【备考2024】真题变式分层练：第1题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

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一、原题(共1题；共5分)
1．（5分）（2023·全国乙卷）设z=2+i1+i2+i5，则z=（ ）
A．1−2iB．1+2iC．2−iD．2+i
二、基础(共9题；共45分)
2．（5分）（2023高一下·闵行期末）复数z=i⋅(1−i)的虚部为（ ）
A．1B．−1C．iD．−i
3．（5分）（2023高三上·深圳月考）已知(1−2i)z=2i，则z的共轭复数z=（ ）
A．45+25iB．−45+25iC．45−25iD．−45−25i
4．（5分）（2023高一下·炎陵期末）若z=a+i1−i(a∈R)是纯虚数，则a=（ ）
A．−12B．12C．−1D．1
5．（5分）（2023高一下·马鞍山期末）复数z=(1+i)(2−i)（其中i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．1B．－1C．iD．−i
6．（5分）（2023高一下·马鞍山期末）若复数z满足zi=3+4i（i为虚数单位），则（ ）
A．z=4−3iB．|z|=5
C．z⋅z=7−24iD．z2=7−24i
7．（5分）（2023·）若z(1−i)=(1+i)2，则复数z的虚部为（ ）
A．iB．1C．-1D．-i
8．（5分）（2023高三上·梅河口开学考）已知复数z=53+4i，则复数z的虚部为（ ）
A．45B．−45C．45iD．−45i
9．（5分）（2023高三上·广州月考）已知复数z满足(1−i)z=1+i，则z=（ ）
A．−iB．iC．1−iD．1+i
10．（5分）（2023高三上·开远月考）复数3+ii在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
三、提升(共12题；共60分)
11．（5分）（2023·全国甲卷）5(1+i3)(2+i)(2−i)=（ ）
A．−1B．1C．1−iD．1+i
12．（5分）（2023·新高考Ⅰ卷）已知z=1−i2+2i，则z−z=（ ）
A．−iB．iC．0D．1
13．（5分）（2021·全国乙卷）设iz=4+3i，则z等于（ ）
A．-3-4iB．-3+4iC．3-4iD．3+4i
14．（5分）（2021·全国甲卷）已知 （1−i）2z=3+2i ，则z=（ ）
A．-1- 32 iB．-1+ 32 iC．- 32 +iD．- 32 -i
15．（5分）（2020·新课标Ⅲ·文）若 z(1+i)=1−i ，则z=（ ）
A．1–iB．1+iC．–iD．i
16．（5分）（2019·全国Ⅱ卷文）设z=i（2+i），则 z =（ ）
A．1+2iB．-1+2iC．1-2iD．-1-2i
17．（5分）（2023高二上·梅河口开学考）已知复数z=1+2i1−3i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
18．（5分）（2023高三上·梅河口开学考）已知a∈R，z=a+i1+i（i为虚数单位）是纯虚数，则a=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
19．（5分）（2023高二上·吉林开学考）已知z(1−i)=3+i（i是虚数单位），z的共轭复数为z，则z的虚部为（ ）
A．2B．−2C．1D．−1
20．（5分）已知复数z满足(z+2i)(2−i)=5，则z的共轭复数z=（ ）
A．2−iB．2+iC．−2+iD．−2−i
21．（5分）（2023高二下·湖州期末） 已知复数z满足(1−i)(i−z)=3+i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数z=（ ）
A．−1−2iB．−1+2iC．−1−iD．−1+i
22．（5分）（2023高一下·湖州期末）已知i为虚数单位，复数z满足i2023(2+z)=2−i，则z=（ ）
A．−1+2iB．−1−2iC．1+2iD．1−2i
四、培优(共8题；共40分)
23．（5分）（2023高一下·资阳期末）复数6(cs4π3+isin4π3)=（ ）
A．−3−33iB．−33−3iC．−3+33iD．3−33i
24．（5分）（2023高二下·温州期末）复数z的实部与虚部互为相反数，且满足z+a=1+5i1−i，a∈R，则复数z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
25．（5分）（2023高一下·余姚期末）若复数z=a2−4+(a−2)i为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．2B．2或-2C．-2D．-4
26．（5分）（2023高一下·深圳期中）复数z=(1+3i)3(2+2i)2+3+i2−i，则z的虚部是（ ）
A．2B．2iC．iD．−2
27．（5分）（2023高三下·吉林）已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（ ）
A．a=1，b=−3B．a=−1，b=3
C．a=−1，b=−3D．a=1，b=3
28．（5分）设有下面四个命题
p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1，z2∈R，则z1=z2；
p4：若复数z∈R，则z∈R．
其中的真命题为（ ）
A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4
29．（5分）已知b为实数，并且1+i2+bi+12的实部与虚部系数相等，则b的值是（ ）
A．b=2B．b=−2C．b=±2D．b=0
30．（5分）（2023·广州模拟）下列关于某个复数z的说法中，①z2=|z|2②1z∈R③|z−i|=12④z∈R有且只有一个说法是错误的，则错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵i5=i×i4=i，i2=−1
∴z=2+i1+i2+i5=2+ii=(2+i)ii2=2i−1−1=1−2i
∴z=1+2i
故选：B.
