期末专题复习02：一元二次方程解法-2023-2024学年九年级数学上学期期末专项复习（苏教版）

这是一份期末专题复习02：一元二次方程解法-2023-2024学年九年级数学上学期期末专项复习（苏教版），文件包含期末专题复习02一元二次方程解法-2023-2024学年九年级数学上学期期末专项复习原卷版苏教版docx、期末专题复习02一元二次方程解法-2023-2024学年九年级数学上学期期末专题复习解析版苏教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
知识导图
知识点一：一元二次方程的常规解法
直接开平方法：
形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得=±p如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
公式法
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b²-4ac≥0）叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．
因式分解法
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
考点一：常规解法
1．用配方法解方程x2+8x+7=0，配方正确的是（ ）
A．x+42=9B．x−42=9C．x−82=16D．x+82=57
【答案】A
【难度】基础题
【考点】一元二次方程、配方法的应用
【易错点】配方法理解不完善
【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案．
【详情解析】解：方程x2+8x+7=0即为x2+8x=−7，
在方程的两边都加上16，得x2+8x+16=−7+16，
即(x+4)2=9．
故选：A．
【提优突破】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步骤是解此题的关键．
2．将一元二次方程x2−8x+5=0化成x+a2=b（a、b为常数）的形式，则a+b的值为 ．
【答案】7
【难度】基础题
【考点】一元二次方程、配方法的应用
【易错点】配方法应用
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而得出答案．
【详情解析】解：∵x2−8x+5=0，
∴x2−8x=−5，
则x2−8x+16=−5+16，即x−42=11，
∴a=−4,b=11，
则a+b=−4+11=7，
故答案为：7．
【提优突破】本题主要考查解一元二次方程--配方法，解题的关键是掌握完全平方公式．
3．（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）解下列方程
(1)2x2−8=0．
(2)x2−2x=3
(3)2x2−5x+3=0
(4)x−1x+3=5x−1．
【答案】(1)x1=2，x2=−2
(2)x1=3，x2=−1
(3)x1=32，x2=1
(4)x1=1，x2=2
【难度】基础题
【考点】一元二次方程解法、直接开平方法、配方法，因式分解法
【易错点】各种解法的区别和选择
【分析】（1）先把方程化为x2=4，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先把方程化为x2−2x+1=3+1，可得x−12=4，再利用直接开平方法解方程即可；
（3）把方程化为2x−3x−1=0，再化为两个一次方程，从而可得答案；
（4）先移项可得x−1x+3−5x−1=0，可得x−1x−2=0，从而可得答案．
【详情解析】（1）解：2x2−8=0，
∴2x2=8，即x2=4，
∴x1=2，x2=−2；
（2）x2−2x=3，
∴x2−2x+1=3+1，
∴x−12=4，
∴x−1=2，x−1=−2，
解得：x1=3，x2=−1；
（3）2x2−5x+3=0，
∴2x−3x−1=0，
∴2x−3=0，x−1=0，
解得：x1=32，x2=1；
（4）x−1x+3=5x−1，
∴x−1x+3−5x−1=0，
∴x−1x+3−5=0，即x−1x−2=0，
∴x−1=0或x−2=0，
解得：x1=1，x2=2．
【提优突破】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，配方法，因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
4．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考阶段练习）解下列方程：
(1)x−12=4
(2)x−22=5x−2
(3)x2−5x+6=0
(4)x2−4x−1=0
【答案】(1)x1=3，x2=−1
(2)x1=2，x2=7
(3)x1=2，x2=3
(4)x1=2+5，x2=2−5
【难度】基础题
【考点】一元二次方程解法、直接开平方法、因式分解法
【易错点】各种解法的区别和选择
【分析】（1）用直接开平方法解方程即可；
（2）用因式分解法解方程即可；
（3）用因式分解法解方程即可；
（4）用公式法解方程即可．
【详情解析】（1）由x−12=4
得x−1=±2
则x−1=2或x−1=−2
解得x1=3，x2=−1
（2）由x−22=5x−2
得(x−2)2−5(x−2)=0
(x−2)(x−2−5)=0
(x−2)(x−7)=0
得x1=2，x2=7
（3）由x2−5x+6=0
得(x−2)(x−3)=0
解得x1=2，x2=3
（4）∵Δ=(−4)2−4×1×(−1)=20>0
∴x=4±202=4±252=2±5
x1=2+5，x2=2−5
