2024届陕西省渭南市尚德中学高三上学期第二次质量检测数学（文）试题含答案

这是一份2024届陕西省渭南市尚德中学高三上学期第二次质量检测数学（文）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，再根据交集含义即可.
【详解】，，.
故选：B.
2．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据分段函数，先求出，再由所在区间求即可.
【详解】由函数解析式知：，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，由目标函数的自变量所在的区间，结合分段函数解析式求函数值.
3．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
4．以下说法错误的是 （ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若命题，使得，则，
D．若为假命题，则、均为假命题
【答案】D
【分析】选项A，利用由原命题与逆否命题间的关系即可判断出结果；选项B，利用充分条件与必要条件的判断方法即可判断出结果；选项C，根据存在量词的否定，直接写出，从而判断出结果；选项D，根据命题真假判断方法即可判断出结果.
【详解】对于选项A，由原命题与逆否命题间的关系知，“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以选项A说法正确；
对于选项B，因为时，方程成立，又由，得到或，得不到，所以选项B说法正确；
对于选项C，因为命题，使得的否定为：，，所以选项B说法正确；
对于选项D，由为假命题，得到或为假命题，故选项D说法错误，
故选：D.
5．函数的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用平方关系将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】由，
因为，
所以当时，取得最大值.
故选：D.
6．在中，，则∠B=（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】在中，由的值求出的值，再由与的长，利用正弦定理求出的值，利用大边对大角的原则可得为锐角，即可得到的值.
【详解】在中，，
，
，
由正弦定理，得，
，可得为锐角，
.
故选：A.
7．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，且，可以求出的值，结合两角和的正弦公式即可得到答案．
【详解】因为，且，所以，
则，，
故，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简，通过两角和的正弦公式求值计算，属于基础题
8．已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于点对称
【答案】D
【详解】由题意得，故，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴选项A,B不正确．
又，
，
∴选项C,不正确，选项D正确．选D．
9．函数在处有极值为10，则a的值为（ ）
A．3B．-4C．-3D．-4或3
【答案】B
【分析】首先对求导，然后由题设在时有极值10可得解之即可求出和的值．
【详解】解：对函数求导得，
又在时有极值10，
，
解得或，
当，时，,
故在无极值，故
故选：B．
【点睛】本题掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于基础题．
10．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过函数的奇偶性，，，可分别排除D，C，B，即得解
【详解】因为，所以是奇函数，排除D；
当时，，．
由，可排除C；，排除B
故选：A
11．已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则，，的大小关系为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据，得f（x）为偶函数，结合偶函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递减，＝f（lg23），进而又由，分析可得答案.
【详解】根据题意，函数满足，则为偶函数.
又由偶函数在区间内单调递增，得f（x）在（0，+∞）内单调递减.
，∵，，，
∴，即．
故选：B
【点睛】考查对数的运算，偶函数的定义，指数函数的单调性，以及偶函数在对称区间上的单调性性质，属于中档题．
12．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可．
【详解】，
所以在上恒成立，
等价于在上恒成立，
因为时，，
所以只需在上递减，
即，恒成立，
即时，恒成立，，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．
二、填空题
13．在中，角的对边分别为，若，，，则 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理即可得解.
【详解】因为在中，，，，
所以.
故答案为：.
14．曲线在点处的切线方程与直线垂直，则 ．
【答案】
【分析】由点在曲线上，即可求出，再求出曲线在点的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为，求出，即可得解；
【详解】解：∵是的点，则，，显然在点处的斜率，
则切线方程为，
∵直线与直线垂直，则，显然，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念、知识的掌握程度，属于基础题．
15．若函数的值域为，则正整数的最小值是 ．
【答案】5
【分析】根据题意结合正项函数的值域和图象可得的取值范围，进而得解.
【详解】因为，则，
若数的值域为，则，解得，
所以正整数的最小值是5.
故答案为：5.
16．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，已知当时，，有以下结论：
①2是函数的一个周期；
②函数在上单调递减，在上单调递增；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④当时，．
其中，正确结论的序号是 ．（请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性和指数型函数的值域依次判断命题即可.
