2024届上海市复旦大学附属中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届上海市复旦大学附属中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．不等式的解集为 ．
【答案】或
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】由，得，
所以或，
故不等式得解集为或．
故答案为：或．
2．若双曲线的离心率为，则实数 ．
【答案】2
【详解】，.渐近线方程是.
3．已知复数，则 ．
【答案】
【解析】根据共轭复数的概念，先得到，再由复数的乘法运算，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查共轭复数的相关计算，属于基础题型.
4．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.
【详解】由题意得，圆锥的底面半径为，母线长为，
故圆锥的侧面积为.
故答案为：
5．已知正实数x，y满足：，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用不等式，直接计算即可.
【详解】，
当且仅当，即时取得等号；
故的最大值为；
故答案为：.
6．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则 .
【答案】
【分析】根据正弦定理角化边可得，再利用余弦定理即可求得，即可求得答案.
【详解】由题意，
得，即，
故，由于,
故，
故答案为：
8．用函数的观点：不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解
【详解】由不等式可得，
令函数，定义域为，
由于，均为定义域内的增函数，
所以在定义域内单调递增，且，
对应不等式即为，解之得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
9．李明自主创业，在网上经营一家水果店，为增加销量，李明进行促销：一次购买水果的总价不少于120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，扣除平台费用，李明会得到支付款的；为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 .
【答案】15
【分析】设支付款为元，从而得到不等式，求出，从而得到，求出答案.
【详解】设支付款为元，则，
解得，
因为，故，解得.
故答案为：15
10．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
11．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
12．设函数，，，，.，，试将、、从小到大排列为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合数列的单调性与函数的单调性，代入计算，即可比较大小.
【详解】函数在上单调递增，且，
所以，
，
因为，故函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，函数的图像关于直线对称，
由题意可知，则，
因为，
所以，
，
因为，
故函数的图像关于点对称，
由题意可知，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
因为，
所以，
，
因为，
，
所以，，
因此，.
故答案为：
二、单选题
13．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
14．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】利用图象平移得到答案.
【详解】因为，
所以其图象可由的图象向右平移个单位得到.
故选：B
15．在正方体中，给出下列四个推断：
①
②
③平面平面
④平面平面
其中正确的推断有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】在①中，与成角；在②中，由，，得；在③中，由，，得平面平面；在④中，由，，得平面平面．
【详解】解：在正方体中，
在①中，由正方体的性质可知，所以即为异面直线与所成的角，在中显然，所以与成角，故①错误；
在②中，，，，故②正确；
在③中，，，
，，
、平面，、平面，
平面平面，故③正确；
在④中，，，，平面，所以，又平面
平面平面，故④正确．
故选：．
16．已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据新定义得，令，可判断A，对累乘结合组合数的阶乘形式化简即可判断B，根据二项式系数和公式判断C，结合等比数列前n项和公式根据分组求和求解判断D.
【详解】因为，所以，
令，则，所以，故选项A错误；
因为，
所以累乘得，
因为，所以，故选项B错误；
因为，所以，
所以，故选项C正确；
故选项D错误.
故选：C.
【点睛】思路点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
三、解答题
17．设常数，函数.
(1)若为偶函数，求a的值；
(2)若，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，其中，根据为偶函数，求出，从而求出；
（2）代入求解得到，结合三角恒等变换求出.
【详解】（1），
其中，
因为为偶函数，所以，
故，所以；
（2），
故，解得，
故，
因为，所以.
18．某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，记.试验结果如下：
(1)求甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率的中位数和极差；
(2)设的样本平均数为z，样本方差为.判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】(1)中位数：546.5；极差：74
(2)有显著提高
【分析】（1）根据中位数和极差的定义计算即可；
（2）根据平均数与方差公式计算z与，计算比较大小即可.
【详解】（1）根据表格将这十次试验中甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率按大小顺序排列，可得中位数为，极差位；
（2）由表格可知
故，
，
所以，
显然有显著提高.
19．如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.
【详解】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以，
所以.
[方法二]：等体积转换
，，
是边长为2的等边三角形，
连接
20．已知椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
(3)设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由三角形的面积求得直线的方程.
（3）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得的坐标的关系式，进而证得线段PQ的中点为定点.
【详解】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时，所以直线的方程为.
当直线的斜率为时，，
此时，所以直线的方程为.
当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，
原点到直线的距离为，
由消去并化简得，
设，，
则.
所以
，
则，解得（舍去）.
综上所述，直线的方程为或.
（3）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，
则，
由，，.
依题意可知直线的斜率存在，
直线的方程为，令，
得
，
同理可求得，
所以
，
所以线段PQ的中点为定点.
【点睛】求解椭圆的标准方程，主要是要求得，这是两个未知参数，要求得两个未知参数，则需要两个已知条件来求解，本题中，点的坐标以及椭圆的离心率是两个已知条件，再结合即可求得椭圆的标准方程.
21．对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
(1)若，求函数的“笃志点”；
(2)已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
(3)定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由题意得到，求出或，得到答案；
（2）分，与三种情况，得到时不合要求，时有1个点符合要求时的取值范围，结合时，最多两个点满足要求，从而最终求出实数a的取值范围；
（3）根据或结合得到，进而比较比较与的大小关系，得到相应的结论.
【详解】（1）由题意得，
解得或，
函数的“笃志点”为0或；
（2）由题意得有三个不相等的实数根，
当时，，故，即，解得，不合题意，舍去；
当时，，故，
故，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，
故当时，在有1个“笃志点”，
当时，，故，故，
由于至多有两个根，
结合前面分析，a的取值范围为的子集，
令，其中，
，
当时，，且的对称轴为，
故在上有两个不相等的实数根，
综上，函数有且只有3个“笃志点”，则实数a的取值范围为；
（3）定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立，
故，
因为，所以，
即，
比较与的大小关系，
若存在，使得，即，
则有成立，故对于有序实数对，
函数“笃志点”个数为奇数个，
同理，对于定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，
使得恒成立，
故，
因为，所以，
即，可得到同样的结论；
综上，若存在，使得，则函数“笃志点”个数为奇数个，
否则，函数“笃志点”个数为偶数个.
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
6
8
-8
15
11
19
18
20
12