【提优突破】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
5．（2023秋·江苏·九年级校考周测）用适当的方法解下列方程
(1)(2x+1)2−5=0
(2)(x−3)2+2x(x−3)=0
(3)x2−12x−13=0
(4)x(x−3)=10
【答案】(1)x1=5−12,x2=−5−12
(2)x1=3,x2=1
(3)x1=−1,x2=13
(4)x1=5,x2=−2
【难度】基础题
【考点】一元二次方程解法、直接开平方法、因式分解法
【易错点】各种解法的区别和选择
【分析】(1)利用直接开平方法计算即可．
(2) 利用因式分解法法求解即可．
(3) 利用因式分解法法求解即可．
(4)利用因式分解法法求解即可．
【详情解析】（1）(2x+1)2−5=0，
∴(2x+1)2=5，
∴2x+1=±5，
∴x1=5−12,x2=−5−12．
（2）∵(x−3)2+2x(x−3)=0，
∴(x−3)x−3+2x=0,
∴(x−3)3x−3=0，，
解得x1=3,x2=1．
（3）∵x2−12x−13=0,
∴(x−13)x+1=0，
解得x1=−1,x2=13．
（4）∵x(x−3)=10，
∴x2−3x−10=0
∴(x+2)(x−5)=0，
解得x1=5,x2=−2．
【提优突破】本题考查了直接开平方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
6．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为−3a2≤0，所以−3a2+1有最大值1，即−3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．
(1)当x= 时，代数式−2(x−1)2+3有最 （填写大或小）值为 ；
(2)当x= 时，代数式−2x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ；
(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少?

【答案】(1)1；大；3
(2)1；大；5
(3)当花园与墙相邻的边长为4m时，花园的面积最大为32m2
【难度】基础题
【考点】一元二次方程解法、配方法、方程应用问题、最值问题
【易错点】配方法的变形和最大最小问题
【分析】（1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．
（2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．
（3）设花园与墙相邻的边长为xm，则另一边为(16−2x)m，由题意得：x⋅(16−2x)，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．
【详情解析】（1）解：∵(x−1)2≥0，
∴−2(x−1)2≤0，
∴−2(x−1)2+3≤3，
∴当(x−1)2=0时，即x=1时，代数式−2(x−1)2+3有最大值为3，
故答案为：1；大；3．
（2）−2x2+4x+3=−2(x2−2x)+3
=−2(x2−2x+12−12)+3
=−2(x−1)2+5，
∵(x−1)2≥0，
∴−2(x−1)2≤0，
∴−2(x−1)2+5≤5，
∴当(x−1)2=0时，即x=1时，代数式−2x2+4x+3有最大值为5，
故答案为：1；大；5．
（3）设花园与墙相邻的边长为xm，则另一边为(16−2x)m，由题意得：
x⋅(16−2x)=−2x2+16x
=−2(x2−8x+42−42)
=−2(x−4)2+32，
当x=4时，−2(x−4)2+32有最大值为：32，
∴当花园与墙相邻的边长为4m时，花园的面积最大为32m2．
【提优突破】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22+1，∵x+22≥0，∴x+22+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
简单应用：
（1）填空：x2−4x+7=（x− ）2+ ；
深入探究：
（2）已知x2−4x+y2+2y+5=0，求x+y的值；
灵活应用：
（3）比较代数式2x2−4x+5与x2+x−2的大小，并说明理由．
【答案】（1）2，3；（2）1；（3）2x2−4x+5>x2+x−2，理由见解析
【难度】中等题
【考点】一元二次方程解法、配方法，配方法综合应用
【易错点】配方法综合应用、代数式最值
【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；
（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；
（3）将两式相减，再配方即可作出判断．
【详情解析】解：（1）x2−4x+7=x2−4x+4+3=x−22+3．
故答案为：2，3；
（2）∵x2−4x+y2+2y+5=0，
∴x2−4x+4+y2+2y+1=0，
∴x−22+y+12=0，
∴x−2=0,y+1=0，
解得x=2,y=−1，
∴x+y=2−1=1；
（3）2x2−4x+5−x2+x−2
=2x2−4x+5−x2−x+2
=x2−5x+7
=x2−5x+254−254+7
=x−522+34，
∵x−522≥0，
∴x−522+34>0，
∴2x2−4x+5>x2+x−2．
【提优突破】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
（2）已知x2+y2−4x+2y+5=0，则x+y= ；
