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2023-2024学年广东省广州113中九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省广州113中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝4或x＝0D．x＝0
2．观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
4．若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m＞D．m＜
5．若抛物线的开口向上，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．1
6．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
7．下列命题正确的有（ ）
①长度相等的两条弧是等弧；
②弦的垂直平分线必过圆心；
③平分弦的直径垂直于弦；
④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
9．函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中正确的是（ ）
①ac＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；
③a+b+c＜0；
④当x＞1时，y随x的增大而增大．
A．①③B．②④C．①②④D．②③④
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，6）关于原点对称点P'的坐标是 ．
12．抛物线y＝2x2﹣4x+3的顶点坐标是 ．
13．若抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ．
14．已知3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
15．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），连接CD，连接AE．下列结论：①△BDC≌△AEC；②四边形AECD的面积是a2；③若∠BDC＝105°，则；④AD2+BD2＝2CD2．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
18．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
19．（6分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（0，﹣3），且对称轴为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．
20．（6分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，CD＝24cm，求⊙O的直径．
21．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
22．（8分）已知抛物线y＝x2+2mx﹣（m＞0）
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且AB＝6，求m的值．
23．新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
24．（12分）如图1，等边△ABC中，DE∥BA分别交BC、AC于点D、E．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°），设直线AE与直线BD相交于点F．
①如图2，当0°＜θ＜180°时，判断∠AFB的度数是否为定值，求出该定值；若不是；
②若AB＝7，CD＝3，当B，D，求BD的长．
25．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为3，求a的值；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象
2023-2024学年广东省广州113中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.）
1．方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝4或x＝0D．x＝0
【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x＝0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．
解：原方程可化为：x2﹣4x＝3，提取公因式：x（x﹣4）＝0，
∴x＝6或x＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法．
2．观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念求解．
解：根据中心对称图形的概念，观察可知，
第一个不是轴对称图形，是中心对称图形；
第二个既是轴对称图形，也是中心对称图形；
第三个既是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，不是中心对称图形．
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
3．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【分析】根据根与系数关系求出即可．
解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝4的两根，
∴x1+x2＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数关系的应用，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
4．若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m＞D．m＜
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m不等式，求出m的取值范围．
解：∵a＝1，b＝1，
∴Δ＝b3﹣4ac＝16﹣4×1×（﹣6m）＝1+12m＞0，
解得m＞．
故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
5．若抛物线的开口向上，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．1
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
解：∵抛物线的开口向上，
∴m2﹣2＝2，m+1＞0，
∴m＝±5，m＞﹣1，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义和性质，掌握二次函数的定义和性质的解题的关键．
6．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
【分析】△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC为旋转角，可利用△AOC的三边关系解答．
解：如图，设小方格的边长为1，得，
OC＝＝，AO＝＝，
∵OC2+AO7＝+＝16，
AC2＝44＝16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转前后对应角相等，本题也可通过两角互余的性质解答．
7．下列命题正确的有（ ）
①长度相等的两条弧是等弧；
②弦的垂直平分线必过圆心；
③平分弦的直径垂直于弦；
④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据圆的性质进行判断后即可确定正确的选项．
解：①长度相等的两条弧是等弧，不符合题意；
②弦的垂直平分线必过圆心，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，不符合题意，
④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分，不符合题意；
正确的1个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定理及定义，难度不大．
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
【分析】先利用互余计算出∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，再根据旋转的性质得∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠CA′B′＝∠CAB＝30°，则可判断△ACA′为等腰直角三角形，则∠CA′A＝45°，然后利用∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′进行计算即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，
∴△ACA′为等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝45°，
∴∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
9．函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．
解：∵在y＝ax﹣2，
∴b＝﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞4时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中正确的是（ ）