【详解】∵对任意的恒有，
∴，则的周期为，故①正确；
∵函数是定义在上的偶函数，当时，，
∴函数在上是增函数，函数在上是减函数，
所以在上递减，在上是增函数，故②正确；
∴函数的最大值是，最小值为，故③不正确；
设，则，，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题
17．世界上的能源消耗有是由摩擦和磨损造成的，一般机械设备中约有80%的零件因磨损而失效报废．零件磨损是由多方面因素造成的，某机械设备的零件随着使用时间的增加，“磨损指数”也在增加．现根据相关统计，得到一组数据如下表．
(1)求r关于t的线性回归方程；
(2)在每使用完一整年后，工人会对该零件进行检测分析，若该零件在下一年使用过程中的“磨损指数”超过10%，则该零件需要在本次检测后立即进行报废处理．根据（1）中的回归方程，估计该零件使用多少年后需要进行报废处理？
参考数据：，．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)
(2)8年
【分析】（1）根据题中所给的公式和数据进行求解即可；
（2）运用代入法进行求解判断即可.
【详解】（1）因为，所以．
又，，
所以，
所以．
故r关于t的线性回归方程为．
（2）由（1）可知，当时，，
当时，．
故估计该零件使用8年后需要进行报废处理．
18．已知函数
（1）求它的单调递增区间；
（2）若，求此函数的值域.
【答案】（1）（）；（2）.
【分析】（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可．
（2）根据（1）的结果，再根据求出的范围结合的值域为，即可求出结果．
【详解】（1）
由，
得，.
故此函数的单调递增区间为（）.
（2）由，得.
的值域为.
的值域为，
故此函数的值域为
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中档题．
19．已知等差数列满足，且与的等差中项为5.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义及等差中项的应用计算基本量即可；
（2）利用裂项相消法计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
∵，即，
又∵与的等差中项为5，
∴，解得，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
∴
.
20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求B；
(2)若，D为边AC的中点，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将条件中的角向边进行转化，然后由余弦定理可得答案；
（2）由可得，然后可得的值，然后可得答案.
【详解】（1）因为，所以，所以，
所以，即，
所以，
又，所以．
（2）因为，D为边AC的中点，所以，且，
在中，，
同理，在中，，
因为，所以，所以，
在中，，即，所以，
所以的面积．
21．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）证明：对任意，都有．
【答案】（1）在区间单调递减，在区间单调递增，极小值为，无极大值；（2）证明见解析.
【分析】（1）由，得到，再利用导数法求解；
（2）先利用导数法得到，，然后将对任意，都有，转化为，，即，证明.
【详解】（1）因为，
所以，
则函数的定义域为，
而
因为，令，解得；令，解得，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，
故函数有极小值为，无极大值；
（2）因为，，
所以，
因为，令，可得（舍）或，
令，得，令，得，
故在区间单调递减，在区间单调递增
所以，，
若对任意，都有，
只需证，，
即证，，
，，
令，，
只需证
，所以函数在单调递增，
，
对任意，都有，．
【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式，这是用导数证明不等式的基本思路．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，与轴交于点，求的值.
【答案】(1)，
(2)36
【分析】（1）根据消参即可，根据极坐标和直角坐标互化公式即可；
（2）先求出直线的参数方程，联立曲线的普通方程，由的几何意义即可求解.
【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数，得普通方程为.
因为，所以，将代入得.
（2）由于直线与轴的交点坐标为，倾斜角为，
所以直线的参数方程为（为参数），
代入，得，
设对应的参数分别为，则，
所以.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分段讨论解绝对值不等式；
（2）恒成立问题，先求得的最小值为，再解不等式即可.
【详解】（1）由，可得，
当时，原不等式可化为，化简得，不成立；
当时，原不等式可化为，解得，故；
当时，原不等式可化为，化简得，恒成立，故.
综上可知的取值范围为.
（2）因为，
当，即时，取最小值，且最小值为，
由题可知关于的不等式的解集为，即不等式恒成立，
所以，
解得.
故实数的取值范围是
使用时间t/年
1
2
3
4
5
磨损指数r/%
4.5
5.6
6.4
6.8
7.2