2024届宁夏石嘴山市平罗中学高三上学期期中考试数学（理）试题含答案

这是一份2024届宁夏石嘴山市平罗中学高三上学期期中考试数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集和补集的含义即可得到答案.
【详解】由题意得，
则在集合中去掉元素2即为阴影部分表示的集合：.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
3．已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.
【详解】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故选：D.
4．下列关于求导叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【解析】利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，，则，A选项错误；
对于B选项，，则，B选项正确；
对于C选项，，则，C选项错误；
对于D选项，，则，，D选项错误.
故选：B.
【点睛】本题考查导数的计算，熟练利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
5．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解
【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；
若幂函数在上是减函数，
则，解得或
故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件
故选：A
6．等于（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据三角函数的诱导公式以及二倍角公式，可得答案.
【详解】.
故选：C.
7．函数的零点所在的区域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据函数的解析式求得，根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在区间．
【详解】解：函数，定义域为，且为连续函数，
，，，
故函数的零点所在区间为，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
8．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解.
【详解】函数的定义域为R，可知的解集为R，
若，则不等式恒成立，满足题意；
若，则，解得．
综上可知，实数m的取值范围是．
故选：A．
9．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函为偶函数，可排除C项，结合的取值可正可负值，可排除B项；由，可排除A项，即可得到答案.
【详解】由函数的定义域为关于原点对称，
且满足，可得为偶函数，排除C项，
当时，可得．排除AB项.
故选：D．
10．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据左右平移可得函数的解析式，再根据其对称性可得，进而可得解.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得，
由，得关于坐标原点对称，
即，，
解得，，
又，所以，
所以，
所以，
故选：B.
11．已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题得.由函数在，处的导数相等，得，由恒成立，得恒成立，然后构造函数，利用导数求函数的最小值即可
【详解】由题得.由函数在，处的导数相等，得.
恒成立，恒成立.
令，
则.
当时，；当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
，.
故选：C.
【点睛】此题考查不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，属于中档题
12．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11B．9
C．7D．5
【答案】B
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．
【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则，
即T，解得：ω≤12，
当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.
二、填空题
13．若函数则 ．
【答案】
【分析】根据解析式求函数值即可.
【详解】，所以.
故答案为：.
14．曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】求导，求出，用直线方程的点斜式求出切线方程，即可求解.
【详解】求导，将代入得斜率为2，
直线为.
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
15．已知，则 ．
【答案】
【详解】
点睛：三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
16．已知函数，则函数零点的个数是 ．
【答案】
【分析】由题知或，进而作出函数的图象，数形结合求解即可.
【详解】解：令，即，解得或，
作出函数的图象如图，
由图可知，方程有个实数解，有个实数解，且均互不相同，
所以，的实数解有个，
所以，函数零点的个数是个.
故答案为：
三、解答题
17．已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象，求的图象离原点最近的对称中心.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
（2）根据函数的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得的图象离原点最近的对称中心．
【详解】（1）解：由图形可得，，解得，
过点，
，即（），
（）.
又，.
.
（2）解：由（1）知，
将图象上所有点向右平移个单位长度，得到.
令，，解得，，
所以的对称中心为（），
故当时，得到的图象离原点最近的对称中心为.
18．已知函数．
(1)求函数单调递增区间；
(2)若函数，求在的值域．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，结合正弦函数性质求函数单调递增区间；
（2）由的解析式求出，由可得，利用正弦函数的基本性质即可求得值域.
【详解】（1）因为
由，，得，，
所以函数单调递增区间，.
（2）由（1）可知，，
因为，所以，如图：
所以
所以在的值域为.
19．已知△ABC的内角A、B、C满足.
(1)求角A；
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将，转化为，再由余弦定理求解；
（2）根据△ABC的外接圆半径为1，得到，再利用余弦定理结合基本不等式求得，再由求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
即，
所以，
因为，
所以；
（2）因为△ABC的外接圆半径为1，
所以，
由余弦定理得，
，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
故△ABC的面积S的最大值是.
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，求出，然后利用点斜式即可求出切线方程；
（2）分类讨论，当时、当时，的正负情况，再判断单调性，从而确定极值.
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，，，
因而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由，
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，令，解得，
所以时，，在上的单调递减，
时，，在上的单调递增.
所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
21．已知函数，，．
(1)求的最大值；
(2)若对，总存在使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域以及导函数，根据导函数得出函数的单调性，进而即可得出答案；
（2）设在上的最大值为，可将已知转化为.求出，根据的范围，讨论函数的单调性，得出关系式，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，定义域为，.
当时，有，所以在上单调递增；
当时，有，所以在上单调递减.
所以，在处取得唯一极大值，也是最大值.
（2）设在上的最大值为，
根据已知可得出，，而，
当时，有在上恒成立，
此时有恒成立，满足题意；
当时，解可得，.
所以当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
若，即，此时，在上单调递增，
所以，，满足题意；
若，即，
此时在上单调递减，在上单调递增，
因为恒成立，故只需即可，
则，解得，所以；
若，即，此时在上单调递减，
所以，不满足题意.
综上所述，.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）直接消去参数可得到直线的普通方程，利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式可得曲线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入，可得，然后利用参数的几何意义求解即可
【详解】（1）解：由，得直线l的普通方程为，
由，得曲线C的直角坐标方程为，
（2）解：将代入中，化简得，
所以，
所以
23．已知．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分情况去绝对值求解即可；
（2）将不等式转化为恒成立，再分别作出与的图象，根据函数图象性质分析即可.
【详解】（1）时，即求解，
①当时，，∴；
②当时，，∴，无解；
③当时，，∴．
综上，解集为．
（2）即恒成立，令
则与函数图象如图：
由题意图象恒在上方，∴，∴