2024届上海市进才中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届上海市进才中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知集合，则
【答案】
【分析】根据交集的概念与运算即可得到结果.
【详解】∵集合，
∴.
故答案为：
2．在等差数列中，前7项的和，则 .
【答案】
【分析】根据等差数列前n项的和公式，结合等差数列下标的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以有，
故答案为：
3．已知，，则a＝ ；
【答案】
【分析】利用复数相等即可求出结果.
【详解】因为，
则由复数相等可得：，
即.
故答案为：.
4．若，则满足的x的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．
【详解】有意义，有，
由得到，即，所以，解得；
又故x的取值范围为.
故答案为：.
5．方程的两个实数根为，若，则实数 .
【答案】
【分析】根据韦达定理求解即可.
【详解】，，.
，解得.
故答案为：
6．某校组织“杭州亚运会”知识竞赛，元元从3道选择题和2道填空题中不放回地每次随机抽取1道作答．记事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到填空题”，则 ．
【答案】/0.75
【分析】利用条件概率的定义，结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】当第二次抽到填空题且第一次抽到选择题，共有种;
当第二次抽到填空题，第一次抽到是填空题时有种，故总数为8种，
则，
故答案为：．
7．设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的投影向量是 .
【答案】
【分析】利用投影向量的公式，即可求解.
【详解】向量、满足，，且，
则向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
8．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据所截弦长与半径求出圆心到渐近线距离，从而解出的值，最后得到离心率.
【详解】由题意可知双曲线的一渐近线方程为，圆的半径为，
圆心到渐近线的距离为，
即（负舍），，
双曲线的离心率为.
故答案为：.
9．要使关于x的不等式恰好只有一个解，则 .
【答案】
【分析】配方后得到，求出答案.
【详解】，即恰有一个解，
故，解得.
故答案为：
10．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可
【详解】当时，，；
当时，是减函数，，要满足，此时应满足 ，即
故答案为
【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题
11．已知函数，令，若函数的图象在各个象限均有分布，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据的正负情况，将问题转化为在和上各有一个实数根，利用二次函数根的分布即可求解.
【详解】的定义域为，
当时，恒成立，当时，恒成立，
要使的图象在各个象限均有分布，则需要在和上均有正有负，
所以在和上各有一个实数根，
则,即，解得，
故答案为：
12．定义域为集合上的函数满足：①；②（）；③、、成等比数列；这样的不同函数的个数为
【答案】
【分析】分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f（x）的个数即可．
【详解】解：经分析，f（x）的取值的最大值为x，最小值为2﹣x，并且成以2为公差的等差数列，故f（6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．
f（12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，
所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有两种情况：
①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．
|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．
（1）当f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．
从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为10种．
从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为15种．
根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．
（2）当f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．
从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为5种．
从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从﹣2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为1种．
根据分步乘法原理，共有5×1＝5种方法．
综上，满足条件的f（x）共有：150+5＝155种．
故填：155．
【点睛】解决本题的难点在于发现 f（x）的取值规律，并找到使f（1）、f（6）、f（12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．
二、单选题
13．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.
【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；
对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；
对于C，，
故函数不是奇函数，不符合题意；
对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意；
故选：D.
14．已知且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件得到，，无法判断，再依次判断选项即可.
【详解】因为且，所以，即.
又因为，即.
所以，，无法判断.
对选项A，当时，，故A错误；
对选项B，因为，，所以，故B错误；
对选项C，因为，，所以，故C正确；
对选项D，当时，，故D错误.
故选：C
15．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积的最大值为
D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
【答案】C
【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵中，，侧棱平面，
A选项，∴，又，且，则平面，
∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确；
B选项，由，即，又且，
∴平面，∴，则为直角三角形，
又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确；
C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，
，最大值为，故C错误；
D选项，因为，，，所以平面，故D正确；
故选：C
16．已知曲线.考虑命题①：曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；命题②：曲线上任意一点到原点的距离都不大于.下列判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为假命题B．①为假命题，②为真命题
C．①②均为假命题D．①②均为真命题
【答案】B
【分析】求出曲线所过整数点的坐标，可判断命题①；利用不等式的基本性质结合基本不等式可判断命题②.
【详解】对于曲线，，所以，，
可得，同理可得，
当时，；当时，；
当时，或；当时，或.
当时，，此时，；当时，，此时，.
因此，曲线恰好经过个整数点，、、、、、，
故命题①为假命题；
因为，所以，，
则有，可得，
所以，曲线上任意一点到原点的距离为，命题②为真命题.
故选：B.
三、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，其中，，底面，，为的中点，为的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面平行的判定及性质即可得证.
（2）利用等体积法、棱锥体积公式运算即可得解.
【详解】（1）证明：
如上图，取中点，连接、，
∵为的中点，为的中点，为的中点，
∴在矩形中，在中，
又∵平面，平面，平面，平面，
∴平面，平面，
又∵平面，平面，，
∴平面平面，
又∵平面，∴平面.
