2024届福建省诏安县桥东中学高三上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2024届福建省诏安县桥东中学高三上学期第一次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【详解】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
2．命题：“，”，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由全称命题的否定：“任意”改“存在”并否定原结论，即得答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，.
故选：D
3．设为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为为正实数，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立.
所以的最小值为.
故选：C.
4．函数y＝lg2(|x|＋1)的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可.
【详解】y＝lg2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝lg2(x＋1)是增函数，且过点(0，0)，(1，1)，只有选项B满足．
【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．
5．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为，
向左平移1个单位得，
即．
故选D．
6．已知，，，则的大小关系为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】；
；
．
故．
故选A．
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
7．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】分和两种情况，根据函数单调性和零点存在性定理分析求解.
【详解】当时，则，即，
可得，
所以在内无零点；
当时，则，即，
可得，
因为在定义域内单调递增，则在内单调递减，
且，
所以在内有且仅有一个零点；
综上所述：函数的零点个数为1个.
故选：A.
8．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
二、多选题
9．下列命题不正确的有（ ）
A．若命题，，则，
B．不等式的解集为
C．是的充分不必要条件
D．，
【答案】ACD
【分析】对A，由含有一个量词命题的否定即可判断；对B，结合二次函数的图象即可判断；对C，先求出的解集，再由充分条件，必要条件的定义即可判断；对D，由特殊值即可判断.
【详解】解：对A，若命题，，则，，故A不正确；
对B，，
令，
则，
又的图像开口向上，
不等式的解集为；故B正确；
对C，由，
解得：，
设，，
则，故是的必要不充分条件，故C不正确；
对D，当时，，故D不正确.
故选：ACD.
10．小明同学对函数且进得研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．函数的定义域为B．函数有可能是奇函数，也有可能是偶函数
C．函数在定义域内单调递减D．函数不一定有零点
【答案】ABD
【分析】根据解析式确定定义域，令、研究的性质判断各项的正误即可.
【详解】由，有，即恒有意义，故定义域为，A对；
当，则，故，此时为奇函数，
当，则，故，此时为偶函数，B对；
若，令，易知在上递减，在上递增，
当时，在上递增，根据复合函数的单调性可知，
在上递增，在上递减，所以在定义域内不递减，且无零点，C错；
若，显然，此时函数有零点，综上，不一定有零点，D对.
故选：ABD
11．定义在上的函数的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题，其中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】由图及已知有判断A、B；根据图象平移关系确定图象，数形结合判断C、D.
【详解】由题设及图知：，A对，B错；
由图象平移关系：的图象是将右移一个单位得到，如下图示，
所以，符号有正有负；但，则，C错，D对.
故选：AD
12．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对于任意的都有；
②对于任意的都有；
③函数的图象关于轴对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数是偶函数
C．对于任意的都有
D．函数有最大值和最小值
【答案】BCD
【分析】利用函数的周期性、奇偶性、单调性分析运算即可得解.
【详解】对于A：∵对于任意的都有，
∴是周期为的周期函数.
∵函数的图象关于轴对称，
且函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的，
∴函数的图象关于轴对称，
∴，故选项A错误；
对于B：∵函数定义域为，∴函数定义域为，
∵函数的图象关于轴对称，
∴函数是偶函数，则，
∴，
∴函数是偶函数，故选项B正确；
对于C：∵函数是偶函数，且，
∴，故选项C正确；
对于D：∵对于任意的都有，
∴函数在上是增函数，则当时.
∵函数关于对称，
∴函数在上是减函数，则当时，
∴函数在一个周期上最小值为，
最大值为.
∵是定义在上的周期为的周期函数，
∴函数有最大值和最小值，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．设函数的定义域为，函数的定义域为，则 ．
【答案】
【分析】根据函数成立的条件，分别求出集合和集合，然后再求即可.
【详解】由，得，所以；由，得，所以，故.
故答案为.
【点睛】本题考查具体函数定义域的求法以及交集的求法，属于基础题.
14．已知函数，若（a），则 ．
【答案】或
【分析】分段求解对数方程和指数方程，则问题得解.
【详解】当时，，，
当时，，．
或．
故答案为：或
【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量的取值，涉及对数方程和指数方程的求解，属综合基础题.
15．已知，恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】问题化为上，利用基本不等式求左侧最小值，注意取值条件，即可得参数范围.
【详解】由题设，只需上即可，
又，则，
当且仅当时等号成立，
所以，所求范围为.
故答案为：
16．已知函数，若方程有两个不等实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【详解】试题分析：
当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，且，所以最小值点的坐标为，若方程有两个不相等的实根，则函数与有两个不同交点，而是过原点的直线，则应大于点与原点连线的斜率，且小于直线的斜率，即，故答案为.
【解析】分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数，属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题
17．（1）设x、y、，比较与的大小；
（2）比较与的大小．
【答案】（1）；（2）.
【分析】利用作差法和不等式的性质比较大小.
【详解】（1）由．
∴．
（当且仅当且时等号成立）．
（2）由．
故，即．
18．已知二次函数
(1)若有零点，求的取值范围；
(2)若函数在上是减函数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据零点的定义，转化为方程有解，利用一元二次方程的性质，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，明确其开口方程和对称轴，建立不等式，可得答案.
【详解】（1）由函数有零点，则等价于方程有解，
所以，
解得或.
即a的取值范围为.
（2）由函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
由函数在上为减函数，则，解得，即的取值范围为.
19．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；
写出函数的解析式和值域．
【答案】（1）递增区间是，，图像见解析
（2）
【分析】由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数的图象即可,再由图象直接可写出的增区间;
直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.
【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示:
由图可得函数的递增区间是,.
设,则,所以,因为是定义在R上的偶函数,所以,所以时,,
故的解析式为,
由图像可得值域为.
【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.
20．已知函数定义域为.
（1）求定义域；
（2）当时，求的最值及相应的的值.
【答案】（1）或（2）当时，有最大值为，无最小值.
【分析】（1）根据对数函数的定义域的求法，则有求解.
（2）利用换元法，令，将转化为二次函数
再求解.
【详解】（1）因为
所以
解得或
所以函数的定义域为
（2）令
可转化为
当 即时，
即的最大值为，无最小值.
【点睛】本题主要考查了对数函数定义域的求法和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
【答案】为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
【分析】设楼房应建为层，楼房每平方米的平均综合费为元，根据平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，列出函数关系式，然后运用导数函数的最小值，并求出此时的取值即可.
【详解】解：设楼房应建为层，楼房每平方米的平均综合费为元，
则

，
当且仅当，即时，取最小值2000．
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
22．定义在上的单调函数满足且对任意x，都有．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见解析；
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求证，
（2）根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为对任意成立．即可换元利用二次不等式的性质求解.
【详解】（1）是奇函数，
理由如下：
由，①
令，代入①式，得，即．
令，代入①式，得，又，
则有．即对任意成立，
所以是奇函数．
（2），即，又在上是单调函数，
所以在上是增函数
又由（1）是奇函数．，
∴，对任意成立．
令，问题等价于对任意恒成立．
令，其对称轴．
当即时，，符合题意；
当时，对任意，恒成立．
解得．
综上所述，当时，对任意恒成立．