①ac＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；
③a+b+c＜0；
④当x＞1时，y随x的增大而增大．
A．①③B．②④C．①②④D．②③④
【分析】根据抛物线的图象与性质即可求出答案．
解：①由图可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜6，故①错误；
②由抛物线与x轴的交点的横坐标为﹣1与3，
∴方程ax4+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝3，故②正确；
③由图可知：x＝8时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故③正确；
④由图象可知：对称轴为：x＝＝2，
∴x＞1时，y随着x的增大而增大；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，6）关于原点对称点P'的坐标是 （2，﹣6） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），进而得出点P'的坐标，即可得出答案．
解：∵点P（﹣2，6）关于原点的对称点P'，
∴点P''坐标为（2，﹣6），
故答案为：（2，﹣7）．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．抛物线y＝2x2﹣4x+3的顶点坐标是 （1，1） ．
【分析】已知抛物线解析式为一般式，利用公式法可求顶点坐标，也可以用配方法求解．
解：解法1：利用公式法
y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1．
解法2：利用配方法
y＝6x2﹣4x+2＝2（x2﹣7x+1）+1＝5（x﹣1）2+8，故顶点的坐标是（1．
【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值通常有两种方法：（1）公式法；（2）配方法．
13．若抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是 y＝﹣（x+2）2﹣4 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：根据题意知，由“左加右减”的原则可知2向左平移2个单位所得到的抛物线为y＝﹣（x+2）2，
又“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣（x+2）3向下平移4个单位所得到的抛物线为y＝﹣（x+2）6﹣4．
故答案为：y＝﹣（x+2）3﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
14．已知3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 1 ．
【分析】设另一个根为t，根据根与系数的关系得到3+t＝4，然后解一次方程即可．
解：设另一个根为t，
根据题意得3+t＝4，
解得t＝6，
则方程的另一个根为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 0或﹣1 ．
【分析】令y＝0，则关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根，所以k＝0或根的判别式Δ＝0，借助于方程可以求得实数k的值．
解：令y＝0，则kx2+5x﹣1＝0．
∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，
∴关于x的方程kx4+2x﹣1＝5只有一个根．
①当k＝0时，2x﹣3＝0，∴原方程只有一个根；
②当k≠0时，△＝4+7k＝0，
解得，k＝﹣1．
综上所述，k＝6或﹣1．
故答案为：0或﹣8．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要对函数y＝kx2+2x﹣1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），连接CD，连接AE．下列结论：①△BDC≌△AEC；②四边形AECD的面积是a2；③若∠BDC＝105°，则；④AD2+BD2＝2CD2．其中正确的结论是 ①③④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】首先通过SAS证明△BDC≌△AEC，然后利用全等三角形的性质可逐一判断．
解：由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
故①正确；
∵△BDC≌△AEC，
∴S△BDC＝S△AEC，
∴S四边形AECD＝S△BDC+S△ACD，
即S四边形AECD＝S△ACB＝AC•BC＝a2，
故②错误；
连接DE，
∵△BDC≌△AEC，
∴∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠B＝45°，
∵∠BDC＝105°，
∴∠AEC＝105°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAB＝90°，
∴tan∠AED＝，
∴AD＝BD，
故③正确；
∵∠EAD＝90°，∠ECD＝90°，
∴AE2+AD5＝DE2＝CE2+CD3，
∴AD2+BD2＝7CD2，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠EAD＝90°是解题的关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：∵x2﹣4x﹣6＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣6x+4＝1+6，
∴（x﹣2）2＝6，
∴x＝2±，
∴x4＝2+，x3＝2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1；
（2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
解：（1）△AB 1C 1如图所示；
（2）△A 2B 2C 2如图所示．
【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
19．（6分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（0，﹣3），且对称轴为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．
【分析】（1）根据已知条件求出b，c即可；
（2）令（1）解析式中的y＝0，解方程即可．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∵对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
解得b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝7，则x2﹣2x﹣6＝0，
解得x1＝﹣6，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣8，0）和（3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是求出抛物线解析式．
20．（6分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，CD＝24cm，求⊙O的直径．
【分析】由垂径定理知，点E是CD的中点，AE＝CD＝12，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得半径，则直径即可求解．
解：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣8（cm），
在Rt△OCE中，OC6＝OE2+CE2，
∴x6＝122+（x﹣8）6，
解得：x＝13，
∴⊙O的半径为13cm，
∴⊙O的直径为26cm．
故答案为：26．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
21．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2＝第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；
（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）＝第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．
解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
10000×（1+x）2＝12100，
解得x7＝0.1，x7＝﹣2.1（不合题意，舍去）；
答：捐款增长率为10%．
（2）12100×（5+10%）＝13310元．
答：第四天该单位能收到13310元捐款．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2＝第三天收到捐款钱数．
22．（8分）已知抛物线y＝x2+2mx﹣（m＞0）
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且AB＝6，求m的值．
【分析】（1）判断即可得证；
（2）先求出A、B的坐标，然后根据AB＝6得出关于m的方程，最后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵，
又∵m＞0，
∴9m3＞0，即Δ＞0，
∴知抛物线与x轴必有两个交点；
（2）解：令y＝8，则，
∴，
∴或，
∴，，
