江西省萍乡市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份江西省萍乡市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x3+x＝3B．（x﹣1）2＝x2﹣x
C．x2＝0D．ax2+bx+c＝0
2．（3分）若3a＝5b，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点P（﹣2，2），则该函数图象不经过的点是（ ）
A．（1，4）B．（2，﹣2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣4）
4．（3分）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22B．24C．48D．44
7．（3分）某县2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3600万元．已知2019至2021年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2020年该县投入的教育经费为（ ）
A．2700万元B．2800万元C．2900万元D．3000万元
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（ ）
A．2B．C．D．
9．（3分）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC＝CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
10．（3分）如图，点A，B，C在同一直线上，且AB＝AC，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1，S2，S3，若S1＝，则S2+S3等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上）
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
12．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长是 ．
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 个．
14．（3分）如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2），B（4，2）．以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，若DE＝1，则端点D的坐标为 ．
15．（3分）若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 人．
16．（3分）如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为 m．
17．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为 ．
18．（3分）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝AC，连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为 ．
三、（本大题共3个题，第19题8分，第20、21题各6分，共20分）
19．（4分）解下列方程：2x（x﹣1）＝x﹣1．
20．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F别为AB，BC，CA的中点，CD＝2cm，求EF的长．
21．（6分）如图，△ABC在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（3，4），C（7，3），并求出点B的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；
（3）计算△A′B′C′的面积S．
22．（6分）在同一时刻两根直立木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在墙上为MN＝0.8m，有一部分落在地上为PM＝1.2m，求木竿PQ的长度．
四、（本题共3个小题，每小题8分，共24分）
23．（8分）在课间活动时，甲，乙两同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字﹣1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲随机抽取一张，将其正面的数字作为m的值．然后将卡片背面朝上放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为n的值，两次结果记为（m，n）．
（1）请你帮这两位同学用树状图或列表法表示（m，n）所有可能的结果；
（2）求满足关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0没有实数根的概率．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长．
25．（8分）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
五、（本大题共1小题，共10分）
26．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．
六、（本大题共1小题，共12分）
27．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F．
（1）[探究发现]：如图①，若m＝n，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由；
（2）[数学思考]：①如图②，若点E在线段AC上，求证：；
②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图③的情形给出证明；
（3）[拓展应用]：若AC＝，BC＝2，DF＝4，求CE的长．（可结合题意，另行画图）
2021-2022学年江西省萍乡市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．）
1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x3+x＝3B．（x﹣1）2＝x2﹣x
C．x2＝0D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义判断．
【解答】解：A、x3+x＝3，是一元三次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、（x﹣1）2＝x2﹣x整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、x2＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意意；
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（3分）若3a＝5b，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由＝得5a＝3b，故本选项不符合题意；
B、由＝得3a＝5b，故本选项符合题意；
C、由＝得，5a＝3b，故本选项不符合题意；
D、由＝得，5（a+1）＝4b，整理得，5a+5＝4b，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质并准确计算是解题的关键．
3．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点P（﹣2，2），则该函数图象不经过的点是（ ）
A．（1，4）B．（2，﹣2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣4）
【分析】先将点P的坐标代入函数解析式求得k的值，然后利用k＝xy得到结果．
【解答】解：将点P（﹣2，2）代入反比例函数解析式得，k＝﹣2×2＝﹣4，
A、由1×4＝4≠﹣4得，函数图象不经过点（1，4），故选项A符合题意；
B、由2×（﹣2）＝﹣4得，函数图象经过点（2，﹣2），故选项B不符合题意；
C、由4×（﹣1）＝﹣4得，函数图象经过点（4，﹣1），故选项C不符合题意；
D、由1×（﹣4）＝﹣4得，函数图象经过点（1，﹣4），故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用待定系数法求得反比例系数k的取值．
4．（3分）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个较大的矩形，上边是一个较小的矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5．（3分）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C，
列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22B．24C．48D．44
【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，
在RT△BCO中，BO＝＝＝4，即可得BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE＝DE•BD＝24．
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
7．（3分）某县2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3600万元．已知2019至2021年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2020年该县投入的教育经费为（ ）
A．2700万元B．2800万元C．2900万元D．3000万元
