2024届上海市奉贤中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届上海市奉贤中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若，则 .
【答案】
【分析】根据集合元素的互异性得且，再结合题意得，解方程即可得答案.
【详解】解：根据集合元素的互异性可知，即且，
因为，所以，解得（负舍）
所以
故答案为：
2．已知集合，集合，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可.
【详解】由题意可知，
所以.
故答案为：
3．函数的最小正周期为 .
【答案】
【详解】试题分析：，所以函数的周期等于
【解析】1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.
4．若，那么 ．
【答案】1
【分析】弦化切即可.
【详解】
故答案为：1
5．若等式恒成立，则的值为 ．
【答案】
【分析】令即可得.
【详解】,当，
则
故答案为：
6．若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
【答案】1
【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.
【详解】因为，
故.
故答案为：1
7．已知向量，则函数的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】根据数量积的坐标公式，结合三角恒等变换公式化简可得，再求解单调递减区间，结合求解即可
【详解】由题意，，故 的单调递增区间：，即，故在的单调递增区间为
故答案为：
8．方程的解集为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质及三角函数求值即可.
【详解】因为定义域上单调递增，
所以，
即，位于第二象限，
易知.
故答案为：.
9．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据绝对值不等式求出的最小值，再根据能成立问题建立一元二次不等式求解.
【详解】因为，
所以，
因为存在，使得，
所以即解得或.
故答案为：.
10．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 .
【答案】13
【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解.
【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得，
由根与系数的关系可得，
整理得，
设、、在复平面上对应的点分别为、、，
则，
可知A，B关于x轴对称，
若复平面上、、对应点构成直角三角形，则，
即，解得，
所以.
故答案为：13.
11．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则 .
【答案】10
【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.
【详解】如图可知：函数和直线共有5个交点，依次为，其中，
∵函数和直线均关于点对称，则关于点对称，
∴，且，
故.
故答案为：10.
12．已知函数，，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的性质计算即可.
【详解】由题意可得，
同理，
则，，
原不等式可化为，
设，
由题意可得时且对任意的，有恒成立，
由余弦函数的单调性知，
故答案为：
二、单选题
13．已知θ为第二象限角，若，则在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】由，得到，再对k赋值，根据判断.
【详解】解：因为θ为第二象限角，
所以，
则，
当时，，当时，，
因为，
所以，所以在第三象限，
故选:C
14．已知函数的定义域为R，则“是奇函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先由函数为奇函数，得到对于任意的，均有，充分性成立，
再由当时，但不能保证对于其他值，均有，得到必要性不成立，从而选出正确答案.
【详解】若是定义在R上的奇函数，则对于任意的，均有，
因为，所以，
故，充分性成立，
当时，但不能保证对于其他值，均有，
所以必要性不成立，
综上：则“是奇函数”是“”的充分不必要条件.
故选：A
15．设函数 ，其中常数满足．若函数（其中 是函数的导数）是偶函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件求出的解析式，然后再根据为偶函数得到的值．
【详解】∵，
∴，
∴．
∵函数为偶函数，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选A．
【点睛】关于三角函数奇偶性的结论与方法
(1)函数y＝Asinωx是奇函数，y＝Acsωx是偶函数．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数φ＝kπ(k∈Z)；函数函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数φ＝kπ＋ (k∈Z)．
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)是奇函数φ＝kπ＋ (k∈Z)；函数y＝Acs(ωx＋φ)为偶函数φ＝kπ(k∈Z)．
16．已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围.
【详解】令作出的图象如图所示：等价于，表示点与点所在直线的斜率，
可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0，
而点在直线上运动，
由,
可知当时，
只有点满足，当时，
只有点满足，
当时，至少有，满足，
不满足唯一整数点，故舍去，
当时，至少有，满足，
不满足唯一整数点，故舍去，因为为整数，故可取.
故选：B

