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所属成套资源：2023-2024学年度初三暑假讲义1-15讲
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2023-2024学年度初三暑假讲义第8讲：相似三角形模型（一）(讲义+课后测+课后巩固+答案）
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这是一份2023-2024学年度初三暑假讲义第8讲：相似三角形模型（一）(讲义+课后测+课后巩固+答案），文件包含第8讲相似三角形模型一课后测-有答案docx、第8讲相似三角形模型一课后测docx、第8讲相似三角形模型一-有答案docx、第8讲相似三角形模型一docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
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典例精讲
题型1：位似
例题1．（1）（2022•重庆）如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则与的周长之比是
A．B．C．D．
（2）（2022•成都）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ．
（3）（2022•梧州）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是
A．4B．6C．16D．18
（4）2018•菏泽）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是 ．
（5）（2022•威海）由12个有公共顶点的直角三角形拼成如图所示的图形，．若，则图中与位似的三角形的面积为
A．B．C．D．
模块二 相似三角形的两种基本模型
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典例精讲
题型2：“A”字模型和“8”模型
例题2．（1）（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为
A．4B．5C．6D．7
（2）（2022•鞍山）如图，，，相交于点，若，，则的长为 ．
例题3．（1）（2016•绵阳）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为
A．B．C．D．
（2）（2023•广西八大校二模）如图，在等边中，，为的中点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长为 ．
题型3：“A”字模型和“8”模型的综合应用
例题4．如图，，是的中点，、相交于点，、相交于点．
（1）当时，求证：；
（2）求证：．
例题5．如图，，、交于点，交于．求证：
（1）；
（2）．
模块三 三角形内接矩形模型
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典例精讲
题型4：矩形一边与三角形一边重合
例题6．（1）（2020•广西）如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为
A．15B．20C．25D．30
（2）（2018•贵阳）如图，在中，，边上的高为4，在的内部作一个矩形，使在边上，另外两个顶点分别在、边上，则对角线长的最小值为 ．
（3）（2012•盘锦）如图，在中，放置边长分别为4、6、的三个正方形，则的值为
A．24B．12C．10D．8
题型5：矩形两边与直角三角形两边重合
例题7．（1）（2015•佛山）如图，在中，，，．四边形是的内接正方形（点、、在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ．
（2）（2019•黔东南州）如图，在一斜边长的直角三角形木板（即中截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为
A．B．C．D．
例题8．如图，在内作边长依次为、、的三个正方形，设，．
（1）用、分别表示、、；
（2）探讨、、之间的关系．
题型6：三角形内接矩形模型综合计算
例题9．（2015•武汉）已知锐角中，边长为12，高长为8．
（1）如图，矩形的边在边上，其余两个顶点、分别在、边上，交于点．
①求的值；
②设，矩形的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值；
（2）若，正方形的两个顶点在一边上，另两个顶点分别在的另两边上，直接写出正方形的边长．
例题10．（2021•宁夏）阅读理解：
如图1，是的高，点、分别在和边上，且，可以得到以下结论：．
拓展应用：
（1）如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点、分别在、上，则正方形的边长是多少？
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
若用表示排数，表示每排的隔板长度，试求出与的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？
秋季你将遇见
例题11．（2022•武汉）问题提出
如图（1），在中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
第8讲：相似三角形模型（一）课后巩固
实战演练
1．（2017•成都）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为
A．B．C．D．
2．（2018•青海）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则 ．
3．（2022•宜宾）如图，中，点、分别在边、上，．若，，，则 ．
4．如图，菱形中，，分别在边，上，，相交于点，若，则的值是
A．B．C．D．
5．（2019•通辽）已知三个边长分别为，，的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为 ．
6．（2020•乐山）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连接交于点．则 ．
7．（2016•泸州）如图，矩形的边长，，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为
A．B．C．D．
8．（2021•淄博）如图，，相交于点，且，点，，在同一条直线上．已知，，，则，，之间满足的数量关系式是
A．B．C．D．
9．（2019•宜宾）如图，和都是等边三角形，且点、、在同一直线上，与、分别交于点、，与交于点．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
①；②；③；④
10．（2022•东营）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．
11．（2021•菏泽）如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为 ．
12．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长的直角三角形木板上截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为
A．B．C．D．
13．（2014•日照）如图，已知的面积是12，，点、分别在边、上，在边上依次做了个全等的小正方形，，，，则每个小正方形的边长为
A．B．C．D．
14．（2020•百色）如图，在平行四边形中，为延长线上一点，分别交，于点，．
（1）请找出一对相似的三角形并证明．
（2）已知，若，求的值．
思维拓展训练
1．（2014•黄石）是的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设， ．
（1）如图1，当为等边三角形且时证明：；
（2）如图2，证明：；
（3）当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于，交射线于点，设，，，猜想：是否成立？并说明理由．
定 义
示例剖析
位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形．
位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心．
