2024届北京市朝阳外国语学校高三上学期10月质量检测（二）数学试题含答案

这是一份2024届北京市朝阳外国语学校高三上学期10月质量检测（二）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
2．已知α是第四象限角，cs α＝，则sin α等于（ ）
A．B．－
C．D．－
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．
3．在中，是边上一点.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的加法的法则，以及其几何意义，把化为，和已知的条件作对比，求出值．
【详解】解：，
，，
故选：A．
4．在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
5．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，以及正弦函数的性质求解.
【详解】因为，
所以，
故选:D.
6．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．函数的图象关于点中心对称
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，然后根据的部分图象可得周期，进而可得的值，最后利用余弦型函数的单调性、周期性、对称性以及三角函数的图象变换即可求解.
【详解】解：函数，
由图可知，所以，解得，故选项A错误；
由图可知，一个周期中函数在区间上单调递增，
所以根据周期性有函数的单调增区间为，故选项B错误；
函数的图象向右平移个单位长度得，故选项C错误；
当时，，所以函数的图象关于点中心对称，故选项D正确.
故选：D.
7．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）

A．90B．180C．270D．360
【答案】B
【分析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，由组合数计算即可.
【详解】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，
其中1春2夏的不同情况有：种；
2春1夏的不同情况有：种，
所以小明选取节气的不同情况有：种．
故选：B．
8．若平面向量两两夹角相等， 且， 则= （ ）
A．2B．5C．2或5D． 或
【答案】C
【分析】根据给定条件，分情况结合数量积定义求解即得.
【详解】平面向量两两夹角相等，则或，
当时，即向量同向共线，则，
当时，
.
故选：C
9．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：）（ ）次.
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】又与的关系，结合条件求，再由条件列不等式，结合指数，对数运算性质和对数函数性质解不等式可得结论.
【详解】因为，
所以
又，
所以，
所以
所以
由可得，
所以，
所以，又，
所以，所以，，
所以要使该企业排放的废水符合排放标准，改良工艺次数最少要11次，
故选：D.
10．已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先把函数零点问题转化成两个函数图象有交点问题，再画出图象，结合导函数求出两个函数有一个交点时实数的值，再结合图象分析有两个交点时实数的取值范围.
【详解】因为函数有两个零点，所以函数的图象与函数的图象有两个不同的交点.
函数恒过定点,，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
综上，要使函数有两个零点，则实数的取值范围是.
故选：D.
二、填空题
11．在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
12．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】/0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
三、双空题
13．数列的通项公式为 则该数列第 10项为 ，其前10 项和为 .(数字作答)
【答案】
【分析】化简数列的通项公式，再求出第10及前10项和即可.
【详解】依题意，，
所以，前10项和.
故答案为：；
四、填空题
14．已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的 条件(从“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”选一不填空)
【答案】必要不充分
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合共线向量运算判断即可.
【详解】当时，满足，显然不存在正数，使得成立，
若存在，使得，则，
所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
15．已知全集，非空集合.若在平面直角坐标系中，对中的任意点， 与关于轴、 轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题：
①若，则；
②若，则中至少有8个元素；
③若，则中元素的个数可以为奇数
④若，则
其中正确命题的序号为 .
【答案】①③④
【分析】根据给定定义，求出中的点的对称点判断①②③；求出关于轴，轴，和轴对称图形判断④.
【详解】依题意，中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称，
则当时，，，，
进而，
若，则，①正确；
若，则，，，中有4个元素，②不正确；
当，若，，中有4个元素；当，，中有个元素，
若，，中有8个元素；若，，中有4个元素；若，中有1个元素，
因此，中元素的个数为奇数，③正确；
若，由中的点在直角坐标系内形成的图形关于轴轴和直线均对称知，
则，，
，即，
即，④正确，
所以正确命题的序号为①③④.
故答案为：①③④
五、解答题
16．已知函数，其中．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的的值．
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为；
(2)时有最大值为；时有最小值为0.