【分析】根据题意可知：2019年投入的教育经费×（1+增长率）2＝2021年的投入的教育经费，然后即可列出相应的方程，再求解即可得到增长率，然后再计算2020年投入的教育经费即可．
【解答】解：设教育经费每年增加的百分率为x，
由题意可得：2500（1+x）2＝3600，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
即教育经费每年增加的百分率为20%，
∴2020年该县投入的教育经费为2500（1+20%）＝3000（万元），
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，
∴AC⊥EF，AO＝CO，
在矩形ABCD，∠D＝90°，
∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，
∴CO＝，
∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，
∴△DAC∽△OFC，
∴，
∴，
∴FO＝，
∴EF＝2×＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和相似三角形的判定与性质，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9．（3分）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC＝CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．
【解答】解：设点B坐标为（a，b），则DO＝﹣a，BD＝b
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴
∴BD∥AC
∵OC＝CD
∴CE＝BD＝b，CD＝DO＝a
∵四边形BDCE的面积为2
∴（BD+CE）×CD＝2，即（b+b）×（﹣a）＝2
∴ab＝﹣
将B（a，b）代入反比例函数y＝（k≠0），得
k＝ab＝﹣
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．本题也可以根据△OCE与△ODB相似比为1：2求得△BOD的面积，进而得到k的值．
10．（3分）如图，点A，B，C在同一直线上，且AB＝AC，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1，S2，S3，若S1＝，则S2+S3等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，BC的中点，AB＝2BC，
∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠ABF＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝2x，
∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，
∴x2＝，
∵BD＝2x，BE＝x，
∴S2＝MH•BD＝（3x﹣2x）•2x＝2x2，
S3＝EN•BE＝x•x＝x2，
∴S2+S3＝2x2+x2＝3x2＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上）
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝ 1 ．
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得：x1+x2＝3，x1x2＝2，
所以x1+x2﹣x1x2＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长是 ．
【分析】由AB∥CD∥EF，可知，从而可求得BC＝，最后根据CE＝BE﹣BC求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即．
∴BC＝．
CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式求得BC的长度是解题的关键．
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 7 个．
【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得：＝0.7，
解得：x＝7，
经检验：x＝7是分式方程的解，
所以袋中红球有7个，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
14．（3分）如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2），B（4，2）．以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，若DE＝1，则端点D的坐标为 （1，1） ．
【分析】根据题意求出＝，进而求出线段AB与线段DE的相似比，根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵A（2，2），B（4，2），
∴AB＝2，
∵DE＝1，
∴＝，
∵以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，
∴线段AB与线段DE的相似比为2：1，
∵点A的坐标为（2，2），
∴点D的坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出线段AB与线段DE的相似比是解题的关键．
15．（3分）若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 22 人．
【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据经过两轮传染后共有121人感染了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
∴2（1+x）＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为 200 m．
【分析】设眼睛到目标的距离为xm，由于OE＝80cm＝0.8m，AB＝0.2cm＝0.002m，CD＝50cm＝0.5m，由于AB∥CD，所以利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：设眼睛到目标的距离为xm，
∵OE＝80cm＝0.8m，AB＝0.2Cm＝0.002m，CD＝50cm＝0.5m，
∴BE＝AB＝0.001m，DF＝0.25m，
∵AB∥CD，
∴△OBE∽△ODF，
∴，
即＝，
解得x＝200．
答：眼睛到目标的距离OF为200m，
故答案为：200．
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，在解答此题时要注意单位的换算，这是此题的易错点．
17．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为 ．
【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k＝2m•2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m，n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到S△BEF＝BE•BF＝mn＝．
【解答】解：设D（2m，2n），
∵OD：OB＝2：3，
∴A（3m，0），C（0，3n），
∴B（3m，3n），
∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，
∴9＝3m•3n，
∴mn＝1，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，
∴k＝4mn
∴双曲线y＝（x＞0），
∴E（3m，n），F（m，3n），
∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，
∴S△BEF＝BE•BF＝mn＝
故答案为．
【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．
18．（3分）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝AC，连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得，AB∥CD，AB＝CD，则，设S△AEG＝x，则S△ADE＝3x，S△ADG＝4x，再证明△BGH∽△BAC，得，从而解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴，
设S△AEG＝x，
则S△ADE＝3x，S△ADG＝4x，
∵AE＝CF＝，
∴S△ABC＝S△DAC＝4S△ADE＝12x，
∵AB＝DC，，
∴AB＝DC＝3AG，
∴BG＝2AG，
∴，
同理可得，
又∵∠B＝∠B，
∴△BGH∽△BAC，
∴，
∴S＝，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，设S△AEG＝x，用x的代数式表示△ADG和△BGH的面积是解题的关键．
三、（本大题共3个题，第19题8分，第20、21题各6分，共20分）
19．（4分）解下列方程：2x（x﹣1）＝x﹣1．
【分析】首先移项，把方程的右边化成0，左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解．
【解答】解：移项，得：2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0
则（x﹣1）（2x﹣1）＝0
则x﹣1＝0或2x﹣1＝0
解得：x1＝1，x2＝．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解因式分解法的基本思想是化成一元一次方程．
20．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F别为AB，BC，CA的中点，CD＝2cm，求EF的长．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，CD＝2cm，
