1a-2a+c=-1a+c=2，∴1a=c-2，
由于a>0，所以c−2>0
∴1a+9c=c-2+9c=c+9c-2≥29-2=4
当且仅当c=9c，即c=3时，1a+9c最小值为4.
故选：B
7. 已知3a=4,4b=5,ac=b，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. c>a>bB. b>a>cC. a>c>bD. a>b>c
【答案】D
【解析】
【分析】把指数式改写为对数式，应用换底公式后作差a−b，结合基本不等式可比较出a−b与0的大小，得出a,b关系，再结合对数的性质可比较c与a,b的大小，从而得出结论．
【详解】∵3a=4，4b=5，ac=b
∴a=lg34=ln4ln3，b=lg45=ln5ln4，c=lgab，a>1，b>1
∴a-b=ln4ln3-ln5ln4=ln42-ln3ln5ln3ln4,
∵ln3⋅ln5<(ln3+ln52)2=(ln152)2<(ln162)2=(ln4)2，
∴a−b>0，即a>b，∵b>1，c=lgab<1，∴a>b>c
故选：D．
8. 设函数f(x)=ex−e−x2+sinx，不等式fa−xex+f(lnx+x+1)≤0对x>0恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A. e−1B. 1C. e−2D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】先由定义证f(x)为奇函数，结合均值不等式可证f′(x)≥1+csx≥0，得f(x)在R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为a≤xex−lnx−x−1对x>0恒成立．
令g(x)=xex−lnx−x−1，用导数法求g(x)最小值，即有a≤gxmin.
【详解】因为f(−x)=e−x−ex2−sinx，所以−f(x)=f(−x)，所以f(x)为R上的奇函数．
因为f′(x)=ex+e−x2+csx≥2ex⋅e−x2+csx=1+csx≥0，所以f(x)在R上单调递增．
不等式fa−xex+f(lnx+x+1)≤0可转化为f(lnx+x+1)≤fxex−a，
所以lnx+x+1≤xex−a，即a≤xex−lnx−x−1对x>0恒成立．
令g(x)=xex−lnx−x−1，则g(x)=elnxex−lnx−x−1=elnx+x−(lnx+x)−1，
令h(x)=ex−x−1，则h′(x)=ex−1．
当x>0时，h′(x)>0，h(x)在(0,+∞)上单调递增；当x<0时，h′(x)<0，h(x)在(−∞,0)上单调递减．
所以h(x)min=h(0)=e0−0−1=0，即h(x)≥0，
所以g(x)≥0，且当lnx+x=0时，g(x)取最小值0，
故a≤0，即实数a的最大值为0．
故选：D.
【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化；
2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.
一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.
当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a,b满足a=b=2,a+b=23，则正确的是（ ）
A. a⋅b=−2B. a与b的夹角为π3
C. a−b【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量夹角以及投影向量的运算，逐项判断即可.
【详解】因为a+b=23，所以a+b2=a2+b2+2a⋅b=12，又a=b=2，所以a⋅b=2，故A错误；
因为csa,b=a⋅bab=24=12，所以a与b的夹角为π3，故B正确；
a−b=a−b2=a2+b2−2a⋅b=2，所以a−ba−b在b上的投影向量a−b⋅bb⋅bb=a⋅b−b2b⋅bb=−12b， 所以D正确.
故选：BCD
10. 已知fx=2cs2ωx+3sin2ωx−2ω>0的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ）
A. ω=2
B. 函数fx在0,π6上为增函数
C. 直线x=π3是函数y=fx图象一条对称轴
D. 点5π12,−1是函数fx图象的一个对称中心
【答案】BD
【解析】
【分析】将fx=2cs2ωx+3sin2ωx−2化为标准型，借助函数y=sinx的性质判断函数y=fx的性质.
【详解】由题意得fx=2cs2ωx+3sin2ωx−2=cs2ωx+3sin2ωx−1=2sin2ωx+π6−1，
因为ω>0，所以最小正周期为T=2π2ω=π，所以ω=1，故A错误；
所以fx=2sin2x+π6−1
当x∈0,π6时，2x+π6∈π6,π2，
因为−π2,π2是函数y=sinx的单调递增区间，而π6,π2⊆−π2,π2，
所以函数fx在0,π6上为增函数，故B正确；
当x=π3时，sin2×π3+π6=sin5π6=12≠±1，
所以直线x=π3不是函数y=fx图象一条对称轴，故C错误；
当x=5π12时，sin2×5π12+π6=sinπ=0，
所以点5π12,−1是函数fx图象的一个对称中心，故D正确.