【分析】由虚数i的性质化简，依据复数除法运算计算z及其共轭复数z得出答案.
2．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ∵z=i⋅(1−i)=i−i2=1+i，∴其虚部为1，故选择A.
故答案为：A.
【分析】根据复数乘法运算求 z，再写出其虚部.
3．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由 (1−2i)z=2i 得 z=2i1−2i=2i1+2i1−2i1+2i=2i+4i21−4i2=−45+25i
故 z= −45−25i
故答案为：D.
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的定义可得答案.
4．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：化简复数z=a+i1−i可得：z=a+i1−i=a+i1+i1−i1+i=a−12+12i，因为z=a+i1−i为纯虚数，所以a−12=0，即a=12.
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘除运算化简复数z为z=a+i1−i=a−12+12i，再根据其为纯虚数，实部为0即可求解.
5．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 z=(1+i)(2−i)=3+i，
故选：C.
【分析】根据复数虚部的概念以及复数代数形式的乘法运算即可求解.
6．【答案】B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】 ∵zi=3+4i，
∴z=3+4ii=4−3i，
∴z=4+3i ，
∴A 错误，
|z|=42+32=5，
∴B正确，
z⋅z=25，
∴C错误，
z2=7−24i，
∴D正确，
故选：BD.
【分析】根据复数的运算法则，求出复数z=3+4ii=4−3i，逐项化简判断即可.
7．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 z(1−i)=(1+i)2=2i，则z=2i1−i=2i(1+i)1−i(1+i)=−1+i，
所以 复数z的虚部为 1.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用复数的四则运算可得z=−1+i，进而根据虚部的概念分析求解.
8．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 z=53+4i=53−4i3+4i3−4i=35−45i，
所以复数z的虚部为−45.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法可得z，进而结合复数的相关概念理解判断.
9．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为(1−i)z=1+i，所以z=1+i1−i=(1+i)21−i1+i=2i2=i.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用复数的除法运算求解即可.
10．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 3+ii=1−3i，
所以 复数3+ii在复平面内对应的点位于 为1，−3，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的除法整理 3+ii，再结合复数的几何意义分析判断.
11．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】∵i2=−1，∴51+i32+i2−i=51−i4−i2=1−i
故选：C
【分析】利用复数乘法运算计算由i2=−1得出答案。
12．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】∵z=1−i2+2i=(1−i)22(1+i)(1−i)=−2i4=−i2，∴z=i2，
则z−z=−i2−i2=−i.
故选：A
【分析】 识记共轭复数的表达式z=a−bi，并熟练掌握复数乘除积运算1z=zzz=za2+b2
13．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 iz=4+3i ，所以Z＝4+3ii=4i−3−1=3−4i。
故答案为：C
【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。
14．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：z=3+2i1−i2=3+2i−2i=3+2ii−2ii=−2+3i2=−1+32i
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
15．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i ，所以 z=i .
故答案为：D
【分析】先利用除法运算求得 z ，再利用共轭复数的概念得到z即可.
16．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 【解答】首先求出 Z=i(2+i)=−1+2i, 则 −Z=−1−2i ，
故答案为：D
【分析】根据题意整理原式，再结合共轭复数的定义求出即可。
17．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可得：z=1+2i1−3i=(1+2i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=−12+12i，则z=−12−12i，
所以z的共轭复数z在复平面内对应的点为(−12，−12)，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法求得z=−12+12i，进而可得共轭复数z，结合复数的几何意义分析判断.
18．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 z=a+i1+i=a+i1−i1+i1−i=a+12+1−a2i，
若z为纯虚数，则a+12=01−a2≠0，解得a=−1.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算可得z=a+12+1−a2i，再结合纯虚数的概念列式求解即可.
