江西省萍乡市十校联考2022—-2023学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份江西省萍乡市十校联考2022—-2023学年上学期九年级期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了下列事件中，抛物线y＝等内容，欢迎下载使用。

1．下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件中：①抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于7；②如果m、n都是实数，那么m+n＝n+m；③如果a＜b，那么a2＜b2；④在标准大气压下，温度低于0℃时冰熔化．是必然事件的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
3．抛物线y＝（2x﹣2）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣2）B．（﹣2，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）
4．用配方法解方程2x2+2x＝1，则配方后的方程是（ ）
A．（x+）2＝B．＝
C．＝D．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
那么（a+b+c）（+）的值为（ ）
A．24B．20C．10D．4
6．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x﹣1与y＝﹣的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．若实数a满足＝a，则a＝ ．
8．抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则此抛物线解析式为 ．
9．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置 位．
10．任写出一个顶点在y轴正半轴上的抛物线表达式 ．
11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转160°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为 ．
12．如图，已知矩形ABCD中AB：BC＝3：1，点A、B在x轴上，直线y＝mx+n（0＜m＜n＜），过点A、C交y轴于点E，S△AOE＝S矩形ABCD，抛物线y＝ax2+bx+c过点A、B，且顶点G在直线y＝mx+n上，抛物线与y轴交于点F．
（1）点A的坐标为 ；B的坐标 （用n表示）；
（2）abc＝ ．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）解方程或不等式：
（1）（2x﹣3）2＝（3x﹣2）2
（2）+3＝
（3）≤1
14．（6分）设a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 ．
15．（6分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和4.84万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.4万件，那么该公司现有10名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
16．（6分）某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘．厦门中学生助手先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表三中．
表三
（1）根据表三的数据，估计这10000kg柑橘中损坏的概率是 ；（结果保留小数点后一位）
（2）在（1）的条件下，如果公司希望这些柑橘的销售利润能超过5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克至少定价多少元？（结果保留小数点后一位）
17．（6分）已知A、B是开口向上的抛物线上纵坐标相等的两点，且该抛物线与x轴相交，请用无刻度的直尺作出其对称轴．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+c，经过点A（0，5）和点B（3，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
19．（8分）在一个不透明的盒子中有3个红球和1个白球，它们除颜色外其它都一样，从盒子中摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率．
20．（8分）四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝3，求△AEF的面积．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）商场某商品现在售价为每件600元，每星期可卖出3000件，市场调查反映；如果上调价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件400元，设每星期的销量为y件，每件商品的售价为x（x≥600）元．
（1）求y与x的函数关系；
（2）每件商品的售价为多少时，每星期所获总利润最大，最大利润是多少元？
（3）该商场推出优惠政策：“每购买一件该商品让利a元（a＞20）”．销售后发现当x≥670元时，让利后的周销售利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围是 ．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，AD⊥BC，延长AD至点E，使得AE＝2AD，连接BE．
（1）求证：△ABE为等边三角形；
（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM＝60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F．求证：BG＝AF．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．
（1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．当k＝2时，点P在直线OD上吗？请说明理由．
2022-2023学年江西省萍乡市十校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
2．下列事件中：①抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于7；②如果m、n都是实数，那么m+n＝n+m；③如果a＜b，那么a2＜b2；④在标准大气压下，温度低于0℃时冰熔化．是必然事件的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：①抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于7，是必然事件；
