2024届山西省晋城市第一中学校高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届山西省晋城市第一中学校高三上学期10月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】因为，，所以．
故选：D
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接写出存在量词命题的否定即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数、对数及幂函数的性质判断各数与“0，1”的大小关系即可.
【详解】，，
而，所以，
综上：
故选: C.
4．的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，，，即排除B，D，结合特殊值即可得出答案.
【详解】由题知，根据，，，
则，排除B，D，
当时，没有意义，排除A.
故选：C
5．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（ ）
A．2000元B．1500元C．990元D．1590元
【答案】D
【分析】根据税款分段累计计算的方法，分段求得职工超出元的部分的纳税所得额，即可求解.
【详解】由题意，职工八月份收入为元，其中纳税部分为元，
其中不超过3000元的部分，纳税额为元，
超过3000元至12000元的部分，纳税额为元，
超过12000元至25000元的部分，纳税额为元，
所以该职工八月份应缴纳个税为元.
故选：D.
6．已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期.
【详解】
，
因此，函数的最小正周期为，
故选：B.
7．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值是
A．B．C．或D．无法确定
【答案】C
【分析】根据为偶函数及可得，再由对称中心可得，结合函数的单调性可得的值.
【详解】由是偶函数，得，即，
所以对任意都成立，且，所以得．
依题设，所以解得，故.
因为的图象关于点对称，，.
所以.
又在区间上是单调函数，所以，故.
故或.
故选：C．
【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心（也就是整体法），对于含参数的此类函数的单调性问题，我们可借助图象特征把参数的范围归结为周期的范围问题，必要时需结合函数单调区间的一般形式来讨论（基本方法）.
8．已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（ ）．
A．M的最小值为B．当M最小时，点Q的横坐标为
C．M的最小值为D．当M最小时，点Q的横坐标为
【答案】B
【分析】先判定与直线平行且与的图象相切的直线的位置，切点到直线的距离即为M的最小值，再利用导数的几何意义求出切点坐标和M的最小值，再联立直线方程求出Q的横坐标.
【详解】将化为，
即直线l的斜率为，
因为，所以，
令，得，
∴当M最小时，点P的坐标为，
此时点P到直线的距离为，
所以M的最小值为；
过点P且垂直于的直线方程为，
联立，得，
即点Q的横坐标为.
故选:B．
二、多选题
9．如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用向量的加减法则进行判断.
【详解】根据向量减法可得，故A正确；
因为是的中点，所以，故B正确；
由题意知是的重心，
则，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
10．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
，
所以
，A选项正确.
B选项，
，B选项错误.
C选项，，C选项正确.
D选项，
，D选项错误.
故选：AC
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数
【答案】AD
【分析】根据图象求出，得A正确；由以及正弦函数的性质可得B不正确；C错误；根据图象变换规律得D正确.
【详解】由图可知，，所以，，
由五点作图法可得，得，
所以，故A正确；
由以上知，，，
所以函数的图象不关于直线对称，故B不正确；
由，得，因为在上不单调，
所以函数在上不单调，故C错误；
，
将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数，故D正确.
故选：AD
12．已知函数的两个极值点分别是，，则下列结论正确的是（ ）
A．或
B．
C．
D．不存在实数a，使得
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由有两个零点求出a范围判断A；根据选项BCD的特征结合韦达定理表示成a的函数，再利用导数推理作答即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，求导得，依题意，，
即在上有两个不等的实根，因此，
解得，故A错误；
对于B，因为，由韦达定理得，则，故B正确；
对于C，，令，
，令，，
即函数在上单调递减，
，则函数在上单调递减，
于是，所以，故C正确；
对于D，，
令，，即函数在上单调递减，
，因此恒成立，故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
三、填空题
13．设为两个不共线的向量，，若A.B.D三点共线，则k的值为 .
【答案】3
【分析】根据A，B，D三点共线，可得，再根据平面向量共线定理和平面向量基本定理列出方程组，解之即可得解.
【详解】∵，
因为A，B，D三点共线，所以，
故存在唯一实数，使得，
即，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】根据题目条件得到和，从而求出，结合和，得到，从而得到.
