2024届四川省内江市第六中学高三上学期第一次月考数学（文）试题含答案

这是一份2024届四川省内江市第六中学高三上学期第一次月考数学（文）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.
【详解】，，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查补集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直接根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；
【详解】解：，
故选：C.
【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，属于基础题.
3．已知，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据向量线性运算、数量积的坐标表示求得正确答案.
【详解】由题知，所以．
故选：C．
4．设 为等差数列的前项和，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据题意求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，
由，
得，解得，
所以.
故选：C.
5．设曲线在点处的切线与直线垂直，则
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D
6．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A，B为奇函数，再根据函数图像中，判断出A对，B错；由图像得，判断出C，D错误，即可得出答案．
【详解】对于A，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A正确；
对于B，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B错误；
对于C，函数，
因为，故C错误；
对于D，函数，
，故D错误，
故选：A．
7．如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．如图所示的程序框图，输出的S即为小球总数，则（ ）
A．35B．56C．84D．120
【答案】B
【分析】设第层小球个数为，根据程序框图可知，输出的，求出各个数即可得到.
【详解】设第层小球个数为，由题意可知，.
根据程序框图可知，输出的，
又，，，，，，
所以.
故选：B.
8．已知函数的图像关于对称，则的值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】先根据三角函数的对称轴对应极值点，再求导且在极值点处导函数函数值为0，求出参数及解析式，最后计算函数值即可.
【详解】因为的图像关于对称，则在取得极值．
又，则，得，
所以，
则．
故选: D.
9．若双曲线的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据四边形OAFB为菱形，且圆的半径为，得到是正三角形，，则求解.
【详解】双曲线C的半焦距，
圆F过原点O.依题意易知是正三角形，
，
，
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10．已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（ ）
A．该正方体外接球的体积为
B．若是棱中点，则异面直线AM与夹角的余弦值为
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
【答案】D
【分析】画出正方体，根据条件逐个判断对错，动点问题优先考虑线面垂直和等体积法的应用
【详解】对于A：正方体外接球的直径为体对角线，即，所以，
所以，A正确；
对于B：如图所示，异面直线和所成角即为，
所以，所以B正确；
对于C：如图所示，连接，则，又平面，
而平面，所以，
因为，且平面，平面，
所以平面，
而平面，所以，C正确；
对于D：因为，平面，所以平面，所以直线上的点到平面距离相等，
所以，所以D错误，
故选：D
11．过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】由已知可求得直线的斜率为，则直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，可求出，，即可解得结果.
【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，.
由抛物线的定义知，，又，所以为等边三角形，且轴，所以，则.
，则直线的方程为，
联立直线的方程与抛物线的方程，可得，
解得，，显然，所以，，
所以，.
故选：C.
12．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先比较，的大小，构造函数，求，根据与0的符号关系来确定的增减性，进而求得，再把代入即可得到；比较，的大小，根据当时，有，再把代入即可得到，从而即可得解．
【详解】令，则，
当，，此时单调递增，
当，，此时单调递减，
所以，
所以，即，
所以；
又设，恒成立，
∴当， 单调递减，
当时，有，则，
所以，
综上可得．
故选：D．
二、填空题
13．在等比数列中，，，则 .
【答案】
【分析】利用等比数列的通项公式可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：
14．设、满足约束条件，则的最大值是 ．
【答案】16
【分析】作出不等式组表示的平面区域，由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，结合图象即可求解的最大值．
【详解】作出、满足约束条件表示的平面区域，如图所示：
由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大
作直线，然后把该直线向可行域平移，
当直线经过时，最大
由可得，此时．
故答案为：16．

【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中的几何意义．属于中档题.
15．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，若该圆柱的高是底面半径的2倍，则该圆柱的侧面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意求出球体的半径，再利用勾股定理圆柱的底面半径与高，从而求圆柱的表面积即可.
【详解】设圆柱外接球半径为，圆柱的底面半径为，则其高为，
由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，则，
因为球的表面积为，所以，则，
又因为，即，所以，则，
所以圆柱的侧面积为：.
故答案为：.
.
16．函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的最大值是 ．
【答案】/.
【分析】根据题意求出在，，上的解析式，画出函数图象，结合图象可求得结果.
【详解】因为，且当时，．
所以当时，，则，
当时，，则
，
当时，，则
，
所以当时，，解得或，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，对任意，都有，必有，
所以m的最大值是，
故答案为：