②如果a，b为实数，那么a+b＝b+a是一定发生的，是必然事件；
③如果a＜b，那么a2＜b2或者a2＞b2或者a2＝b2，是随机事件；
④在标准大气压下，温度低于0℃时冰熔化，是不可能事件．
故是必然事件的有①②2个．
故选：C．
3．抛物线y＝（2x﹣2）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣2）B．（﹣2，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）
【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再求出其顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（2x﹣2）2﹣2可化为y＝4（x﹣1）2﹣2的形式，
∴其顶点坐标为（1，﹣2）．
故选：D．
4．用配方法解方程2x2+2x＝1，则配方后的方程是（ ）
A．（x+）2＝B．＝
C．＝D．
【分析】先把二次项系数化为1得到x2+x＝，然后把方程两边加上的平方即可得到（x+）2＝．
【解答】解：x2+x＝，
x2+x+（）2＝+（）2，
（x+）2＝．
故选：A．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
那么（a+b+c）（+）的值为（ ）
A．24B．20C．10D．4
【分析】把x＝2，y＝0.37；x＝4，y＝0.37代入解析式得到b＝﹣6a，则可确定抛物线的对称轴为直线x＝3，利用抛物线的对称性得到x＝1时，y＝4，即a+b+c＝4，然后利用整体代入的方法计算（a+b+c）（+）的值．
【解答】解：∵x＝2，y＝0.37；x＝4，y＝0.37，
∴，
∴12a+2b＝0，解得b＝﹣6a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3，
∴x＝1与x＝5时的函数值相等，
∴x＝1时，y＝4，即a+b+c＝4，
∴（a+b+c）（+）＝4×（﹣）＝4×（﹣）＝24．
故选：A．
6．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x﹣1与y＝﹣的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】已知两函数解析式，分别求出它们经过的象限，开口方向，逐一判断即可．
【解答】解：∵y＝﹣x﹣1的图象过第二、三、四象限，y＝﹣（x﹣1）2的开口向下，顶点在点（1，0），
∴同时符合条件的图象只有选项A．故选A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．若实数a满足＝a，则a＝ 3 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，再利用绝对值的性质化简，即可得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴a﹣2≥0，
解得：a≥2，
∵＝a，
∴a﹣1+＝a，
故＝1，
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3．
故答案为：3．
8．抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则此抛物线解析式为 y＝x2+2x ．
【分析】逆向思考：把抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2+bx+c．先把y＝x2﹣2x﹣3配成顶点式得y＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，所得抛物线的对称轴为直线x＝1﹣2＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣1），然后利用顶点式直接写出其解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，所得抛物线的对称轴为直线x＝1﹣2＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴所得抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣1＝x2+2x．
故答案为y＝x2+2x．
9．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置 4 位．
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为．
故一次就拨对的概率小于，密码的位数至少需要4位．
故答案为：4．
10．任写出一个顶点在y轴正半轴上的抛物线表达式 y＝x2+1（本题答案不唯一） ．
【分析】由顶点坐标公式确定出满足题意的解析式即可．
【解答】解：任写出一个顶点在y轴正半轴上的抛物线表达式：y＝x2+1（本题答案不唯一），
故答案为：y＝x2+1（本题答案不唯一）
11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转160°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为 10° ．
【分析】先判断出∠BAD＝160°，AD＝AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝160°，AD＝AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为160°的等腰三角形，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝10°，
故答案为：10°．
12．如图，已知矩形ABCD中AB：BC＝3：1，点A、B在x轴上，直线y＝mx+n（0＜m＜n＜），过点A、C交y轴于点E，S△AOE＝S矩形ABCD，抛物线y＝ax2+bx+c过点A、B，且顶点G在直线y＝mx+n上，抛物线与y轴交于点F．
（1）点A的坐标为 （﹣3n，0） ；B的坐标 （﹣n，0） （用n表示）；
（2）abc＝ ﹣ ．
【分析】（1）根据直线AE的解析式可得到点E的坐标，已知AB＝3BC，即AO＝3OE，由此可求得点A的坐标；易求得△AOE的面积，即可得到矩形ABCD的面积，由于AB＝3BC，可用AB表示出矩形ABCD的面积，进而可得到AB的值（含n的表达式），由此可确定点B的坐标．
（2）由于点G是抛物线的顶点，即在抛物线的对称轴上，根据A、B的坐标，可求得点G的横坐标，而G点在直线AE上，那么G点的纵坐标应该是AB的（由于AB＝3BC＝6yG），由此可确定点G的坐标；可将抛物线设为顶点坐标式，将A或B的坐标代入其中，即可求出含n的抛物线解析式，进而可求出abc的值．
【解答】解：（1）直线AE中，y＝mx+n，则E（0，n）；
∵AB＝3BC，则tan∠CAB＝，
∴OA＝3OE＝3n，即A（﹣3n，0）；
△AOE中，AO＝3n，OE＝n，则S△AOE＝OA•OE＝；
矩形ABCD中，AB＝3BC，则S矩形ABCD＝AB•BC＝AB2；
∵S△AOE＝S矩形ABCD，
∴＝×AB2，即AB＝2n，
故OB＝OA﹣AB＝3n﹣2n，即B（﹣n，0），
∴A（﹣3n，0），B（﹣n，0）；
（2）∵G是抛物线的顶点，且A（﹣3n，0），B（﹣n，0），
∴G点的横坐标为﹣2n；