【详解】，故，
又，
故，解得，
故，
则，
因为，所以，
因为，所以，，
因为，所以异号，
从而，
故，故.
故答案为：
15．设函数，，若对，都，使得，则实数的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据恒能成立的思想可知的值域是值域的子集，令，结合二次函数性质可求得的值域为，由对数型复合函数值域的求法可知若的值域为，则；分别在、和的情况下，根据二次函数的性质构造不等式求得的范围，进而确定最大值.
【详解】对，都，使得，的值域是值域的子集；
令，则，令，
当，即时，，的值域为；
设的值域为，则；
设的值域为，若，则；
当时，的值域，满足；
当时，的对称轴为，，
解得：，；
当时，的最大值为，，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.
故答案为：.
16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意可得，再构造，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解．
【详解】因为，
所以可化为，
设，则，
在上单调递增，
因为，，所以，，，
所以可化为，所以，
在上恒成立，
，，
设，，则，
令，得；，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题的关键是将式子同构成，再构造函数.
四、解答题
17．已知数列各项均为正数，且．
(1)求的通项公式；
(2)记数列前项的和为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用等差数列的定义求解;(2)利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为各项均为正数，，
所以，
所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，
（2），
因为，故
所以,又，所以
所以
18．已知内角的对边分别为，设.
(1)求；
(2)若的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.
【详解】（1）原式化简可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
因此三角形的内角；
（2），
，
，
.
五、证明题
19．已知四棱锥中，，，，，，
(1)求证：
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面垂直，从而得到线线垂直；（2）利用几何法找到线面所成角进而求解或者利用空间向量求解.
【详解】（1）在梯形ABCD中，，，，，
可算得，,
所以,所以，
在中，，，满足，所以，
又平面PBD，平面PBD，且，
所以平面PBD，又因为平面PBD，
所以；
（2）由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，
则平面平面ABCD，取BD中点O，连OP，OC，
因为，所以，而平面ABCD，且平面平面，
平面PBD，
所以就是PC与平面PBD所成的角，
在中，易得，
在中，，，计算可得，
所以，
所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
解法由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，
则平面平面ABCD，
通过计算可得，
建立以，为x轴，y轴的正方向，
以过D与平面ABCD垂直的向量为在z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，
显然z轴再平面PBD中且垂直于BD，
则，，，，
所以，，，
设平面PBD的法向量为，
则，即
取，
设直线PC与平面PBD所成角为，则
，所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
六、解答题
20．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)求样本中数据落在的频率；
(2)求样本数据的第50百分位数；
(3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.
【答案】(1)0.4
(2)52.5
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图可得：组距为10，所以：
，
得：，故样本中数据落在的频率为：.
（2）设第50百分位数为，易得位于50和60之间，
则有：
解得：.
（3）分组人数为：人；
分组人数为：人，
利用分层抽样的方法易得：
分组抽人，
分组抽人，
从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即：
2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组，
故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：.
21．已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4．
(1)求抛物线C的方程．
(2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点．
【答案】(1)；
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；
（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可.
【详解】（1）该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4，
所以有，所以抛物线C的方程为：；
（2）该抛物线的准线方程为，
设直线l的方程为：，
与抛物线方程联立，得，
不妨设，因此，
直线的斜率为：，所以方程为：，
当时，，即，同理，
因为，所以有，而，
所以有，所以直线l的方程为：，因此直线l恒过.
【点睛】关键点睛：把直线l的方程为：，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
22．设函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，，求满足条件的最小正整数的值.
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.
（2）先求得，然后对进行分类讨论，由的极小值为负数以及零点存在性定理确定最小正整数的值.
【详解】（1）的定义域是，
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增.
（2），
，
依题意，，所以在区间上单调递减；
在区间上，单调递增.
所以在时取得极小值也即是最小值.
要使函数有两个零点，，
则首先要满足，
时，，不符合.
时，，不符合.
时，，
，所以，
此时在上单调递减，在上单调递增，
，，
，满足函数有两个零点，
所以最小正整数的值为.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
全月应纳税所得额
税率
不超过3000元的部分
超过3000元至12000元的部分
超过12000元至25000元的部分