2024届辽宁省实验中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届辽宁省实验中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数，则在复平面内，复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】化简复数，结合复平面的坐标表示即可得出答案.
【详解】，
则在复平面内，对应点坐标为.
故选：D
2．设命题，则命题为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题为特称量词命题，
则为.
故选：B
3．“”是“”成立的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，则，所以，故充分性成立；
由，不一定得到，如，，满足，
此时，，故必要性不成立，
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
4．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ）
A．20天B．30天C．45天D．60天
【答案】D
【分析】根据题中条件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出结果.
【详解】由得，
因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，
即，解得，
则，
当该放射性同位素含量为贝克时，即，
所以，即，所以，解得.
故选：D.
5．二次函数与指数函数的图象只可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数知同号，再结合二次函数的对称轴、二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得答案.
【详解】根据指数函数知同号且不相等，可知二次函数的对称轴，可排除，
对于选项，时，所以，又，所以，与指数函数单调递减矛盾，故不正确.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，属于中档题.
\
6．为了得到 的图象只需把函数 的图象（ ）
A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移
【答案】C
【分析】由三角函数的平移变换求解即可.
【详解】因为，
，
由于，
故把函数 的图象，向右平移个单位长度，
可得的图象.
故选：C.
7．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．且，则与一定共线
B．且则
C．且，则
D．且，，则
【答案】C
【分析】考虑，中有无零向量，判断得到A正确，计算，B正确，举反例，得到C错误，考虑，中有无零向量，判断得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：当，中至少有一个零向量时，与共线；
当，均不是零向量时，若，则，此时，，
故与共线；
若，则，，则与共线，正确；
对选项B：，，故，正确；
对选项C：当，时，取满足条件，此时，错误；
对选项D：当，中至少有一个零向量时，与共线；
当，均不是零向量时，，则，，则，故，，故，正确；
故选：C.
8．已知函数，的定义域均为R，且，，若的图像关于对称，，则（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】根据的图象关于对称得到，，然后结合，得到的周期为4，再通过赋值得到，，，，最后根据周期求值即可.
【详解】因为的图象关于对称，所以，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以的周期为4，
当时，，所以，，
当时，，所以，
当时，，，所以，
，
所以.
故选：B.
二、多选题
9．已知函数的图像如图所示，则 （ ）
A．B．的最小正周期为
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据图象可得及函数的周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可得解.
【详解】由图可知，
，故B正确，
所以，
所以，
又，则，
所以，所以，
又，所以，故D正确，C错误；
所以，
所以，故A正确.
故选：ABD.
10．已知钝角三角形，为两锐角，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意可得，，再根据三角函数的单调性及两角和的正弦公式和两角和的正切公式逐一判断即可.
【详解】对于A，由题意，，则，
所以，故A正确；
对于B，，
因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，，
所以，
所以，
又因，
所以，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11．已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】构造函数，，求导得到其单调性，进而判断出，进而得到，得到正确答案.
【详解】A选项，因为，所以，
令，，
则，
因为，所以恒成立，
故在上单调递减，
故，
则，故A错误；
B选项，由A选项可知，
，故B正确；
CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误.
故选：BC
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中要比较出的大小关系，观察出三个式子的特征，构造出，，从而求出答案.
.
12．函数，则下列说法错误的有（ ）
A．函数有唯一零点
B．函数的极大值小于1
C．
D．
【答案】BD
【分析】计算零点得到A正确，求导得到函数得到单调区间，计算极大值为，举反例，，计算得到B错误，根据函数的单调性得到函数图像，根据图像得到C正确，D错误，得到答案.
【详解】，函数定义域为，，
对选项A：，则，正确；
对选项B：取得到，
设，恒成立，函数在单调递减，
，当趋近时，趋近，
故方程有唯一解，，满足，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数有极大值为，
取，则，，错误；
对选项C：，单调递减，单调递增，且.
故函数单调递减，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，正确；
对选项D：根据C选项知D错误.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，极值问题，函数值的不等关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据函数的单调性结合导函数的单调性画出函数图像，根据图像得到答案是解题的关键，数形结合的思想是重要的数学思想，需要熟练掌握.
三、填空题
13． ．
【答案】/
【分析】根据结合二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】
.
故答案为：.
14．因为，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到不等式，解得即可，还需将与方向的情况排除.
【详解】因为，且与的夹角为钝角，
所以，解得，
又当，即时，此时与的夹角为，
所以，
综上可得且，即的取值范围是.