∵点A在点B的左侧，m＞2，
∴，，
∴，
又∵AB＝7，
∴3m＝6，
∴m＝8．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系，因式分解解一元二次方程是解题的关键．
23．新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【分析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，即可求解；
（2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数），即可求解．
解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，
由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数），
∵﹣4＜0．故w有最大值，w的最大值为265，w的最小值为229，
故本次购买至少准备229元，最多准备265元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．
24．（12分）如图1，等边△ABC中，DE∥BA分别交BC、AC于点D、E．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°），设直线AE与直线BD相交于点F．
①如图2，当0°＜θ＜180°时，判断∠AFB的度数是否为定值，求出该定值；若不是；
②若AB＝7，CD＝3，当B，D，求BD的长．
【分析】（1）先判断出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，进而得出∠EDC＝∠ABC＝60°，∠DEC＝∠BAC＝60°，即可得出结论；
（2）①先判断出△BCD≌△ACE（SAS），得出∠CBD＝∠CAE，进而得出答案；
②Ⅰ、当B，D，E三点共线，且DE在BC上方时．过点C作CF⊥DE于F，求出，，进而求出BF＝，即可得出答案；
Ⅱ、当B，D，E三点共线，且DE在BC下方时，同Ⅰ的方法，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵DE∥BA，
∴∠EDC＝∠ABC＝60°，∠DEC＝∠BAC＝60°．
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：①∠AFB的度数是定值，理由如下：如图2，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE，
又∵∠1＝∠6，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°，
②Ⅰ、当B，D，且DE在BC上方时，
过点C作CF⊥DE于F，
在Rt△CDF中，CD＝3．
∴，；
在Rt△BCF中，，
∴；
Ⅱ、当B，D，且DE在BC下方时，
过点C作CF⊥DE于F，
．
，
综上所述，BD＝5或4．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键．
25．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为3，求a的值；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象
【分析】（1）令x＝0可求点A坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴．
（2）根据抛物线开口方向及对称轴为直线，分类讨论x＝﹣1时y取最大值或抛物线顶点纵坐标为最大值．
（3）由点P为顶点，点Q在直线y＝1上运动，通过数形结合求解．
解：（1）令x＝0，则y＝1，
∴A（6，1），
∵，
∴抛物线的对称轴为．
（2）∵，
∴抛物线顶点坐标为（，），
①当a＞6时，抛物线开口向上，
∵﹣（﹣2）＞2﹣，
∴x＝﹣1时，y＝a+3a+5＝4a+1为最大值，
即8a+1＝3，
解得a＝．
②当a＜0时，抛物线开口向下，
时，y取最大值．
∴，
解得．
综上所述，或．
（3）∵抛物线y＝ax3﹣3ax+1的对称轴为．
设点A关于对称轴的对称点为点B，
∴B（3，6）．
∵Q（a+1，1），
∴点Q，A，B都在直线y＝2上．
①当a＞0时，如图，
当点Q在点A的左侧（包括点A）或点Q在点B的右侧（包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∴a+1≤7或a+1≥3．
∴a≤﹣7（不合题意，舍去）或a≥2．
②当a＜0时，如图，不包括点B）时．
∴5≤a+1＜3．
∴﹣8≤a＜2．
又∵a＜0，
∴﹣3≤a＜0．
综上所述，a的取值范围为﹣1≤a＜7或a≥2．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解．
1．方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝4或x＝0D．x＝0
2．观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
4．若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m＞D．m＜
5．若抛物线的开口向上，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．1
6．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
7．下列命题正确的有（ ）
①长度相等的两条弧是等弧；
②弦的垂直平分线必过圆心；
③平分弦的直径垂直于弦；
④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
9．函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中正确的是（ ）
①ac＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；
③a+b+c＜0；
④当x＞1时，y随x的增大而增大．
A．①③B．②④C．①②④D．②③④
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，6）关于原点对称点P'的坐标是 ．
12．抛物线y＝2x2﹣4x+3的顶点坐标是 ．
13．若抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ．
14．已知3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
15．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），连接CD，连接AE．下列结论：①△BDC≌△AEC；②四边形AECD的面积是a2；③若∠BDC＝105°，则；④AD2+BD2＝2CD2．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
18．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
19．（6分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（0，﹣3），且对称轴为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．
20．（6分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，CD＝24cm，求⊙O的直径．
21．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
22．（8分）已知抛物线y＝x2+2mx﹣（m＞0）
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且AB＝6，求m的值．
23．新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
24．（12分）如图1，等边△ABC中，DE∥BA分别交BC、AC于点D、E．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°），设直线AE与直线BD相交于点F．
①如图2，当0°＜θ＜180°时，判断∠AFB的度数是否为定值，求出该定值；若不是；
②若AB＝7，CD＝3，当B，D，求BD的长．
25．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为3，求a的值；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象
2023-2024学年广东省广州113中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.）
1．方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝4或x＝0D．x＝0
【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x＝0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．
解：原方程可化为：x2﹣4x＝3，提取公因式：x（x﹣4）＝0，
∴x＝6或x＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法．
2．观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念求解．
解：根据中心对称图形的概念，观察可知，
第一个不是轴对称图形，是中心对称图形；
第二个既是轴对称图形，也是中心对称图形；
第三个既是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，不是中心对称图形．