易知G是线段AC的中点，故AB＝3BC＝6yG，
∴G点的纵坐标为n；
即G（﹣2n，n）；
设抛物线的解析式为y＝a（x+2n）2+n，
将A（﹣3n，0）代入上式，得：a×n2+n＝0，即a＝﹣；
∴y＝﹣（x+2n）2+n＝﹣x2﹣x﹣n；
则abc＝（﹣）×（﹣）×（﹣n）＝﹣．
故答案为：（1）（﹣3n，0）；（﹣n，0）；（2）﹣
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）解方程或不等式：
（1）（2x﹣3）2＝（3x﹣2）2
（2）+3＝
（3）≤1
【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程；
（2）先去分母，化为整式方程求解即可；
（3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1．
【解答】解：（1）直接开方，得2x﹣3＝3x﹣2或2x﹣3＝2﹣3x，
解得x1＝﹣1，x2＝1；
（2）去分母，得1+3（x﹣2）＝x﹣1，
去括号，得1+3x﹣6＝x﹣1，
移项合并，得2x＝4，
系数化为1，得x＝2；
经检验，x＝2是原方程的增根，
所以原方程无解；
（3）去分母，得2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，
去括号，得4x﹣2﹣15x﹣3≤6，
移项，合并同类项，得﹣11x≤11，
系数化为1，得x≥﹣1．
14．（6分）设a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 2021 ．
【分析】a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，推出a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，再利用整体代入的思想解决问题即可．
【解答】解：a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，
∴a2+a＝2022，
∴a2+2a+b
＝a2+a+a+b
＝2022﹣1
＝2021．
故答案为：2021．
15．（6分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和4.84万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.4万件，那么该公司现有10名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【分析】（1）直接利用三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和4.84万件，表示出5月份的总件数进而得出等式；
（2）首先求出6月份的任务，进而得出10名快递投递业务员能完成的快递投递任务，再利用每人每月最多可投递快递0.4万件，即可得出需要的人数．
【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
4（1+x）2＝4.84
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）∵今年6月份的快递投递任务是4.84×（1+10%）＝5.324（万件），
∴10名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.4×10＝4＜5.324，
∴该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务：
∵平均每人每月最多可投递0.4万件，
∴需要增加业务员（5.324﹣4）÷0.4＝3.31≈4（人），
即该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加4名业务员．
16．（6分）某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘．厦门中学生助手先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表三中．
表三
（1）根据表三的数据，估计这10000kg柑橘中损坏的概率是 0.1 ；（结果保留小数点后一位）
（2）在（1）的条件下，如果公司希望这些柑橘的销售利润能超过5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克至少定价多少元？（结果保留小数点后一位）
【分析】（1）根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘的损坏频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘的损坏概率为0.1；
（2）根据概率计算出完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价＝进价+利润”列方程解答．
【解答】解：（1）根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以柑橘的损坏概率为0.1．
故答案为：0.1；
（2）根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克．
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有9000x＝2×10000+5000，
解得x≈2.8．
答：出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元．
17．（6分）已知A、B是开口向上的抛物线上纵坐标相等的两点，且该抛物线与x轴相交，请用无刻度的直尺作出其对称轴．
【分析】连接AD、BC、交于点E，作射线AC、BD交于点F，作直线EF即可得．
【解答】解：如图所示，直线EF即为所求．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+c，经过点A（0，5）和点B（3，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组即可解决．
（2）利用配方法求顶点坐标即可；
【解答】解：（1）因为抛物线y＝x2+bx+c，经过点A（0，5）和点B（3，2）
所以解得，
所以，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5．
（2）∵y＝（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1）．
19．（8分）在一个不透明的盒子中有3个红球和1个白球，它们除颜色外其它都一样，从盒子中摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率．
【分析】先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一次摸出的两个球都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中一次摸出的两个球都是红球的结果数为6，
所以一次摸出的两个球都是红球的概率＝＝．