（3）已知S=2x2+y2+2xy+12x+k（x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
【拓展结论】
（4）已知实数x、y满足−x2+72x+y−3=0，求x−2y的最大值．
【答案】（1）是；（2）1；（3）k=36，理由见解析；（4）2
【难度】中等题
【考点】一元二次方程解法、配方法，配方法综合应用
【易错点】配方法综合应用、代数式最值
【分析】（1）把53分为两个整数的平方和，即可；
（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
拓展结论：
（4）由已知等式表示出y，代入x−2y中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详情解析】解：（1）根据题意得：53=22+72．
故答案为：是．
（2）已知等式变形得：x2−4x+4+y2+2y+1=0，
即x−22+y+12=0，
∵x−22≥0,y+12≥0，
∴x−2=0,y+1=0，
解得：x=2,y=−1，
则：x+y=2−1=1．
故答案为：1．
（3）当k=36时，S为“完美数”，理由如下：
S=2x2+y2+2xy+12x+k=x2+12x+k+y2+2xy+x2=x2+12x+k+y+x2，
∵S是完美数，
∴x2+12x+k是完全平方式，
∴k=36．
（4）∵−x2+72x+y−3=0，
∴−y=−x2+72x−3，即−2y=−2x2+7x−6，
∴x−2y=x−2x2+7x−6=−2x2+8x−6=−2x2−4x+4+2=−2x−22+2，
当x=2时，x−2y最大，最大值为2．
【提优突破】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22+1，∵ x+22≥0,x+22+1≥1，∴ x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1. 试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知y=x2−6x+12，求y的最小值．
(2)比较代数式3x2−x+2与2x2+3x−6的大小，并说明理由．
(3)如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,AC=4cm,BC=3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．

【答案】(1)3
(2)3x2−x+2>2x2+3x−6，理由见解析
(3)5
【难度】难题
【考点】一元二次方程解法、配方法，配方法综合应用、动点问题
【易错点】配方法综合应用、代数式最值、动点问题
【分析】（1）根据题目给的方法将原式配方成y=x−32+3，即可判断；
（2）利用作差法结合配方法解答即可；
（3）由题意得：CQ=t,AP=2t，可得CP=4−2t，进而可用含t的式子表示出四边形APQB的面积，再利用配方法求解即可．
【详情解析】（1）y=x2−6x+12 =x2−6x+9+3=x−32+3，
∵x−32≥0，
∴x2−6x+9的最小值是3，即y的最小值是3；
（2）∵3x2−x+2−(2x2+3x−6)
=x2−4x+8
=x−22+4，
x−22+4>0，
∴3x2−x+2−2x2+3x−6>0，
∴3x2−x+2>2x2+3x−6；
（3）由题意得：CQ=t,AP=2t，
∴CP=4−2t，
∴四边形APQB的面积S=S△ABC−S△CPQ=12×3×4−12t4−2t
=6−2t+t2
=t2−2t+1+5
=t−12+5≥5；
∴四边形APQB的面积S的最小值是5cm2．
【提优突破】本题考查了配方法的应用，正确变形、掌握解答的方法是解题的关键．
知识点二：换元法
所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
考点二：换元法
1．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）阅读理解：
材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+c−y＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：
例：求x2+2x+5的取值范围；
解：令x2+2x+5＝y
∴x2+2x+5−y＝0
∴Δ＝4﹣4×(5﹣y)≥0
∴y≥4
∴x2+2x+5≥4．
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1>x2）
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，求a的值；
(2)求出代数式3x2+6x−21−3x的取值范围；
【答案】(1)a＝6或a＝﹣6
(2)3x2+6x−21−3x ≤−103或3x2+6x−21−3x≥﹣2
【难度】难题
【考点】换元法综合应用
【易错点】换元变形问题
【分析】（1）仿照例题，设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3−y＝0，根据Δ≥0，列出不等式，根据x2+ax+3最小值为﹣6，即可求解；
（2）仿照例题，设y＝3x2+6x−21−3x，变形为3x2+6+3yx−2−y＝0，根据Δ≥0，得3y2+16y+20≥0，解法方程3y2+16y+20＝0，得y1=−2，y2=− 103，根据材料二即可求解．
【详情解析】（1）解：设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3−y＝0，
∵Δ≥0，
∴a2−4（3−y）≥0可得y≥3−14a2，