故选：BD
11. 如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，..构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列an的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ）
A. a2+a4+a6⋯+a2024=a2025
B. a1+a3+a5⋯+a2023=a2024
C. a12+a22+a32⋯+a20242=a2024⋅a2025
D. 1a1a3+1a2a4+1a3a5+⋯+1a2021a2023=1a1a2−1a2022a2023
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据数列an满足a1=a2=1，an+2=an+an+1，n∈N*，依次判断选项即可得到答案.
【详解】由题知：数列an满足a1=a2=1，an+2=an+an+1，n∈N*.
对选项A，a2+a4+a6+⋯+a2024=a3−a1+a5−a3+a7−a5+⋯+a2025−a2023
=a2025−a1=a2025−1，故A错误.
对选项B，a1+a3+a5+⋯+a2023=a2+a4−a2+a6−a4+⋯+a2024−a2022=a2024，
故B正确.
对选项C，∵an+1=an+2−an
∴an+12=an+1×an+2−an=an+1⋅an+2−an+1⋅an，
∴a12+a22+a32+⋯+a20242=a12+a2a3−a2a1+a3a4−a3a2+⋯+a2024a2025−a2024a2023
=a2024a2025，故C正确.
对选项D，1anan+2=an+1an+1anan+2=an+2−ananan+1an+2=1anan+1−1an+1an+2
∴1a1a3+1a2a4+1a3a5+⋯+1a2021a2023
=1a1a2−1a2a3+1a2a3−1a3a4+1a3a4−1a4a5+⋯+1a2021a2022−1a2022a2023=1a1a2−1a2022a2023
=1a1a2−1a2022a2023.故D正确.
故选：BCD
12. 若存在实常数k和b，使得函数Fx和Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：Fx≥kx+b和Gx≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为Fx和Gx的“隔离直线”，已知函数fx=x2x∈R，gx=1xx<0，hx=2elnx（e为自然对数的底数），则（ ）
A. mx=fx−gx在x∈−132,0内单调递增；
B. fx和gx之间存在“隔离直线”，且b的最小值为−4；
C. fx和gx之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是−4,1；
D. fx和hx之间存在唯一的“隔离直线”y=2ex−e.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令mx=fx−gx，利用导数可确定mx单调性，得到A正确；
设fx，gx的隔离直线为y=kx+b，根据隔离直线定义可得不等式组x2−kx−b≥0kx2+bx−1≤0对任意x∈−∞,0恒成立；分别在k=0和k<0两种情况下讨论b满足的条件，进而求得k,b的范围，得到B正确，C错误；
根据隔离直线过fx和hx的公共点，可假设隔离直线为y=kx−ke+e；分别讨论k=0、k<0和k>0时，是否满足fx≥kx−ke+ex>0恒成立，从而确定k=2e，再令Gx=2ex−e−hx，利用导数可证得Gx≥0恒成立，由此可确定隔离直线，则D正确.
【详解】对于A，∵mx=fx−gx=x2−1x，
∴m′x=2x+1x2，m″x=2−2x3=21−1x3，
当x∈−132,0时，m″x>0，∴m′x单调递增，
∴m′x>m−132=−232+34=−223+223=0，∴mx在x∈−132,0内单调递增，
A正确；
对于B,C，设fx，gx的隔离直线为y=kx+b，
则x2≥kx+b1x≤kx+b对任意x∈−∞,0恒成立，即x2−kx−b≥0kx2+bx−1≤0对任意x∈−∞,0恒成立.
由kx2+bx−1≤0对任意x∈−∞,0恒成立得：k≤0.
⑴若k=0，则有b=0符合题意；
⑵若k<0则有x2−kx−b≥0对任意x∈−∞,0恒成立，
∵y=x2−kx−b的对称轴为x=k2<0，∴Δ1=k2+4b≤0，∴b≤0；
又y=kx2+bx−1的对称轴为x=−b2k≤0，∴Δ2=b2+4k≤0；
即k2≤−4bb2≤−4k，∴k4≤16b2≤−64k，∴−4≤k<0；
同理可得：b4≤16k2≤−64b，∴−4≤b<0；
综上所述：−4≤k≤0，−4≤b≤0，B正确，C错误；
对于D，∵函数fx和hx的图象在x=e处有公共点，
∴若存在fx和hx的隔离直线，那么该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为y−e=kx−e，即y=kx−ke+e，
则fx≥kx−ke+ex>0恒成立，
若k=0，则x2−e≥0x>0不恒成立.
若k<0，令ux=x2−kx+ke−ex>0，对称轴为x=k2<0
∴ux=x2−kx+ke−e在0,e上单调递增，
又ue=e−ke+ke−e=0，故k<0时，fx≥kx−ke+ex>0不恒成立.
