2024届广东省东莞市第四高级中学高三上学期9月月考数学试题含答案

这是一份2024届广东省东莞市第四高级中学高三上学期9月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，的否定是（ ）
A．“，”B．“，”
C．“，”D．“，”
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定判断各选项.
【详解】命题“，的否定是，.
故选：B.
2．已知全集，，（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【解析】本题根据补集的运算直接计算即可.
【详解】解：因为全集，，
所以或
故选：B
【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.
3．已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出、、、的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.
【详解】由题意知：，，
，.
由零点存在定理可知在区间一定有零点.
故选：C.
4．已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．
【详解】，的定义域均为，且,，
所以为奇函数，为偶函数.
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.
当时，，排除C.
故选:D．
5．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数性质及对数函数性质比较大小即可.
【详解】因为，，，
所以.
故选：D
6．已知两个随机变量，，其中，，若，，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】B
【分析】根据二项分布期望公式得到，再根据正态分布的对称性计算可得.
【详解】由，则，故，
所以，又因为，
可得.
故选：B.
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性化简，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题知，
且，
所以函数为奇函数，
又和在单调递增，故由
故选：B
8．如图，正方形的边长为14cm，，，，依次将，，，分为的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形、、…、.一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为，为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是（ ）
A．19B．20C．21D．22
【答案】C
【分析】由题结合图形，通过数学归纳得出数列以6为首项，为公比的等比数列，求和分析即可.
【详解】由题意可知，，.
所以，
因此由数学归纳的思想可知，.
设数列，则该数列以6为首项，为公比的等比数列，
所以，
因此，
故选：C.
二、多选题
9．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述正确的是（ ）
A．这12天中有6天空气质量为“优良”
B．这12天中空气质量最好的是4月9日
C．这12天的AQI指数值的中位数是90
D．从4日到9日，空气质量越来越好
【答案】ABD
【分析】根据图中的数据逐个分析判断即可
【详解】对于A，这12天中，空气质量为“优良”的AQI指数值95，85，77，67，72，92，共6天，所以A正确，
对于B，这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，所以B正确，
对于C，这12天的AQI指数值的中位数为，所以C错误，
对于D，从4日到9日，AQI指数值越来越低，空气质量越来越好，所以D正确，
故选：ABD
10．若，，，则下列不等式对一切满足条件a，b恒成立的是（ ）
A．的最大值为2
B．的最大值为2
C．的最小值为4
D．的最小值为2
【答案】AC
【分析】由已知结合基本不等式分别检验选项ABD，然后结合二次函数的性质即可判断选项C．
【详解】对于A，由于，，所以，
当且仅当时等号成立，故，故A正确，
对于B，，
当且仅当时取等号，故，B错误，
对于C，由题意得，所以，
，
根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值4，故C正确，
对于D，，，，
，
当且仅当，即时等号成立，故D错误．
故选：AC．
11．下列哪些选项是的充分不必要条件（ ）
A．在单调递增
B．，恒成立
C．，恒成立
D．只有一个零点
【答案】BD
【分析】分别对四个选项等价转换求出的取值范围，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】对于A，，开口向上，对称轴为，因为在单调递增，
所以，即，所以在单调递增是的充要条件，故A错误；
对于B，，即，即，
所以，恒成立是的充分不必要条件，故B正确；
对于C，，，即在恒成立，所以，
令，则，在，，所以在单调递增，，所以，
所以，恒成立是的必要不充分条件，故C错误；
对于D，只有一个零点，即，即或，
所以只有一个零点是的充分不必要条件，故D正确.
故选：BD
12．若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）
A．，是“正方和谐函数”
B．若 为“正方和谐函数”，则
C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D．若为“正方和谐函数”，则对，成立
【答案】ABD
【分析】条件③．即可判定A，由条件①③可得，即可求得即可判断B，由条件③即可判断C,由迭代递推法即可判断D.
【详解】对于A, 函数，，显然满足条件①②．
对任意，且时，．
函数在区间，上为“正方和谐函数”．故A正确.
对于B，若函数为“正方和谐函数”，
则令，，得，即，
又由对，，，故B正确；
对于C，设，则，所以
，即有，
函数在区间上不一定是单调递增，故C错误；
对于D，①当时，成立，
②当时， ，，
③当时，，，则；
显然，当时，成立；
假设当时，有成立，其中，
那么当时，，
可知对于，总有，其中，
而对于任意，存在正整数，使得，此时
综上可知，满足条件的函数对时总有成立.
故D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．数列，则 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的定义和通项即可得到答案.
【详解】当时，，则，
则，
故答案为：.