【分析】（1）应用倍角正余弦公式、辅助角公式化简，结合正弦型函数性质求最小正周期、单调增区间；
（2）由正弦型函数性质求最值即可.
【详解】（1）
，
函数最小正周期为，
由，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）因为，所以，
当，即时，取最大值，最大值为，
当，即时，取最小值，最小值为0．
17．已知等比数列的公比大于1，且满足.求
(1)数列的通项公式；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
（2）首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
（2）由于：，故：
.
18．在中，角的对边分别为， 且
(1)已知 计算的面积.
在下面给定的三个条件中，选出其中的两个填在上述横线上，使得唯一确定，并解答.
(2)当时，求的最大值，
条件①：；
条件②：；
条件③：
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)条件选择，答案见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角求出，选择条件并结合正弦定理、三角形面积公式计算判断即得.
（2）由（1）中值，利用余弦定理，结合基本不等式求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，
则，，
整理得，而，则，又，因此，
选①和②，显然唯一确定，由正弦定理，得，
又，所以的面积．
选①和③，
由余弦定理，得，解得，，
显然唯一确定，，所以为直角三角形，
所以的面积．
选②③，，由正弦定理及，得，
而，，
显然，此时不存在.
（2）由（1）知，在中，，而，
由余弦定理，得，
当且仅当时取等号，因此，
所以的最大值是.
19．已知函数.
(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 求的值；
(2)当，且时， 求函数的单调区间.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义可知，结合切点坐标可构造方程组求得.
（2）设，求导得，再分类讨论确定导数值正负求出单调区间.
【详解】（1）函数，求导得，，则，，
由曲线与曲线在交点处具有公共切线，得，
又，即，解得，
所以，.
（2）当时，设，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，，由，得或，
①当时，，恒成立，则的单调递减区间为，无单调递增区间；
②当时，，当时，，当时，，
则的单调递减区间为，，单调递增区间为；
③当时，，当时，，当时，，
则的单调递减区间为，，单调递增区间为，
所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为.
20．已知函数.
(1)求证：当 时，；
(2)求在的零点个数.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2个.
【分析】（1）求得，令，求得，得到函数单调递减，结合，即可得证；
（2）由（1）得到，进而得到的符号，求得的单调性，结合，，，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得，
令，可得，
当时，可得，所以单调递减，
又由，所以，即，所以单调递减，
由，所以.
（2）解：由（1）知，，
当，可得，且，所以，
即，所以单调递减；
当，可得，且，所以，
即，所以单调递增，
又因为，，，
所以函数有两个零点.
21．已知无穷数列，若无穷数列满足：，都有，则称与“接近”.
(1)设，，试判断与是否“接近”，并说明理由；
(2)若数列，均为等差数列，他们的公差分别为，.求证：与“接近”的必要条件是“”；
(3)已知数列是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且，，，，中至少有100个正数，求的取值范围.
【答案】(1)与“接近”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接利用定义判断即可；（2）先说明时，不满足，显然时满足，即可；（3）先利用定义确定，然后根据题意，找到符合题意的数列即可.
【详解】（1）与“接近”，理由如下：
因为，，
又因为
所以有
所以
所以与“接近”.
（2）假设,不妨设，
则
令，
则.
当时，令，当时有.
此时与不“接近”.
当时，令，当时，有
此时与不“接近”.
同理得时，与不“接近”.
综上，与不“接近”
与与“接近”矛盾，
所以有
所以“=”是“与“接近””的必要条件.
（3）因为是公差为的等差数列，
所以.
若存在数列满足：与“接近”，
则，都有.
即.
即.
则
即
当时，，都有
与，，，，中至少有100个正数矛盾.
当时，可取
则，且，，，，均为正数,符合题意.
当时，可取
则，且，，，，均为正数,符合题意.
当时，可取
则，
即，，，，中有100个正数.
综上所述的取值范围是.