三、解答题
17．已知O为坐标原点，
(1)若A、B、C三点共线，求x的值；
(2)若与夹角为钝角，求x的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据题意结合运算求解；（2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解.
【详解】（1），
三点共线，与共线，
则，解得.
（2）由（1）知，
与夹角为钝角，可得，解得，
若与平行，则，解得，
若与不平行，则，
的取值范围是.
18．已知复数，，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可；
（2）利用复数的几何意义和投影向量的坐标表示计算即可.
【详解】（1）由已知可得，
因为为纯虚数，所以；
（2）由（1）可得，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
19．已知中，，点D满足.
(1)求与面积之比；
(2)若，，求边BC长.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由可知，即可求得与面积之比.
（2）由与面积之比可求得，再通过余弦定理即可求得.
【详解】（1）因为，
所以，即，
即，即，
所以.
（2）由，且，
可得，即或（舍），
所以，因为，所以，
在中由余弦定理得：，而，
解得：.
所以.
20．如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB，点A，B分别在和上，修建的木栈道AB与道路，围成三角地块OAB．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．

(1)当为正三角形时求修建的木栈道AB与道路，围成的三角地块OAB面积；
(2)若的面积，求木栈道AB长；
(3)如图2，设，
①将木栈道AB的长度表示为的函数，并指定定义域；
②求木栈道AB的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)①，②
【分析】（1）运用等面积法可求得等边三角形的边长，进而求得等边三角形的面积.
（2）方法1：运用内切圆性质及三角形面积公式可求得结果.
方法2：运用两个三角形面积公式可得，的值，再结合余弦定理可得，联立可求得AB的长.
（3）①运用内切圆性质可得，进而运用直角三角形中的正切公式可表示出AB.
②方法1：运用分离常数法、“1”的代换及基本不等式可求得结果.
方法2：运用切化弦、和角公式、积化和差公式化简AB表达式，再结合三角函数在区间上求最值即可.
方法3：运用切化弦、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式化简，再结合三角函数在区间上求最值即可.
【详解】（1）如图所示，

设三角地块面积为S，等边△OAB边长为，
所以由等面积法得：， 解得，
所以.
故修建的木栈道与道路，围成的三角地块面积为平方千米.
（2）方法1：设圆C分别与、、相切于点N、E、M，如图所示，

则，，，
所以在中，，
所以，
设，，
所以，
解得：，即：.
故木栈道AB长为.
方法2：设三角地块面积为S，，，，，
由等面积法可得：，
即：，
所以①，②，
在△中，由余弦定理得，
即：③，
由①②③解得：.
故木栈道AB长为.
（3）如图所示，

①由题意知，，
由内切圆的性质可知，，
设直线和圆相切点，，则，
因为，解得：，
又因为，，
所以，，
所以.
即：.
②方法1：
，
当且仅当时等号成立，
故木栈道的长度最小值为.
方法2：
因为，
所以，
所以，
所以，
故木栈道的长度最小值为.
方法3：
，
因为，
所以，
所以，
所以，
故木栈道的长度最小值为.
【点睛】方法点睛：
解三角形的应用问题的要点
（1）从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．
解三角形中最值（范围）问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）．
21．定义可导通数在处的弹性函数为，其中为的导函数，在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．
(1)若，求的弹性函数；
(2)对于函数（其中为自然对数的底数）
（i）当时，求的弹性区间D；
（ii）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)（ⅰ），（ⅱ）.
【分析】（1）由，可得，根据题设条件，即可求得的弹性函数；
（2）（ⅰ）函数，可得函数的定义域为，函数是弹性函数，得出不等式组，进而求得函数的弹性区间；
（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围.
【详解】（1）由，可得，
则;
（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，
因为，
函数是弹性函数，
此不等式等价于下面两个不等式组：
（Ⅰ） 或（Ⅱ），
因为①对应的函数就是，
由，所以在定义域上单调递增，
又由，所以①的解为；
由可得，
且在上恒为正，
则在上单调递增，所以，故②在上恒成立，
于是不等式组（Ⅰ）的解为，
同①的解法，求得③的解为；
因为时，④，所以不成立，
所以不等式（Ⅱ）无实数解，
综上，函数的弹性区间.
（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，
设，则，
而，
由（ⅰ）可知，在上恒为正，
所以，函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了函数的弹性函数，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题综合性强，属于难题．