∴AB＝2CD＝4cm，
∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝2cm，
答：EF的长为2cm．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
21．（6分）如图，△ABC在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（3，4），C（7，3），并求出点B的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；
（3）计算△A′B′C′的面积S．
【分析】（1）根据A（3，4），C（7，3），找出原点，求出点B的坐标即可；
（2）根据位似比为2，得出三角形各顶点坐标即可得出答案；
（3）利用所画图形得出三角形的底与高求出即可．
【解答】解：（1）∵A（3，4），C（7，3），
∴B点坐标为：（3，2）；
（2）如图所示：
（3）△A′B′C′的面积S为：×4×8＝16．
【点评】此题主要考查了位似图形的画法以及三角形的面积公式，根据已知得出对应点的坐标是解题关键．
22．（6分）在同一时刻两根直立木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在墙上为MN＝0.8m，有一部分落在地上为PM＝1.2m，求木竿PQ的长度．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可．
【解答】解：设木竿PQ长为xm，
依题意得，
解得x＝2.3（m），
答：木竿PQ长度为2.3m．
【点评】考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
四、（本题共3个小题，每小题8分，共24分）
23．（8分）在课间活动时，甲，乙两同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字﹣1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲随机抽取一张，将其正面的数字作为m的值．然后将卡片背面朝上放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为n的值，两次结果记为（m，n）．
（1）请你帮这两位同学用树状图或列表法表示（m，n）所有可能的结果；
（2）求满足关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0没有实数根的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果；
（2）根据根的判别式的意义得到m2﹣4n＜0，则可得到有（﹣1，1），（0，1），（1，1）满足条件，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有9种等可能的结果；
（2）∵方程x2+mx+n＝0没有实数根，即Δ＝m2﹣4n＜0，
由（1）可得有（﹣1，1），（0，1），（1，1）三种情况，
∴满足关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0没有实数根的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了根的判别式．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长．
【分析】（1）先证四边形AEFD为平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得DF＝AE，AF＝DE＝4，再由勾股定理的逆定理得△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，然后由面积法求出AE的长，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
∴，
∴．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25．（8分）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
【分析】（1）设BC＝xm，则AB＝ m，根据矩形花园的面积为300m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙EF最长可利用28m，即可得出结论；
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，设BC＝ym，则AB＝ m，根据矩形花园的面积为480m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合墙EF最长可利用28m，即可得出不能围成面积为480m2的矩形花园．
【解答】解：（1）设BC＝xm，则AB＝ m，
依题意得：x•＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：
设BC＝ym，则AB＝ m，
依题意得：y•＝480，
整理得：y2﹣62y+960＝0，
解得：y1＝30，y2＝32．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴y1＝30，y2＝32均不符合题意，舍去，
∴不能围成面积为480m2的矩形花园．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、（本大题共1小题，共10分）
26．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．
【分析】（1）根据系数k的几何意义即可求得k，进而求得P（1，2），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，求出点C、D的坐标，然后联立方程求得P、M的坐标，最后根据S五边形＝S△COD﹣S△APD﹣S△BCM，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
【解答】解：（1）∵过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
∴S△OPA＝|k|＝1，
∴|k|＝2，
∵在第一象限，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点P（1，m），
∴m＝＝2，
∴P（1，2），
∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点P（1，2），
∴2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；
（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，
∴C（3，0），D（0，3），
解得或，
∴P（1，2），M（2，1），
∴PA＝1，AD＝3﹣2＝1，BM＝1，BC＝3﹣2＝1，
∴五边形OAPMB的面积为：S△COD﹣S△BCM﹣S△ADP＝×3×3﹣×1×1﹣×1×1＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系数k的几何意义，求得交点坐标是解题的关键．
六、（本大题共1小题，共12分）
27．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F．
（1）[探究发现]：如图①，若m＝n，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由；
（2）[数学思考]：①如图②，若点E在线段AC上，求证：；
②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图③的情形给出证明；
（3）[拓展应用]：若AC＝，BC＝2，DF＝4，求CE的长．（可结合题意，另行画图）
【分析】（1）先用等量代换判断出∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可；
（2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可；
（3）由（2）的结论得出△ADE∽△CDF，判断出CF＝2AE，求出DE，EF，再分三种情况利用勾股定理求解，即可求出答案．
【解答】（1）解：DE＝DF，理由：
当m＝n时，即：BC＝AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝1，
∴＝1，
即：DE＝DF；
（2）①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
∴；
②解：①中的结论仍然成立．如图，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
∴．
（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，
∵＝，
∴＝，
∴CF＝2AE，
在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，
∴EF＝2，
①当E在线段AC上时，
在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40，
∴CE＝2或CE＝﹣（舍），
而AC＝＜CE，
∴此种情况不存在，
②当E在AC延长线上时，
在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（+CE）]2＝40，
∴CE＝或CE＝﹣2（舍），
③如图，
当点E在CA延长线上时，
CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，
∴CE＝2或CE＝﹣（舍），
即：CE＝2或CE＝．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解本题的关键，求CE是本题的难点．A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）