河南省郑州市中牟县2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份河南省郑州市中牟县2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共14页。

1．本试卷共4页22题，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，请将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，请用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答填空题和解答题时，请用黑色笔将答案写在答题卡的指定区域内．超出答题区域书写的答案无效，在本试卷上、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案涂在答题卡的相应位置．
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义求解.
【详解】命题“”的否定是,
故选:D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
由题中条件，根据并集的概念，可直接得出结果.更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 【详解】因为集合，，
所以.
故选：D.
3. 对于实数，“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B
考点：不等式的性质
点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．
4. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接解不等式得到答案.
【详解】，即，故解集为.
故选：D
5. 小强在研究幂函数的图像和性质时得到如下结论，则其中正确的是（ ）
A. 幂函数的图像必过定点和
B. 幂函数的图像不可能过第四象限
C. 幂函数为偶函数
D. 幂函数在其定义域上为减函数
【答案】B
【解析】
【分析】不过，A错误，根据定义域排除C，举反例得到D错误，B正确，得到答案.
【详解】对选项A：不过，错误；
对选项B：时，，幂函数的图像不可能过第四象限，正确；
对选项C：幂函数的定义域为，是非奇非偶函数，错误；
对选项D：时，；时，，不是定义域上减函数，错误；
故选：B.
6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间为减函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数为偶函数得到，由函数单调性比较出大小.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，
因为在区间为减函数，，
所以，故.
故选：A
7. 如图，为直角梯形，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直线l运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数，判断图象即可．
【详解】所在直线方程为，
当时，梯形位于直线左侧的图形是直角三角形，
底边长为，高为，则；
当时，梯形位于直线左侧的图形是直角梯形，
上底长为，下底长为，高为2，则；
所以，由一次函数和二次函数的性质和图象可知，
函数的图象大致为选项C.
故选：C.
8. 已知定义在区间上的黎曼函数为：，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合奇函数性质分析求解.
【详解】因为，即，
且函数是定义在上的奇函数，则，即，
由题意可得：，，
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请将答案涂在答题卡的相应位置．
9. 已知全集为，集合，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】举反例得到D错误，根据集合的运算得到ABC正确，得到答案.
【详解】对选项A：，则，正确；
对选项B：，则，正确；
对选项C： ，则，正确；
对选项D：取，，，则，错误；
故选：BCD.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】利用不等式的性质以及幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对A，若，则，A错误；
对B，取，则，B错误；
对C，根据幂函数在单调递增可知，若，则，C正确；
对D，若，则有，所以，D正确；
故选:CD.
11. 若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】变换，计算二次函数值域得到答案.
【详解】，则，
函数在上单调递增，
当，，BC满足.
故选：BC.
12. 已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为减函数D. 为奇函数
【答案】AD
【解析】
【分析】利用取特殊值方法求解选项A,B,利用抽象函数关系式结合函数的单调性和奇偶性求解选项C,D.
【详解】对A，令可得，，解得，A正确；
对B，令可得，，
再令可得，，解得，B错误；
对C，因为，，所以,C错误；
对D，令，则，
所以，即，
所以函数为奇函数，D正确；
故选:AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置，答在其它地方无效．
13. 设，集合，若，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据集合相等的定义可得，，进而求解即可.
【详解】由题意，因为，且，
所以，，
所以.
故答案为：0.
14. 已知函数的对应关系如表所示，函数的图象如图所示，则______．

【答案】1
【解析】
【分析】利用函数的表示方法求函数值.
【详解】因为，所以，
故答案为:1.
15. 已知，若的最小值大于9，则满足条件的一个的值为______．
【答案】6（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为，则，所以，
故答案为: 6（答案不唯一）.
16. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算出，根据，得到方程组，求出，得到答案.
【详解】
由于为奇函数，
故，
即，
故，
即，解得，
故函数的图像的对称中心为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡指定区域内作答，答在其它地方无效．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）．
【解析】
【分析】（1）由得到再利用集合的补集和交集运算求解；
（2）根据 “”是“”的充分不必要条件，由求解.
【小问1详解】
解：当时，
或，
又集合
或．
【小问2详解】
“”是“”的充分不必要条件，
，
实数的取值范围为．
18. 已知．
（1）若，试比较与的大小；
（2）若，且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）16.
【解析】
【分析】（1）利用作差法比较；
（2）由，得到，再利用基本不等式求解.
【小问1详解】
解：，
，
，
故．
【小问2详解】
，
，
，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值16．
19. 已知函数，其中．
（1）若在具有单调性，求的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据对称轴方程，得到不等式，求出的取值范围；
（2）因式分解得到，分，与求出解集.
【小问1详解】
函数的对称轴为，
当在单调递增时，只需，
，
当在单调递减时，只需，
，
故的取值范围为或．
【小问2详解】
不等式可化为，
当时，解得或；
当时，不等式的解集为；
当时，解得或；
综上所述，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或．
20. 已知函数是定义在的奇函数，且．
（1）判断函数在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求出函数的解析式，再根据单调性的定义判断并证明；
（2）利用函数的奇偶性的单调性解不等式.
【小问1详解】
由题意可知为上奇函数，，
经检验，，奇函数，满足题意，
函数在上单调递增，证明如下：
设，则
，
，即函数在上是增函数．
【小问2详解】
为奇函数，，
函数在上单调递增，，解得，
故实数的范围为．
21. 郑州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力．已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔相关，当时，列车为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记列车载客量为．
（1）求的表达式；
（2）若该线路每分钟净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．
【答案】（1）
（2）6分钟，最大值为120元．
【解析】
【分析】（1）利用分段函数的表示方法求解；
（2）利用分段函数以及基本不等式、函数的单调性与最值的关系求解.
【小问1详解】
当时，，
当时，设，而，
【小问2详解】
由（1）得，
①当时，，当且仅当时，等号成立．
②当时，单调递减，当时，取到最大为24，
由①②可知，当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为120元．
22. 已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的最小值和最大值；
（2）若，总，使不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小值，最大值2
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质直接计算最值得到答案.
（2）将问题转化为恒成立，进而化得，利用二次函数的单调性求得最值即可得解；或利用主元法即可得解.
【小问1详解】
当时，，，
当时，取得最小值；
当时，取得最大值2．
【小问2详解】
区间上单调递增，，
不等式对于任意恒成立，
方法1：恒成立．
，故，则，
故实数的取值范围，故．
方法2：不等式对于任意恒成立，故，
解得，故实数的取值范围，故．1
2
3
0
1
2