而由已知y≥﹣6，
故3﹣14a2＝﹣6，
∴a＝6或a＝﹣6．
（2）设y＝3x2+6x−21−3x，变形为3x2+6+3yx−2−y＝0，
∵Δ≥0，
∴6+3y2−4×3×−2−y≥0，化简得3y2+16y+20≥0，
3y2+16y+20＝0
解得：y1=−2，y2=− 103，
∴根据材料二，a=3>0，
∴y≤−103或y≥﹣2．
【提优突破】本题考查了利用一元二次方程根的判别式来确定代数式的取值范围，仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，掌握一元二次方程根的判别式与解一元二次方程是解题的关键．
2．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考阶段练习）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4x2+2x−5=0
[提示]可以用“换元法”解方程．
解：设x2+2x=tt≥0，则有x2+2x=t2，原方程可化为：t2+4t−5=0
(1)续解：
(2)用上面的思想方法解方程：x2x+2+2x+4x2=3
【答案】(1)见解析
(2)x1=−1；x2=2；x3=1+5；x4=1−5
【难度】中等题
【考点】换元法解方程
【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程
【分析】（1）根据换元法的思想解方程即可；
（2）设x2x+2=t，解出关于t2−3t+2=0的解，再将解代入原式求出答案．
【详情解析】（1）解：设x2+2x=tt≥0，则有x2+2x=t2，
∴原方程可化为：t2+4t−5=0，
解得t=−5（舍）或t=1，
∴ x2+2x=1，
∴ x2+2x−1=0，
解得x=2−1或x=−2−1；
（2）解：设x2x+2=t，
∴原方程化为t+2t=3，
∴ t2−3t+2=0，
解得t=2或t=1，
当t=1时，x2x+2=1，
解得x=2或x=−1，
经检验，x=−1或x=2是方程的解；
当t=2时，x2x+2=2，
解得x=1+5或x=1−5，
经检验，x=1+5或x=1−5是方程的解．
∴原方程的解为：x1=−1；x2=2；x3=1+5；x4=1−5．
【提优突破】本题主要考查无理方程的解法，熟练掌握换元法解无理方程的方法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．
3．（2023秋·江苏徐州·九年级徐州市科技中学校考阶段练习）阅读下列材料：
解方程：x4−6x2+5=0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−6y+5=0…①，
解这个方程得：y1=1,y2=5．
当y1=1时，x2=1．∴x=±1；
当y2=5时，x2=5，∴x=±5
所以原方程有四个根： x1=1,x2=−1,x3=5,x4=−5．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程(x2−x)2−4(x2−x)−12=0时，若设y=x2−x，则原方程可转化为 ；并求出x
(2)利用换元法解方程：x2−42x+2xx2−4=2．
【答案】(1)y2−4y−12=0，x1=3，x2=−2
(2)x1=1+5，x2=1−5
【难度】中等题
【考点】换元法解方程
【易错点】换元思想与换元法解方程的思路及过程
【分析】（1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果；
（2）设y=2xx2−4把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值．
【详情解析】（1）解：设y=x2−x，原方程可变形为：y2−4y−12=0，
∴因式分解为：(y−6)(y+2)=0，
∴y=6或y=−2，
∴x2−x=6或x2−x=−2，
对于方程x2−x=6，
解得：x1=−2，x2=3，
对于方程x2−x=−2，
移项得：x2−x+2=0，
∵Δ=−70时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当 Δ4a2，
所以4a2−4b20，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为3，
∴32+6m+m2−2=0，
整理，得：m2+6m=−7，
∴2m2+12m+2053
=2m2+6m+2053
=2×−7+2053
=−14+2053
=2039．
【提优突破】本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1,x2是上述方程的两个实数根，
∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+k，
∵x12+x22=5，
∴(x1+x2)2−2x1x2=5，即(2k+1)2−2(k2+k)=5，解得k=1或k=−2，
当k=1时，方程为x2−3x+2=0，解得x=1或x=2，
当k=−2时，方程为x2+3x+2=0，解得x=−2或x=−1．
【提优突破】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，利用根与系数的关系表示出两根积与两根和是解题的关键．
6．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．
(1)判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)3+22
【难度】基础题
【考点】判别式、一元二次方程两根情况、解方程、三角形的性质