若k>0，ux对称轴为x=k2>0，
若ux≥0恒成立，则Δ3=k2−4ke−e=k−2e2≤0，解得：k=2e.
此时直线方程为：y=2ex−e，
下面证明hx≤2ex−e，
令Gx=2ex−e−hx=2ex−e−2elnx，则G′x=2ex−ex，
当x=e时，G′x=0；当0e时，G′x>0；
∴当x=e时，Gx取到极小值，也是最小值，即Gxmin=Ge=0，
∴Gx=2ex−e−hx≥0，即hx≤2ex−e，
∴函数fx和hx存在唯一的隔离直线y=2ex−e，D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量a=t−2,3，b=1,−1，且a+2b//b，则a−b=______.
【答案】42
【解析】
【分析】求出向量a+2b的坐标，利用共线向量的坐标表示可求出t的值，求出a−b的坐标，再利用向量的模长公式可求得a−b的值.
【详解】因为向量a=t−2,3，b=1,−1，则a+2b=t−2,3+2,−2=t,1，
因为a+2b//b，则−t=1，可得t=−1，所以，a=−3,3，
则a−b=−3,3−1,−1=−4,4，因此，a−b=−42+42=42.
故答案为：42.
14. 若对任意a＞0且a≠1，函数f(x)=ax+1+1的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ＝__.
【答案】-2
【解析】
【分析】利用指数函数的性质可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解.
【详解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，
可得函数f(x)=ax+1+1（a＞0，a≠1）的图象经过定点P(－1,2)，
所以点P在角θ的终边上，则tanθ＝2−1＝－2.
故答案为：－2.
15. 已知数列an满足a1=1,2an+1=an−3anan+1n∈N*，则数列1an的前n项和Tn为______.
【答案】2n+2−3n−4n∈N*
【解析】
【分析】首先根据递推公式得到1an+3是以首项为4，公比为2的等比数列，从而得到1an=2n+1−3，再利用分组求和的方法求解Tn即可.
【详解】因为2an+1=an−3anan+1，所以1an+1=3+2an，
所以1an+1+3=21an+3，即1an+1+31an+3=2，又1a1+3=4，
所以1an+3是以首项为4，公比为2的等比数列.
所以1an+3=4⋅2n−1=2n+1，即1an=2n+1−3，
所以Tn=22+23+⋯+2n+1−3n=41−2n1−2−3n=2n+2−4−3nn∈N*.
故答案为： 2n+2−3n−4n∈N*
16. 将方程sinxcsx+3sin2x=33的所有正数解从小到大组成数列xn，记an=csxn+1−xn则a1+a2+⋯+a2023=______.
【答案】−36
【解析】
【分析】首先根据sinxcsx+3sin2x=33得到sin2x−π3=−36，根据y=sin2x−π3的周期T=π，所以xn+2−xn=π，从而得到xn+2−xn+1=π−xn+1−xn，所以an+1+an=0，即可得到a1+a2+a3+a4+⋯+a2023=a1=csx2−x1.再结合y=sin2x−π3的图象求解即可.
【详解】因为sinxcsx+3sin2x=33，所以12sin2x+321−cs2x=33，
所以sin2x−π3=−36，即y=sin2x−π3的最小正周期为：T=2π2=π.
所以xn+2−xn=π，xn+2−xn+1+xn+1−xn=π，即xn+2−xn+1=π−xn+1−xn.
所以an+1+an=csxn+2−xn+1+csxn+1−xn
=csπ−xn+1−xn+csxn+1−xn
=−csxn+1−xn+csxn+1−xn=0.
a1+a2+a3+a4+⋯+a2023=a1+a2+a3+⋯+a2022+a2023=a1=csx2−x1.
y=sin2x−π3的图象如下所示：

令2x−π3=kπ+π2⇒x=kπ2+512π⇒x1+x2=56π，即x2=56π−x1.
∴a1=csx2−x1=cs−2x1+56π=cs2x1−56π
=cs2x1−π3−π2=sin2x1−π3=−36.
故答案为：−36
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在①2c=asinC+ccsA，②sinB+C=2−1+2sin2A2，③2csπ2−A=sin2A，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，△ABC的面积为S，已知______.
（1）求A；
（2）若S=6,b=22，求a.