14．二项式的展开式中的系数为，则 （用数字作答）．
【答案】
【分析】首先根据题意得到，再令求解即可.
【详解】由题知：因为，令，所以，解得.
故答案为：
15．我们知道对内任意的m，n，都有，且在上单调递增．设函数满足①对定义域内任意的m，n，都有②在上单调递减，写出满足以上两个条件的一个函数 ．
【答案】或（或者换成别的大于1的底数或者函数乘以一个正数）（答案不唯一）
【分析】通过分析，结合题干和对数函数性质可以得到答案.
【详解】在上单调递减，
假设当定义域为，，，
根据，结合题干关系，可设函数为符合要求，
或者对于，也满足，在上单调递减.
故答案为：或（或者换成别的大于1的底数或者函数乘以一个正数）（答案不唯一）
四、双空题
16．已知函数有且只有4个零点，，则k的取值范围为 ， ．
【答案】
【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合的思想和确定k的取值范围，再根据二次函数的性质以及对数函数的性质可求解的值.
【详解】设，则，
作出的图象如下，
，
函数有4个零点，等价于方程有4个不相等的实数根，
所以数形结合可知，所以，
由图可知，，
由二次函数的对称关系可得，，
又由图可知，所以，
则有，所以，
所以，
故答案为: ;.
五、解答题
17．某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
（1）请根据以上数据，求关于x的线性回归方程；
（2）若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间.
(注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，参考数据：).
【答案】（1）=0.65x+56.5；（2）95.5分钟.
【解析】（1）计算平均值，再利用回归方程公式计算得到答案.
（2）将带入回归方程计算得到答案.
【详解】（1）由数据得=(10+20+30+40+50)=30，=(64+69+75+82+90)=76，
因为=12 050，=5 500，所以，
=76-0.65×30=56.5，所以y关于x的线性回归方程为=0.65x+56.5.
（2）当x=60时，=0.65×60+56.5=95.5(分钟)，
因此可以预测制作60个这种模型需要花费95.5分钟.
【点睛】本题考查了计算回归方程和回归方程的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18．已知数列的前项和为，.
(1)若是等比数列，且，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)330
【分析】（1）根据已知条件判断公比，再运用等比数列求和公式计算基本量即可；
（2）方法一：令，，得到是以6为首项，6为公差的等差数列，进而计算；方法二：根据，得到三组等差数列，进而分组求和即可.
【详解】（1）因为是等比数列，设首项为，公比为，
由，知，，
所以①；②
得，所以，
代入①得，所以
（2）方法一：令，，，
因为，
所以
所以是以6为首项，6为公差的等差数列，
所以，所以，
方法二：因为，所以为常数
所以是以为首项，公差为2的等差数列，
是以为首项，公差为2的等差数列，
是以为首项，公差为2的等差数列
故
19．2021年10月16日.神舟十三号载人飞船在长征二号遥十三运载火箭的托举下点火升空，创造了中国航天太空驻留时长的新纪录.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量是推进剂与火箭质量的综合，称为“总质比”，已知型火箭喷流相对速度为.
(1)当总质比为50时，求型火箭的最大速度（保留整数）；
(2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据：，，）.
【答案】(1)3129
(2)68
【分析】（1）根据总质比为50，代入求解；
（2）易知经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比为，然后由求解.
【详解】（1）解：当总质比为50时，型火箭的最大速度为：
；
（2）经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
要使火箭的最大速度至少增加，
则，
即 ，
即 ，
即 ，
所以，
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值是68.
20．已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差、等比公式法求得数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法求和，再根据数列的单调性证得结果.
【详解】（1）由题意可得，解得，，
因为数列的公差为3，数列的公比为2，所以，
（2）由（1）知：
易知在单调递增，故，取最小值，又，恒成立.
故成立.
21．已知函数在处的切线l和直线垂直．
(1)求实数a的值；
(2)设，已知在单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，因为切线l和直线垂直，由导数几何意义可得，解出的值，即可得到答案.
（2）将问题转化为在上恒成立，设，则，根据单调性求出最小值，即为m的取值范围．
【详解】（1）由函数，可得，可得
因为函数在处的切线l和直线垂直，所以
即，解得
（2）因为在单调递增
从而有，即在上恒成立
设，则
因为
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在单调递减，在单调递增
又因为，故在上最小值
所以实数m的取值范围是.
22．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；
（2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；
（3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率.
【详解】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.
又甲队明星队员前四局不出场，故，
，所以.
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
所以.
（3）由（2），.
制作模型数x(个)
10
20
30
40
50
花费时间y(分钟)
64
69
75
82
90