【易错点】判别式与根的关系
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到 Δ=4>0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，即可解答；
（2）先利用求根公式解方程得到x1=m+1，x2=m−1，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详情解析】（1）解：关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0，
∵Δ=−2m2−4m2−1=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ=−2m2−4m2−1=4>0，
∴x=−−2m±42×1=2m±22=m±1，
∴x1=m+1，x2=m−1．
∵该方程的根恰好是等腰直角三角形ABC的两边，
∵m+1>m−1，
∴m+12=m−12+m−12，
整理得：m2−6m+1=0，
解得m=3+22或m=3−22（舍去），
∴m的值为3+22．
【提优突破】本题考查了根的判别式∶一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系∶当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δx2，且x2+3x1为整数，求整数m所有可能的值．
【答案】(1)见解析
(2)−3或−2或0或1
【难度】难题
【考点】判别式、一元二次方程两根情况、解方程
【易错点】判别式与根的关系
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=1>0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程求出方程的两根为m，m+1，得出x1+3x1=m+4m+1=1+3m+1，然后利用有理数的整除性确定m的整数值．
【详情解析】（1）解：证明：∵ Δ=[−(2m+1)]2−4×(m2+m)=1>0，
∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）∵x2−(2m+1)x+m2+m=0，即(x−m)[x−(m+1)]=0，
解得：x=m或x=m+1．
∴一元二次方程x2−(2m+1)x+m2+m=0的两根为m，m+1，
∵x1>x2，
∴x1=m+1，
∴ x2+3x1=m+3m+1=1+2m+1，
如果1+2m+1为整数，则m=−3或-2或0或1，
∴整数m的所有可能的值为−3或-2或0或1．
【提优突破】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出m的整数值．
8．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0．
(1)代数式x2−12的不变值是______，A=______．
(2)说明：代数式2x2−x+1没有不变值；
(3)已知代数式x2−nx+n，若A=0，求n的值．
【答案】(1)−3和4，7
(2)见解析
(3)1
【难度】难题
【考点】判别式、一元二次方程两根情况、解方程
【易错点】判别式与根的关系
【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程2x2−x+1=x没有实数根，进而可得出代数式2x2−x+1没有不变值；
（3）由A=0可得出方程x2−nx+n=x有两个相等的实数根，进而可得出Δ=0，解之即可得出结论．
【详情解析】（1）解：依题意，得：x2−12=x，即x2−x−12=0
解得：x1=−3，x2=4，
∴A=4−−3=7，
故答案为：−3和4，7；
（2）解：依题意，得：2x2−x+1=x即2x2−2x+1=0，
∵Δ=−22−4×2×1=−40，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由求根公式，得x=(3m+2)±(m+2)2m．
∴x=2m+2m或x=1．
∵m>0，
∴ 2m+2m=2+2m>1，
∵x10)，
∴该函数的解析式是：y=2m(m>0)．
（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出y=2m(m>0)和y=2m(m>0)的图象，如图．

由图象可得，当m>1时，y≤2m．
【提优突破】本题考查根与系数的关系，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2023秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2x10，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
x2−2m−1x+m2−2m=0
x−mx+2−m=0
∴x1=m−2，x2=m，
∴该方程的衍生点M的坐标为m−2，m；
（3）存在，理由如下：
∵直线y=kx−2k−2=kx−2+4过定点2,4，
∴方程x2+bx+c=0的两个根为x1=2，x2=4，
∴4+2b+c=016+4b+c=0
解得b=−6,c=8．
【提优突破】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3=0
x1=−3，x2=−1
3x2+4x+1=0
x1=−13，x2=−1
2x2−7x+3=0
x1=12，x2=3
3x2−7x+2=0
x1=2，x2=13
x2−2x−8=0
x1=4，x2=−2
8x2+2x−1=0
x1=14，x2=−12
……
……
……
……