三、解答题
17．随着北京冬奥会的举办，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃.正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年，某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各100人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有10人对滑雪运动没有兴趣.
(1)完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？
(2)按性别用分层抽样的方法从对滑雪运动有兴趣的学生中抽取5人，若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，求选出的2人中恰有一位是女生的概率.
参考公式：，其中.
【答案】(1)列联表见，有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关
(2)
【分析】（1）根据已知条件，得出列联表，再根据独立性检验公式，即可求解；
（2）根据已知条件，得出抽到的男女生数量，再根据古典概型的概率公式结合列举法或排列组合得出答案.
【详解】（1）从某中学随机抽取男生和女生各100人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，
则共有人对滑雪运动有兴趣，则没兴趣的共有人，
女生中有10人对滑雪运动没有兴趣，则男生中对滑雪运动没有兴趣的有人，
女生中对滑雪运动有兴趣的有人，男生中对滑雪运动没有兴趣的有人，
则列联表如下：
则，
有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关.
（2）根据题意，抽到的男生人数为人，女生人数为人，
法一：记两名男同学为，三名女同学为，
则若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，共有：
，10种情况，
其中恰有一位是女生的情况有：，6种情况，
则其概率为；
法二：若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，求选出的2人中恰有一位是女生的概率为.
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)已知，若是锐角三角形，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理与余弦定理化简求解，
（2）由正弦定理求解，
【详解】（1）由正弦定理化简得，即，
而，得，而，得，
（2）由是锐角三角形，故，
则，
而，，解得，
19．底面为菱形且侧棱底面的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体．若，．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得平面，进而证得；
（2）先求得三棱锥的体积，进而求得三棱锥的体积．
【详解】（1）连接，由，且，
可知四边形为平行四边形，所以．
因为底面为菱形，所以，
侧棱底面，则侧棱底面，
面，则，
所以，，
因为，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以．
（2）设，，连接，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
同理可得：，所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，
所以，且，所以，
又，所以．
又侧棱底面，则为三棱锥的高.
菱形中，，则，
，
四、证明题
20．已知函数
(1)当时，求f（x）的单调递增区间：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：.
【答案】(1)和；
(2)证明见解析.
【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性即可求解；
(2)根据极值点的定义可得方程有两个不相等的实根()，由正弦函数图象可知，
利用导数求出函数的极值，进而构造函数，再次利用导数求出即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，
，令或，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以函数的单调递增区间为和；
（2），
因为函数恰有两个极值点，
所以方程有两个不相等的实根，设为且，
当时，函数图象关于直线对称，
则，即，
因为，所以，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，
即，，
于是有，
因为，所以，
所以，而，
所以，
设，，
则，令或，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最小值，即，
因此有，即.
【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函数的性质即可解决问题.
五、解答题
21．已知椭圆C：的焦点，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合，得出椭圆C的方程；
（2）讨论直线l的斜率存在和为0的情况，联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合数量积运算得出，再由基本不等式得出所求范围.
【详解】（1）由题意可知，，解得，
故椭圆C的方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，，
，
当直线l的斜率为0时，，
，
当直线l的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线的方程为，
由，得，
设，则，
同理可得，
因为，
所以
因为（当且仅当时，取等号），
所以，
综上，.
【点睛】关键点睛：在解决问题二时，关键是将向量的数量积转化为韦达定理的形式，再由基本不等式得出范围.
22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B，求．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的互化即可代入化简求解，
（2）联立直线与曲线方程，得韦达定理，即可根据参数的几何意义求解.
【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，
根据，，可得，即，
所以曲线的直角坐标方程为
（2）直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程为，
得到，即，
设，两点对应参数分别为，，则有，，
由参数的几何意义，得到
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为M，若正数a，b，c满足，证明．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据的取值分类讨论，分段求解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式求得，再根据基本不等式即可证明.
【详解】（1）当时，即，解得，不等式解集为；
当时，即，不等式解集为空集；
当时，即，解得，不等式解集为；
综上所述，的解集为.
（2），当且仅当，即时取得等号，故；
则，又，
则，
又，当且仅当时取得等号；
，当且仅当时取得等号；
，当且仅当时取得等号；
故，
当且仅当，且，即时取得等号.
故，时取得等号.
有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
合计
有兴趣
没有兴趣
合计
男
60
40
100
女
90
10
100
合计
150
50
200