故答案为：
15．为边长为的正八边形内部及边界上的一点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先求出在方向上的投影的最大值，再由数量积的定义求出的最大值即可.
【详解】如图，作的延长线于M，的延长线于N，
根据正八边形的特征，可知，
于是在方向上的投影的最大值为，
结合向量数量积的定义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，
又，∴的最大值为.
故答案为：.
16．已知，则的最小值为 ．
【答案】.
【分析】设，得到，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】设，则，
因为，可得，
可得，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，且．
(1)求角的大小．
(2)，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合平方关系可求得和，然后利用正弦的二倍角公式即可求出角的大小.
（2）利用三角恒等变换，辅助角公式得到，即可得出结果.
【详解】（1）因为，
且，，
解得，.
又，
所以或，或（舍）.
所以.
（2）
，
因为，所以.
18．如图所示，在中，角，，的对边分别是，，，边， ，点在线段上，满足．
(1)求角的值；
(2)若， 求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式和二倍角公式化简得到，然后根据求即可；
（2）根据，得到为等边三角形，设，，然后在中利用余弦定理得到，最后根据数量积的运算律求数量积即可.
【详解】（1）由得，即，即，
因为，所以，，所以，
因为，所以，即.
（2）
设，，
因为，，所以为等边三角形，,
在中由余弦定理得，，
整理得，解得，所以，，
.
19．某种项目的射击比赛规则是开始时在距离目标60米处射击，如果命中记４分，同时停止射击；若第一次射击未命中目标，可以进行第二次射击，但目标已在90米远处，这时命中记3分，同时停止射击；若第二次射击仍未命中目标，还可以进行第三次射击，此时目标已在120米远处，这时命中记2分，同时停止射击；若三次都未命中，则记１分．已知甲射手在60米处击中目标的概率为，他命中目标的概率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
(1)求射手甲分别在90米和120米处命中的概率；
(2)求射手甲进行射击比赛中命中目标的概率；
(3)设为射手甲进行射击比赛的得分，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，，由甲射手在60米处击中目标的概率为求得，进而可求解；
（2）设表示第次击中，记：“射手甲在这次射击比赛中命中目标”，则利用概率的加法公式和乘法公式即可求解；
（3）求得的分布列，再根据均值公式即可求解.
【详解】（1）令射手甲在60米、90米和120米处命中概率分别为，
由题意可得，，且，
则，，
，，
射手甲在90米和120米处命中概率分别为；
（2）设表示第次击中，
记：“射手甲在这次射击比赛中命中目标”，则
；
（3）的取值有，
则，
，
.
20．王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)．
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还12000元，最后一个还贷月应还5000元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为 17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据
【答案】(1)元
(2)能，理由见解析
【分析】（1）每月还款金额构成等差数列，设为，求和得到总金额，减去本金得到利息.
（2）设王先生每月还款为元，根据等比数列性质得到方程，解得答案.
【详解】（1）每月还款金额构成等差数列，设为，表示数列的前项和，
则，，故，
故总利息为：(元).
（2）设王先生每月还款为元，
则，
即，解得，，
故贷款能够获批.
21．设点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．
(1)求证：；
(2)若函数在上单调递减，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导得到导函数，根据，和，化简得到答案.
（2）求导得到导函数，确定，考虑和，根据不等关系计算得到答案.
【详解】（1），；，，
故，，且，
整理得到，，，
则.
（2），
则，
函数在恒成立，即，
当时，，故，解得；
当时，，故，解得；
综上所述：.
22．设函数，其中．
(1)若函数有两个极值点，求的取值范围；
(2)若，成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，令，由题意可知，函数在上有两个不等的实根，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）分析可知，，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证在上能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：对于函数，，解得，
所以，函数的定义域为，且，
设，
因为函数有两个极值点，则函数在上有两个不等的实根，必有.
当时，则有，解得；
当时，由于，函数在上单调递增，此时，，
所以，函数在无零点，函数在有且只有一个零点，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：，成立，注意到，
所以，，.
因为，，
当时，在上恒成立，
所以，函数在上为增函数，
即当时，，合乎题意；
当时，，此时函数在上为增函数，
①若，即当时，，，即且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，即当时，，合乎题意；
②若，即当时，则存在，使得，
当时，，即，此时函数单调递减，
则，不合乎题意；
当时，令，其中，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，函数在上单调递增，所以，，
所以，，
所以，，
则，
故当时，，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，要注意到，由此转化为函数在上的单调性来处理，进而求解.