位似比：相似比叫做位似比．
位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
如图所示，已知与是位似图形，点为位似中心，那么
（为位似比）
图形
重要结论
“A” 字模型
“8”字模型
图形
重要结论
条件：四边形为矩形，于．
①，，；
②．
排数排
0
1
2
3
隔板长度厘米
160
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典例精讲
题型1：位似
例题1．（1）（2022•重庆）如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则与的周长之比是
A．B．C．D．
（2）（2022•成都）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ．
（3）（2022•梧州）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是
A．4B．6C．16D．18
（4）2018•菏泽）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是 ．
（5）（2022•威海）由12个有公共顶点的直角三角形拼成如图所示的图形，．若，则图中与位似的三角形的面积为
A．B．C．D．
模块二 相似三角形的两种基本模型
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典例精讲
题型2：“A”字模型和“8”模型
例题2．（1）（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为
A．4B．5C．6D．7
（2）（2022•鞍山）如图，，，相交于点，若，，则的长为 ．
例题3．（1）（2016•绵阳）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为
A．B．C．D．
（2）（2023•广西八大校二模）如图，在等边中，，为的中点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长为 ．
题型3：“A”字模型和“8”模型的综合应用
例题4．如图，，是的中点，、相交于点，、相交于点．
（1）当时，求证：；
（2）求证：．
例题5．如图，，、交于点，交于．求证：
（1）；
（2）．
模块三 三角形内接矩形模型
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典例精讲
题型4：矩形一边与三角形一边重合
例题6．（1）（2020•广西）如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为
A．15B．20C．25D．30
（2）（2018•贵阳）如图，在中，，边上的高为4，在的内部作一个矩形，使在边上，另外两个顶点分别在、边上，则对角线长的最小值为 ．
（3）（2012•盘锦）如图，在中，放置边长分别为4、6、的三个正方形，则的值为
A．24B．12C．10D．8
题型5：矩形两边与直角三角形两边重合
例题7．（1）（2015•佛山）如图，在中，，，．四边形是的内接正方形（点、、在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ．
（2）（2019•黔东南州）如图，在一斜边长的直角三角形木板（即中截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为
A．B．C．D．
例题8．如图，在内作边长依次为、、的三个正方形，设，．
（1）用、分别表示、、；
（2）探讨、、之间的关系．
题型6：三角形内接矩形模型综合计算
例题9．（2015•武汉）已知锐角中，边长为12，高长为8．
（1）如图，矩形的边在边上，其余两个顶点、分别在、边上，交于点．
①求的值；
②设，矩形的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值；
（2）若，正方形的两个顶点在一边上，另两个顶点分别在的另两边上，直接写出正方形的边长．
例题10．（2021•宁夏）阅读理解：
如图1，是的高，点、分别在和边上，且，可以得到以下结论：．
拓展应用：
（1）如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点、分别在、上，则正方形的边长是多少？
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
若用表示排数，表示每排的隔板长度，试求出与的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？
秋季你将遇见
例题11．（2022•武汉）问题提出
如图（1），在中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
第8讲：相似三角形模型（一）课后巩固
实战演练
1．（2017•成都）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为
A．B．C．D．
2．（2018•青海）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则 ．
3．（2022•宜宾）如图，中，点、分别在边、上，．若，，，则 ．
4．如图，菱形中，，分别在边，上，，相交于点，若，则的值是
A．B．C．D．
5．（2019•通辽）已知三个边长分别为，，的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为 ．
6．（2020•乐山）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连接交于点．则 ．
7．（2016•泸州）如图，矩形的边长，，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为
A．B．C．D．
8．（2021•淄博）如图，，相交于点，且，点，，在同一条直线上．已知，，，则，，之间满足的数量关系式是
A．B．C．D．
9．（2019•宜宾）如图，和都是等边三角形，且点、、在同一直线上，与、分别交于点、，与交于点．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
①；②；③；④
10．（2022•东营）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．
11．（2021•菏泽）如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为 ．
12．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长的直角三角形木板上截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为
A．B．C．D．
13．（2014•日照）如图，已知的面积是12，，点、分别在边、上，在边上依次做了个全等的小正方形，，，，则每个小正方形的边长为
A．B．C．D．
14．（2020•百色）如图，在平行四边形中，为延长线上一点，分别交，于点，．
（1）请找出一对相似的三角形并证明．
（2）已知，若，求的值．
思维拓展训练
1．（2014•黄石）是的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设， ．
（1）如图1，当为等边三角形且时证明：；
（2）如图2，证明：；
（3）当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于，交射线于点，设，，，猜想：是否成立？并说明理由．
定 义
示例剖析
位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形．
位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心．
位似比：相似比叫做位似比．
位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
如图所示，已知与是位似图形，点为位似中心，那么
（为位似比）
图形
重要结论
“A” 字模型
“8”字模型
图形
重要结论
条件：四边形为矩形，于．
①，，；
②．
排数排
0
1
2
3
隔板长度厘米
160
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