（2）解：
如上图，连接，由题意，，，，
∵底面，平面，平面，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
∵矩形中，，平面，平面，
∴平面，又∵平面，
∴，则是直角三角形，，
∴.
∵底面，∴是三棱锥的高.
∵底面是矩形，∴.
∵点到平面的距离就是三棱锥的高，
∴由得：，
即，解得：，
即点到平面的距离为.
18．1.已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围；
(2)设，，且，求证：对任意给定的满足条件的实数m、n，总有不等式成立．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）不等式的解集不是空集，即有解问题，只需；（2）利用柯西不等式和绝对值三角不等式证明
【详解】（1）若关于x的不等式的解集不是空集，
只需即可
其中，当且仅当时，等号成立
所以实数a的取值范围为
（2）由柯西不等式得：当且仅当，即，时等号成立
因为，，且
所以
即
而，当且仅当时，等号成立
故，证毕
19．某学校拟开展了一次趣味运动比赛，比赛由若干个传统项目和新增项目组成，每位运动员共需参加3个运动项目.对于每一个传统项目，若没有完成，得0分；若完成了，得30分.对于新增项目，若没有完成，得0分；若只完成了1个，得40分，若完成了2个，得90分.最后得分越多者，获得的奖金越多.现有两种参赛方案供运动员选择：
【方案一】只参加3个传统项目；
【方案二】参加1个传统项目和2个新增项目；
假设运动员能完成每个传统项目的概率均为，能完成每个新增项目的概率均为，且运动员参加的每个项目是否能完成相互独立.
(1)若运动员选择方案一，设最后得分为X，求X的分布与期望；
(2)若以最后得分的数学期望为依据，运动员应选择哪个参赛方案?说明你的理由.
【答案】(1)分布见解析，45
(2)方案一，理由见解析
【分析】（1）依题意，得到服从二项分布，从而利用二项分布的概率公式求得的分布列与期望，从而得解；
（2）利用独立事件的概率乘法公式求得方案二得分的数学期望，结合（1）中结论即可得解.
【详解】（1）由题意得，30，60，90，且.
所以，，
，，
故，
所以.
（2）设选择方案二的最终得分为Y，则，30，40，70，90，120.
由独立性可得，，
，，
，，
所以，
因为，
所以应选择方案一.
20．已知椭圆的两个焦点分别为、，直线与椭圆交于A、B两点.
(1)若直线l经过点，且，求点A的坐标；
(2)若直线l经过点，且，求直线l的方程；
(3)若，则的面积是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)或
(2)或
(3)是，
【分析】（1）由题意可得点A在线段的中垂线上，然后将代入椭圆方程可求出点A的坐标；
（2）由题意设直线，设，，方法一，由题意可得点A为线段的中点，则，，联立方程组可求出点的坐标，从而可求出直线方程；方法二：由题意得，将直线方程代入椭圆方程化简，结合根与系数的关系可求出的值，从而可求出直线方程；
（3）由题意可得，将直线方程代入椭圆方程化简，结合根与系数的关系和弦长公式，点到直线的距离公式可求出的面积.
【详解】（1）由知点A在线段的中垂线上.
所以由，解得或，
所以或
（2）由题，直线，设，.
方法一：由知点A为线段的中点，所以，，
由得或，
所以或，
所以或，解得或，
所以直线l的方程为或.
方法二：由得，即，即.
由，得，
所以，
由，得同号，所以，
所以，所以，解得
所以，直线l的方程为或.
（3）设，，
由得，
即（**）
由，得，
所以，
代入（**）得，
所以，
化简得.（***）
因为
，
点O到直线l的距离，
所以
所以的面积为.
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的面积问题，解题的关键是将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解，考查计算能力，属于较难题.
21．已知，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)令，若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
(3)记（e是自然对数的底数），若对任意，且，均有成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）分别讨论，，结合函数的奇偶性的定义，可得结论；
（2）求得的导数，由极值点2可得，解得a,求得的解析式和导数、极值，由题意可得m介于极小值和极大值之间；
（3）由的单调性可得对任意且时恒成立，可得在递减；在递增．再由导数判断单调性和最值，可得所求取值范围．
【详解】（1），函数定义域为.
由得，当时，.
所以，当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数.
（2）由题，.
令得.
此时，.
解得或，解得，
所以，函数在和上为严格增函数，在上为严格减函数，
即在在处取极小值，在处取极大值.
又时，；时，.
所以，方程有3个不同的实根等价于，即.
实数m的取值范围为.
（3）函数在上严格减函数，则对任意，且有.
所以对任意，且，均有成立，
即，
等价于对任意，且恒成立，
即为上的严格减函数，且为上的严格增函数.
因为，，
所以，，即对任意恒成立.
设，，
时，，单调递增；时，，单调递减，
，
设，为上的严格增函数，.
即，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.