20．（8分）四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝3，求△AEF的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质得AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）由图形直接可得；
（3）先利用勾股定理可计算出AE＝，再根据旋转的性质得到AE＝AF，∠EAF＝90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°
在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF（SAS）
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转 90度得到．
故答案为：A，90
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝8
又∵DE＝3，
∴AE＝＝
由旋转性质得：
∴AE＝AF＝，∠EAF＝90°
∴△AEF的面积＝AE2＝
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）商场某商品现在售价为每件600元，每星期可卖出3000件，市场调查反映；如果上调价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件400元，设每星期的销量为y件，每件商品的售价为x（x≥600）元．
（1）求y与x的函数关系；
（2）每件商品的售价为多少时，每星期所获总利润最大，最大利润是多少元？
（3）该商场推出优惠政策：“每购买一件该商品让利a元（a＞20）”．销售后发现当x≥670元时，让利后的周销售利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围是 20＜a≤40 ．
【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出y与x的关系式．
（2）根据题意列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质即可求出w的最大值．
（3）根据二次函数的性质即可求出a的范围．
【解答】解：（1）根据题意知，y＝3000﹣10（x﹣600）＝﹣10x+9000；
（2）设每星期所获利润为w，
则w＝（x﹣400）（﹣10x+9000）
＝﹣10x2+13000x﹣3600000
＝﹣10（x﹣650）2+625000，
则当x＝650时，w取得最大值，最大值为625000，
答：每件商品的售价为650元时，每星期所获总利润最大，最大利润是625000元；
（3）每购买一件该商品让利a元，
此时所获总利润w＝（x﹣a﹣400）（﹣10x+9000）
＝﹣10x2+（13000+10a）x﹣9000（a+400），
根据题意知﹣≤670，
解得：a≤40，
又a＞20，
∴20＜a≤40，
故答案为：20＜a≤40．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，AD⊥BC，延长AD至点E，使得AE＝2AD，连接BE．
（1）求证：△ABE为等边三角形；
（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM＝60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F．求证：BG＝AF．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得AB＝2AD＝AE，由等腰三角形的性质可得∠BAE＝60°，则△ABE为等边三角形；
（2）由“ASA”可证△BEG≌△AEF，可得BG＝AF．
【解答】证明：（1）连接BE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝60°，∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAE＝30°，
∴AB＝2AD，
∵AE＝2AD，
∴AB＝AE，且∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
（2）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝∠AEB＝60°，AE＝BE，
由（1）∠CAE＝60°，
∴∠ABE＝∠CAE，
∵∠NEM＝∠BEA＝60°，
∴∠NEM﹣∠AEN＝∠BEA﹣∠AEN，
∴∠AEF＝∠BEG，且AE＝BE，∠ABE＝∠EAF，
∴△BEG≌△AEF（ASA）
∴BG＝AF．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．
（1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．当k＝2时，点P在直线OD上吗？请说明理由．
【分析】（1）设交点式，利用待定系数求抛物线解析式；
（2）利用抛物线平移的规律得到新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，则顶点D的坐标为（2，4），则利用待定系数法可求出直线OD的解析式为y＝x，再解方程﹣x2+4＝﹣（x﹣2）2+4可确定P点坐标为（，2），然后根据一次函数图象上点的坐标特征可判断点P（，2）在直线OD上．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣2），
把（0，4）代入得a•2•（﹣2）＝4，解得x＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣2），即y＝﹣x2+4；
（2）当k＝2时，点P在直线OD上．理由如下：
把抛物线y＝﹣x2+4向右平移2个单位所的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，则顶点D的坐标为（2，4），
设直线OD的解析式为y＝kx，
把D（2，4）代入得2k＝4，解得k＝，
所以直线OD的解析式为y＝x，
解方程﹣x2+4＝﹣（x﹣2）2+4得x＝，则P点坐标为（，2），
当x＝时，y＝x＝2，
所以点P（，2）在直线OD上．
x
2
4
5
y＝ax2+bx+c
0.37
0.37
4
柑橘总质量n/kg
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
损坏柑橘质量m/kg
5.50
10.50
15.15
19.42
24.25
30.93
35.32
39.24
44.57
51.54
柑橘损坏的频率
0.110
0.105
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
x
2
4
5
y＝ax2+bx+c
0.37
0.37
4
柑橘总质量n/kg
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
损坏柑橘质量m/kg
5.50
10.50
15.15
19.42
24.25
30.93
35.32
39.24
44.57
51.54
柑橘损坏的频率
0.110
0.105
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103