【答案】（1）A=π4；
（2）a=25
【解析】
【分析】（1）选①，由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式变形求解；选②由诱导公式和二倍角公式变形后，再同①求解；选③由诱导公式和二倍角公式变形后可得；
（2）由面积公式求得b，再由余弦定理计算．
【小问1详解】
选①2c=asinC+ccsA，由正弦定理得2sinC=sinAsinC+sinCcsA，
A是三角形内角，sinA≠0，则sinA+csA=2，22sinA+22csA=1，
所以sin(A+π4)=1，又0选②sinB+C=2−1+2sin2A2，sin(π−A)=2−(1−2sin2A2)，
sinA=2−csA，即sinA+csA=2，以下同选①；
选③2csπ2−A=sin2A，则2sinA=2sinAcsA，A是三角形内角，sinA≠0，所以csA=22，又0【小问2详解】
由（1）知S=12bcsinA=12×22csinπ4=6，c=6，
a2=b2+c2−2bccsA=8+36−2×22×6csπ4=20，
所以a=25．
18. 已知等差数列an的前n项和Sn，且a5=6，a4+a8=14.
（1）求an，Sn；
（2）设1bn=Sn−n，设bn的前n项和为Tn，若Tn【答案】（1）an=n+1，Sn=nn+32，n∈N+
（2）2,+∞
【解析】
【分析】（1）由已知条件建立基本量的方程组，求解即可；
（2）根据（1）求出bn并裂项即可求出Tn，进而求出m的取值范围.
【小问1详解】
设等差数列an的公差为d，
由题意可得a5=a1+4d=6a4+a8=2a1+10d=14，解得a1=2d=1，
所以an=n+1，Sn=n2+n+12=nn+32，n∈N+.
【小问2详解】
由（1）可知1bn=Sn−n=nn+32−n=nn+12，
所以bn=2nn+1=21n−1n+1，
所以Tn=21−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=21−1n+1=2−2n+1，
因为n∈N+，所以2n+1>0，所以2−2n+1<2，即Tn<2，
又Tn故m的取值范围为2,+∞.
19. 重庆市第二外国语学校在83周年校庆时组织了“校史”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.已知小王同学能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小王先回答A类问题，记X为小王的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小王应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）分布列见解析
（2）A类，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得到PX=0=0.3，PX=40=0.35，PX=40=0.35，再列出分布列即可.
（2）分别算出数学期望，再比较即可得到答案.
【小问1详解】
因为PX=0=1−0.7=0.3，PX=40=0.7×0.5=0.35，PX=100=0.7×0.5=0.35.
所以分布列为：
【小问2详解】
若小王先回答B类问题，记Y为小王的累计得分，
因为PY=0=1−0.5=0.5，PX=60=0.5×1−0.7=0.15，PY=100=0.5×0.7=0.35.
所以分布列为：
EX=0×0.3+40×0.35+100×0.35=49，
EY=0×0.5+60×0.15+100×0.35=44，EX>EY，
所以先回答A类问题.
20. 如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．

（1）求证：平面AEF⊥平面PAD；
（2）若PA=4，求锐二面角E−AF−C的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）155
【解析】
【分析】（1）通过证明AE⊥AD和PA⊥AE得AE⊥平面PAD，再利用面面垂直判定定理求解；
（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.
【小问1详解】
证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
又∵BC//AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∵PA⊥AE，而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，
又∵AE⊂平面AEF，
平面AEF⊥平面PAD.
【小问2详解】
由（1）知AE、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
则A0,0,0，B23,−2,0，C23,2,0，D0,4,0，
P0,0,4，E23,0,0，F3,1,2，
∴AE=23,0,0，AF=3,1,2，
设平面AEF法向量为m=x1,y1,z1，
则m→·AE→=0m→·AF→=0，因此23x1=03x1+y1+2z1=0，取z1=−1，则m=0,2,−1，
连接BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．
∵BD⊥AC，PA∩AC=A，PA、AC⊂平面AFC，
∴BD⊥平面AFC，
故BD为平面AFC的法向量．
又BD=−23,6,0，
∴csm→,BD→=m→⋅BD→m→⋅BD→=2×65×48=155．
∵二面角E−AF−C为锐二面角，
∴所求二面角的余弦值为155．
21. 在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为33，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l:y=mx−52交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为n，且mn=12．T是线段OD延长线上一点，且DT=22115AB，⊙T的半径为DT，OP，OQ是⊙T的两条切线，切点分别为P，Q，求∠QOP的最大值．
【答案】（1）x23+y22=1；
（2）∠QOP最大值为π3.
【解析】
【分析】（1）根据焦距易得c=1，再根据离心率为33可得椭圆方程;
（2）将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到AB的表达式，再利用|DT|=22115|AB|，则可得到DT，即圆半径r的表达式，根据mn=12，则n=12m,则将直线OD的方程与椭圆方程联立，得到OD的表达式，利用sin∠QOP2=rr+|OD|,将上述表达式代入，利用换元法结合二次函数最值得到sin∠QOP2的最值，最终得到∠QOP的最大值.
