山东省菏泽市东明县2023届九年级上学期期中质量检测数学试卷(含解析)

这是一份山东省菏泽市东明县2023届九年级上学期期中质量检测数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
如图，在矩形中，，，则的长为( )
A. B. C. D.
在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是( )
A. B. C. D.
若关于的一元二次方程的常数项为，则的值等于( )
A. B. C. 或D.
已知∽，，若，则( )
A. B. C. D.
关于的方程和有相同的实数根，那么的值是( )
A. B. 或C. D.
九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为( )
A. 米B. 米C. 米D. 米
如图，在正方形中，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则为( )
A. B. C. D.
四边形具有不稳定性，小明将一个菱形转动，使它形状改变，当转动到使时如图，测得；当转动到使时，的值为( )
A. B. C. D.
如图，在中，在上，，，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
已知正方形的对角线的长为，则正方形的边长为______．
若一元二次方程的两根为的两直角边的长，则的面积是______．
若，且，则______．
在菱形中，对角线与相交于点，且，，则______．
若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点，，，均为格点，连接、相交于点设小正方形的边长为，则的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知矩形中，对角线与相交于点分别过点、作、的平行线交于点．
求证：四边形为菱形．
若，，求菱形的面积．
本小题分
如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、相交于点求证：．
本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求实数的取值范围；
若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
本小题分
某商场今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到件．
求四、五两个月销售量的月平均增长率；
从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场可获利元？
本小题分
一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．蓝色和红色混合成紫色
本小题分
如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且．
求证：∽；
如果，，，求的长．
本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，交于点．
求证：四边形为平行四边形；
求的值．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，，
故选：．
一元二次方程的一般形式是、、为常数，，根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是、、为常数，，找项的系数时带着前面的符号．
2.【答案】
解析：解：四边形是矩形，，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
；
故选：．
由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出即可．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
3.【答案】
解析：解：多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在和，
摸到红色球、黑色球的概率分别为和，
摸到白球的概率为，
口袋中白色球的个数可能为．
故选：．
利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为和，则摸到白球的概率为，然后根据概率公式求解．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
4.【答案】
解析：解：一元二次方程程的常数项为，
，
，
解得，
故选：．
根据一元二次方程的定义解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5.【答案】
解析：解：∽，
，
，，
，
，
故选：．
利用相似三角形的性质可得，代入即可得出的长．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
6.【答案】
解析：解：设相同的实数根是，则且，
得：，
，
解得或，
当时，原方程为，无实数解，不符合题意，舍去；
当时，符合题意，
故选：．
设相同的实数根是，则且，可得，从而解得或，再检验即可得到答案．
本题考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是求出的值后要检验原方程根的情况．
7.【答案】
解析：解：由题意知：，
∽，
，
，
解得，
水面以上深度为米．
故选：．
由题意知：∽，得出对应边成比例即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽是解决问题的关键．
8.【答案】
解析：解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
，
，
故选：．
依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
9.【答案】
解析：解：因为菱形，时，测得，
所以是等边三角形，
所以菱形的边长为，
当转动到使时，如图所示：

因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：．
根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得菱形的边长为，再根据菱形的性质以及勾股定理解答即可．
此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题能证得是等边三角形是解此题的关键．
10.【答案】
解析：解：，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
和的相似比为：，
，
故选：．
利用平行线的性质可得两角相等，可证∽，再由可得和的相似比，即可求出的值．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，利用线段间的比进行转化从而得出相似比．
11.【答案】
解析：解：如图：

四边形是正方形，
，，
设正方形的边长为，
在中，，
，
解得负值已舍去，
正方形的边长为，
故答案为：．
设正方形的边长为，用勾股定理列方程可解得答案．
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握正方形性质，熟练应用勾股定理列方程．
12.【答案】
解析：解：由得到：．
设一元二次方程的两根为、，则，．
当、为的两直角边时，．
故答案为：．
利用根与系数的关系、直角三角形的面积公式求得的面积．
本题考查了根与系数的关系、三角形的面积的计算．在利用根与系数的关系，时，需要弄清楚、、的意义．
13.【答案】
解析：解：，
，
．
故答案为：．
由，可得，然后代入所求的分式计算可得答案．
此题考查的是比例的性质，根据比例性质进行变形是解决此题的关键．
14.【答案】
解析：解：四边形是菱形，
，，，
在中，．
故答案为：．
根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理求出．
此题考查的是菱形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
15.【答案】
解析：解：关于的一元二次方程有实数根，
，
．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
16.【答案】
解析：解：在中，，
，
∽，
，
，即，
．
故答案为：．
先根据勾股定理计算的长，再根据∽，对应边成比例，得到，所以，从而求出的长．
本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
17.【答案】结论：四边形的形状是菱形，
证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：，，
矩形的面积，
，
四边形的面积．
解析：首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，
由矩形的性质可知四边形的面积为矩形面积的一半，问题得解．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解决问题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的个三角形，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
．
解析：根据正方形的性质得，，再利用证明≌即可．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
19.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
即的取值范围是；
，，
，
，
，即，
解得或．
；
．
故的值为．
解析：根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可；
将转化为，再代入计算即可解答．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程．
20.【答案】解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：四、五两个月销售量的月平均增长率为．
设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：当商品降价元时，商场可获利元．
解析：设四、五两个月销售量的月平均增长率为，利用五月份的销售量三月份的销售量四、五两个月销售量的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有种情况，
两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率为．
解析：画树状图，共有种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有种情况，再由概率公式求解即可
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
即，
，
，
∽，
，
即，
又，
．
解析：由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出∽；
由∽，利用相似三角形的性质可求出的长度，由可得出∽，再利用相似三角形的性质及即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出∽；牢记相似三角形对应边的比相等．
23.【答案】证明：四边形为菱形，
，，
又，
，
四边形为平行四边形．
解：四边形为菱形，四边形为平行四边形，
，即，，
又，
∽，
，
，
四边形为菱形，
，
．
解析：先根据菱形的性质得出，，再证明，然后根据平行四边形的定义证明即可；
根据菱形对角线互相垂直平分得出，再根据，证出∽，最后根据菱形四边相等，平行四边形对边相等，利用平行线分线段成比例定理、等量代换即可求解．
本题考查菱形的性质、平行四边形的性质和判定、相似三角形的性质和判定等知识，解题关键是熟练掌握和运用以上知识点．