2024届福建省福州高新区第一中学高三上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2024届福建省福州高新区第一中学高三上学期第一次月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知单位向量，满足，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据模的运算先求出，进而解出.
【详解】由题意，，由，所以.
故选：C.
2．已知，，则（ ）
A．B．7C．D．-7
【答案】A
【分析】根据角的范围以及平方关系求出再利用商的关系求出，最后由两角和的正切公式可得答案.
【详解】因为，，
所以
，
故选：A.
【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.
3．已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，以为邻边作平行四边形，根据向量加减法的几何意义，结合投影向量的概念，即可求出结果.
【详解】令，
以为邻边作平行四边形，
则，即为，对角线相等，
所以平行四边形为矩形，
则在方向上的投影向量，即为在方向上的投影向量.
故选：.
4．函数y=xcsx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
二、多选题
5．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】计算得到，再根据和差公式和二倍角公式，诱导公式依次计算得到答案.
【详解】，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
6．已知满足，则（ ）
A．为锐角三角形B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和的余弦公式及余弦定理逐一判断即可得解．
【详解】解：已知满足，则，
即，即，
对于选项A，为钝角三角形，即选项A错误；
对于选项B，，，
，即选项B正确；
对于选项C，，
，即选项C正确；
对于选项D，由，
结合余弦定理可得：，即选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题
7．在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则 ．
【答案】
【分析】根据向量的三角形法则，将向量用来表示即可；
【详解】因为E为BC边上靠近点B的三等分点，所以，
所以，
所以 ，，故．
故答案为：
8．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为 km.
【答案】
【分析】在中，根据，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解.
【详解】在中，因为，，，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍去），
在中，因为，，
所以，
由正弦定理得： ，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
四、解答题
9．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由正弦的和角公式可求得答案；
（2）由正弦的二倍角公式和正弦的差角公式可求得答案.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以.
（2）解：由（1）得，所以，所以，，
所以，
所以.
10．已知非零向量，满足，且．
(1)求；
(2)当时，求和向量与的夹角θ的值．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据向量数量积运算律化简即可得到答案；
（2）利用向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）由已知得，即，；
（2），，
，
，所以．
11．已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，证明：.
【答案】（Ⅰ）（ⅠⅠ）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）先代入，对求导数，再算出，，进而可得曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）先构造函数，再利用导数可得的最小值，，进而可证当时，．
试题解析：（Ⅰ）解：当时，，
所以．
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为．
即.
（Ⅱ）证法一：当时，.
要证明，只需证明.
以下给出三种思路证明.
思路1：设，则.
设，则，
所以函数在上单调递增
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且
因为时，所以，即
当时，；当时，
所以当时，取得最小值．
故．
综上可知，当时，.
思路2：先证明．
设，则．
因为当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．
所以要证明，
只需证明．
下面证明．
设，则．
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．
由于取等号的条件不同，
所以．
综上可知，当时，.
（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）
思路3：先证明.
因为曲线与曲线的图像关于直线对称，
设直线与曲线，分别交于点，，点，到直线
的距离分别为，，
则．
其中，．
①设，则．
因为，所以．
所以在上单调递增，则．
所以．
②设，则．
因为当时，；当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以．
所以．
所以．
综上可知，当时，.
证法二：因为，
要证明，只需证明.
以下给出两种思路证明.
思路1：设，则.
设，则．
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且.
因为，所以，即．
当时，；当时，.
所以当时，取得最小值．
故．
综上可知，当时，．
思路2：先证明，且．
设，则．
因为当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值．
所以，即（当且仅当时取等号）．
由，得（当且仅当时取等号）．
所以（当且仅当时取等号）．
再证明．
因为，，且与不同时取等号，
所以．
综上可知，当时，．
【解析】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明．