【小问1详解】
由题意得2c=2，c=1，
又∵e=ca=33，∴a=3，∴b=2，
∴椭圆方程为：x23+y22=1.
【小问2详解】
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x23+y22=1y=mx−52，得8+12m2x2−125mx−9=0，
Δ=720m2+368+12m2=1152m2+288>0，
x1+x2=35m3m2+2，x1x=−912m2+8，
|AB|=1+m2x1−x2=1+m2⋅Δ8+12m2=1+m2⋅1152m2+2888+12m2=1+m2⋅38m2+22+3m2
r=22115|AB|=22115⋅1+m2⋅38m2+22+3m2，
n=12m，∴直线OD的方程为：y=12mx，
联立x23+y22=1y=12mx得x2=24m28m2+3，y2=68m2+3，
|OD|=x2+y2=24m2+68m2+3，
sin∠QOP2=rr+|OD|=11+|OD|r,
ODr=24m2+68m2+32215⋅1+m2⋅8m2+22+3m2=5714⋅2+3m28m2+3⋅m2+1，
令2+3m2=t，m2=13t−2，且t>2，1t∈0,12
则ODr=15714⋅t(8t−7)(t+1)=15714⋅t8t2+t-7=15714⋅1−7t2+1t+8
=15714⋅1−71t−1142+1575196≥15714⋅14157=1
当且仅当1t=114，t=14，即2+3m2=14，m=±2时等号成立，
sin∠QOP2≤12，因此∠QOP2≤π6，
∴∠QOP的最大值为π3，
综上所述，∴∠QOP的最大值为π3，此时m=±2.
【点睛】本题第二问计算量与思维量较大，对于弦长公式要做到熟练运用，角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值，最终结合换元法，配方法等求解函数表达式的最值，从而得到角度的最值.
22. 已知函数fx=alnx+x2−a+2xa>0.
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）设x1、x20【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得f′x=2x−ax−1x，对a2和1的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数fx的增区间和减区间；
（2）分析可知方程x2−x+a=0在0,+∞上有两个不等的实根x1、x2，根据二次方程根的分布可求得实数a的取值范围，列出韦达定理，化简得出gx1−gx2=2alnx1−alna−122x1−1，利用导数证得函数hx=2alnx−alna−122x−1在0,a上的最大值小于12，即可证得结论成立.
【小问1详解】
因为fx=alnx+x2−a+2xa>0，该函数的定义域为0,+∞，
f′x=ax+2x−a+2=2x2−a+2x+ax=2x−ax−1x.
因为a>0，由f′x=0得：x=a2或x=1.
①当a2=1，即a=2时，f′x≥0对任意的x>0恒成立，且f′x不恒为零，
此时，函数fx的增区间为0,+∞，无减区间；
②当a2>1，即a>2时，由f′x>0得0a2；由f′(x)<0得1此时，函数fx的增区间为0,1、a2,+∞，减区间为1,a2；
③当a2<1，即00得01；由f′x<0得a2此时函数fx的增区间为0,a2、1,+∞，减区间为a2,1.
综上所述：当a=2时，函数fx的增区间为0,+∞，无减区间；
当a>2时，函数fx的增区间为0,1、a2,+∞，减区间为1,a2；
当0【小问2详解】
因gx=alnx+x2−a+2x−12x2+a+1x=alnx+12x2−x，其中x>0，
g′x=ax+x−1=x2−x+ax，
因为gx有两个极值点x1、x20所以，方程x2−x+a=0在0,+∞上有两个不等的实根x1、x2，
所以，Δ=1−4a>0x1+x2=1>0x1x2=a>0，解得0所以gx1−gx2=alnx1+12x12−x1−alnx2+12x22−x2
=alnx1x2+12x12−x22−x1−x2=alnx12a+122x1−1−2x1−1
=alnx12a−122x1−1=2alnx1−alna−122x1−1
令hx=2alnx−alna−122x−1，其中0当00；当2a所以hx在0,2a上单调递增，在2a,a上单调递减.
所以hxmax=h2a=2aln2a−alna−124a−1=aln4a−2a+12=aln4a−2+12<12，
所以gx1−gx2<12.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式fx>gx（或fx0（或fx−gx<0），进而构造辅助函数hx=fx−gx；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；x
0
40
100
P
0.3
0.35
0.35
Y
0
60
100
P
0.5
0.15
0.35