19．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为 z(1−i)=3+i ，则z=3+i1−i=3+i1+i1−i1+i=1+2i，
可得z=1−2i，所以 z的虚部为−2.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法可得 z ，进而结合复数的相关概念分析判断.
20．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意得 z=52−i−2i=52+i2−i2+i−2i=2+i−2i=2−i，∴z=2+i.
故答案为：B.
【分析】先利用复数除法求z，进而写出z得到答案.
21．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由已知条件可得z=i−3+i1−i=i−3+i1+i1−i1+i=i−1+2i=−1−i，所以z=-1+i
故答案为：D
【分析】先把z化简，再根据共轭复数的定义即可求出答案.
22．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由i2023(2+z)=2−i得z=2−ii2023−2
∵i2=−1，i3=−i，i4=1，i5=i，又2023=4×505+3，∴i2023=−i'
∴z=2−ii2023−2=2−i−i−2=2i+1−2=−1+2i，
∴z=−1−2i
故答案为：B
【分析】利用复数四则运算先化简 i2023(2+z)=2−i 求z，进而写出 z。
23．【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值；复数的三角形式
【解析】【解答】解：因为cs4π3=cs(π+π3)=−csπ3=−12，sin4π3=sin(π+π3)=−sinπ3=−32
所以6(cs4π3+isin4π3)=6(−12−32i)=−3−33i.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式以及特殊角三角函数求出三角函数值即可求得复数.
24．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】∵z+a=1+5i1−i，
∴z+a=−4+6i，
∵复数z的实部与虚部互为相反数，a∈R，
∴z=−6+6i
∴复数z在复平面上对应的点位于第二象限，
故选：B.
【分析】根据复数的运算法则化简求出z+a=−4+6i，根据题意求出z=−6+6i，即可求出答案.
25．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】复数z=a2-4+(a-2)i为纯虚数，则
a2−4=0a−2≠0，解得a=-2.
故选：C.
【分析】本题考试纯虚数的定义，根据纯虚数的定义，得到方程组a2−4=0a−2≠0，求解即可.
26．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】1+3i3=1+3i21+3i=−2+23i1+3i=−21−3i1+3i=−8， 2+2i2=22+2×2×2i+2i2=4+8i−4=8i，
则 z=(1+3i)3(2+2i)2+3+i2−i=−88i+3+i2+i2−i2+i=i+1+i=1+2i，
故z=1−2i， 则z的虚部是 -2
故选：D
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数、虛部的定义，即可求解出答案.
27．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】∵ a+3i=(b+i)i=bi−1，∴a=−1b=3
故答案为：B
【分析】等号两边复数相等即实部与虚部都相等代入求解。
28．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：对于p1：
设z=a+bi（a，b∈R），
则1z=1a+bi=a−bia2+b2，
若1z∈R，
则b=0，
故z=a∈R，故p1正确；
对于p2：令z=i，满足z2∈R，但z∉R，故p2错误；
对于p3：不妨令z1=i，z2=2i，满足z1z2∈R，但z1，z2不为共轭复数，故p3错误；
对于p4：设z=a+bi（a，b∈R），
z=a−bi， 若z∈R，
则b=0，z=a∈R，故p4正确；
故选：B.
【分析】 结合共轭复数的定义，复数的四则运算，以及特殊值法，逐一分析四个命题的真假，即可得出答案．
29．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵1+i2+bi+12=2+b4+b2+12+2−b4+b2i，
∴2+b4+b2+12=2−b4+b2，
∴b2+4b+4=0，
∴b=-2.
故选：B.
【分析】先化简，根据实部与虚部系数相等，可解出b的值.
30．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】设z=a+bi，a，b∈R，
对于① ：因为z2=a+bi2=a2−b2+2abi，z2=a2+b2，
若z2=z2，则a2+b2=a2−b22ab=0，解得b=0；
对于② ：因为1z=1a+bi=a−bia+bia−bi=aa2+b2−ba2+b2i，
若1z∈R，则ba2+b2=0，解得b=0；
对于③：因为z−i=12，表示复平面中复数z对应的点Za，b到点0，1的距离为1，
符合条件的点Z是以点0，1为圆心，半径为1的圆，所以a2+b−12=1；
对于④：因为z=a−bi，
若z∈R，则b=0；
可知①②④结果相同，由题意可知①②④正确，③错误.
故答案为：C.
【分析】对于① ：根据复数的乘法和模长公式运算求解；对于② ：根据复数的除法结合复数的相关概念运算求解；对于③：根据复数的几何意义分析求解；对于④：根据共轭复数的定义分析求解.