广东省清远市五校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份广东省清远市五校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了本卷命题范围， 已知，下列不等式错误的是， 函数的图象为， 已知命题， 集合，集合，若，则的值可以是， 若，，且，则可能取值为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版必修一第一章至第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合的真子集的个数为（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据真子集的定义，写出所有的真子集即可.
【详解】解：集合的真子集为：，所以的真子集个数为7个.
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分必要条件的概念进行判断.
【详解】解：因为，
所以，即，
又因为也能推出
故“”是“”的是充要条件，更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 故选：C.
3. 函数定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，解得且，
所以的定义域为.
故选：B
4. 已知，下列不等式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】因为，所以，，，
故选：C
5. 函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性可排除AB，取特殊值可排除C.
【详解】易知，
所以为偶函数，排除A、B项；
取，，排除C项；
故选：D
6. 下列各组中的两个函数为同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】按函数相等的定义逐项判断即可.
【详解】A项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数；
B项：，即对应关系不同；
C项：定义域都是实数集，对应关系都相同，是同一函数；
D项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数.
故选: C.
7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数、反比例函数的性质以及分段函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可．
【详解】若函数是R上的减函数，
则，
解得,
即实数a的取值范围是.
故选：B．
8. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，为真命题，构造函数，分类讨论，当时，利用二次函数恒成立列式求解即可.
【详解】根据题意，若命题“，”为假命题，
则其否定：，为真命题，
设，即在上恒成立，
当时，，符合题意，
当时，若，必有，解得，
故有，即的取值范围为
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 集合，集合，若，则的值可以是（ ）
A. 0B. 1C. D. 3
【答案】AD
【解析】
【分析】利用集合的包含关系，判断可能的取值，列出方程求解即可．
【详解】由可知，或，由，解得或.
故选：AD
10. 若，，且，则可能取值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】将展开利用基本不等式求得最小值，再结合选项即可得正确选项.
【详解】,
当且仅当即时等号成立，所以，
由选项可知的可能取值为，不可能为，
故选：CD.
11. 德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数的性质正确的有：（ ）
A. B. 的值域为
C. 定义域为D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据狄利克雷函数逐一判断即可.
【详解】因为是无理数，所以，故A错误；
的值域为，故B错误；
定义域为，故C正确；
当为有理数时，也为有理数，所以此时，
当为无理数时，也为无理数，所以此时，
所以对都有，故D正确，
故选：CD
12. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 是上的奇函数
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合对“向上取整函数”定义的理解，可得AD；B项整体换元求解方程；C项取特值即可.
【详解】由表示不小于的最小整数，
则有且，即，
A项，，
则，
即， 则，故A正确；
B项，令，则，解得，又为整数，
则，或，
当时，即，则；
当时，即，则，
故，则，故B正确；
C项，，则，，
则不是上的奇函数，故C错误；
D项， ，
若，则，
即，则，
又，由不等式的性质，，
则，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题“，”的否定是______.
【答案】，
【解析】
【分析】根据求全称量词命题否定的方法得出结果.
【详解】解：因为命题：，，
所以该命题的否定是：，.
故答案为：，.
14. 已知函数，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据函数解析式，先求出，再求出即可.
【详解】由题意可知：
，
所以
故答案为：.
15. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.
【详解】因函数是幂函数，则，解得或，
当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，
当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，
不等式化为：，即，解得：，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
16. 已知函数的两个零点为，且，则下列说法正确的序号为______.
①；
②不等式的解集为；
③；
④不等式的解集为.
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据题意得到和是的两根，得到，再由，得到，结合二次函数的性质和不等式的解法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得，和是方程的两根，
可得，解得，
对于①中，因为，结合二次函数的性质，可得，所以①错误；
对于②中，由不等式，即为，解得，所以②正确；
对于③中，由，所以③正确；
对于④中，由不等式，可得化为，解得，所以④正确.
故答案为：②③④.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 集合，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，根据并集运算规则求解出结果；
（2）先求出，根据交集运算规则求解出结果.
【小问1详解】
解：因为
所以，
∴；
【小问2详解】
因为，
所以.
18. 已知函数，．
（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增；证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由单调性的定义直接证明即可；
（2）结合单调性构造关于m的不等式求解．
【小问1详解】
证明：，，
任取，可知，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）知：在上单调递增，
所以，可得，解得
故实数m的范围是．
19. 已知集合，集合.
（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，转化为，且，列出不等式组，即可求解；
（2）根据，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：因为“”是“”的充分条件，所以，且，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
解：因为，且集合，
当时，可得，解得，此时符合题意；
当时，则满足或，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
20. (1)已知，求的解析式；
(2)已知是一次函数，且满足，求的解析式.
【答案】(1); (2).
【解析】
【分析】(1)令即可求解；
(2)设，利用待定系数法求解即可.
【详解】解：(1)令，则，
所以，
即函数.
(2)设，则由，
得，即，
所以，解得.
所以.
21. 某公司生产“中国共产党成立100周年”纪念手册，向人们展示党的百年光辉历程，经调研，每生产万册，需要生产成本万元，若生产量低于20万册，；若生产量不低于20万册，. 上市后每册纪念册售价50元，根据市场调查发现生产的纪念册能全部售出.
（1）设总利润为万元，求函数的解析式（利润=销售额成本）；
（2）生产多少册纪念册时，总利润最大？并求出最大值.
【答案】（1）
（2）当生产25万册时，总利润最大，为300万元
【解析】
【分析】（1）按生产量不低于20万册和低于20万册两种情况分别去求函数的解析式；
（2）分段求得函数的最大值，二者中较大者为最大总利润.
【小问1详解】
当时，
当时，
所以
小问2详解】
当时，
当时，取得最大值为225
当时，，
（当且仅当，即时取得等号.）
所以，即当时，取得最大值为300.
因为，所以当生产25万册时，总利润最大，为300万元.
22. 已知为偶函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）当时，的最小值为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合时，得到，代入即可求解；
（2）由（1）得到的图象开口向上，对称轴为，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，求得的解析式，进而求得的最小值.
【小问1详解】
解：因为为偶函数，且当时，，
所以，当时，，可得，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：由（1）可得，当时，，
所以的图象开口向上，对称轴为，
所以当时，可得，则在上单调递减，
所以；
当时，可得，则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，函数在上单调递增，所以.
综上所述，函数的解析式为，
当时，可得单调递减，所以；
当时，可得；
当时，可得单调递增，所以，
所以函数的最小值为.