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
3．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【分析】根据根与系数关系求出即可．
解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝4的两根，
∴x1+x2＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数关系的应用，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
4．若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m＞D．m＜
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m不等式，求出m的取值范围．
解：∵a＝1，b＝1，
∴Δ＝b3﹣4ac＝16﹣4×1×（﹣6m）＝1+12m＞0，
解得m＞．
故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
5．若抛物线的开口向上，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．1
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
解：∵抛物线的开口向上，
∴m2﹣2＝2，m+1＞0，
∴m＝±5，m＞﹣1，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义和性质，掌握二次函数的定义和性质的解题的关键．
6．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
【分析】△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC为旋转角，可利用△AOC的三边关系解答．
解：如图，设小方格的边长为1，得，
OC＝＝，AO＝＝，
∵OC2+AO7＝+＝16，
AC2＝44＝16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转前后对应角相等，本题也可通过两角互余的性质解答．
7．下列命题正确的有（ ）
①长度相等的两条弧是等弧；
②弦的垂直平分线必过圆心；
③平分弦的直径垂直于弦；
④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据圆的性质进行判断后即可确定正确的选项．
解：①长度相等的两条弧是等弧，不符合题意；
②弦的垂直平分线必过圆心，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，不符合题意，
④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分，不符合题意；
正确的1个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定理及定义，难度不大．
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
【分析】先利用互余计算出∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，再根据旋转的性质得∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠CA′B′＝∠CAB＝30°，则可判断△ACA′为等腰直角三角形，则∠CA′A＝45°，然后利用∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′进行计算即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，
∴△ACA′为等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝45°，
∴∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
9．函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．
解：∵在y＝ax﹣2，
∴b＝﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞4时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中正确的是（ ）
①ac＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；
③a+b+c＜0；
④当x＞1时，y随x的增大而增大．
A．①③B．②④C．①②④D．②③④
【分析】根据抛物线的图象与性质即可求出答案．
解：①由图可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜6，故①错误；
②由抛物线与x轴的交点的横坐标为﹣1与3，
∴方程ax4+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝3，故②正确；
③由图可知：x＝8时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故③正确；
④由图象可知：对称轴为：x＝＝2，
∴x＞1时，y随着x的增大而增大；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，6）关于原点对称点P'的坐标是 （2，﹣6） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），进而得出点P'的坐标，即可得出答案．
解：∵点P（﹣2，6）关于原点的对称点P'，
∴点P''坐标为（2，﹣6），
故答案为：（2，﹣7）．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．抛物线y＝2x2﹣4x+3的顶点坐标是 （1，1） ．
【分析】已知抛物线解析式为一般式，利用公式法可求顶点坐标，也可以用配方法求解．
解：解法1：利用公式法
y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1．
解法2：利用配方法
y＝6x2﹣4x+2＝2（x2﹣7x+1）+1＝5（x﹣1）2+8，故顶点的坐标是（1．
【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值通常有两种方法：（1）公式法；（2）配方法．
13．若抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是 y＝﹣（x+2）2﹣4 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：根据题意知，由“左加右减”的原则可知2向左平移2个单位所得到的抛物线为y＝﹣（x+2）2，
又“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣（x+2）3向下平移4个单位所得到的抛物线为y＝﹣（x+2）6﹣4．
故答案为：y＝﹣（x+2）3﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
14．已知3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 1 ．
【分析】设另一个根为t，根据根与系数的关系得到3+t＝4，然后解一次方程即可．
解：设另一个根为t，
根据题意得3+t＝4，
解得t＝6，
则方程的另一个根为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 0或﹣1 ．
【分析】令y＝0，则关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根，所以k＝0或根的判别式Δ＝0，借助于方程可以求得实数k的值．
解：令y＝0，则kx2+5x﹣1＝0．
∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，
∴关于x的方程kx4+2x﹣1＝5只有一个根．
①当k＝0时，2x﹣3＝0，∴原方程只有一个根；
②当k≠0时，△＝4+7k＝0，
解得，k＝﹣1．
综上所述，k＝6或﹣1．
故答案为：0或﹣8．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要对函数y＝kx2+2x﹣1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），连接CD，连接AE．下列结论：①△BDC≌△AEC；②四边形AECD的面积是a2；③若∠BDC＝105°，则；④AD2+BD2＝2CD2．其中正确的结论是 ①③④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】首先通过SAS证明△BDC≌△AEC，然后利用全等三角形的性质可逐一判断．
解：由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
故①正确；
∵△BDC≌△AEC，
∴S△BDC＝S△AEC，
∴S四边形AECD＝S△BDC+S△ACD，
即S四边形AECD＝S△ACB＝AC•BC＝a2，
故②错误；
连接DE，
∵△BDC≌△AEC，
∴∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠B＝45°，
∵∠BDC＝105°，
∴∠AEC＝105°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAB＝90°，
∴tan∠AED＝，
∴AD＝BD，
故③正确；
∵∠EAD＝90°，∠ECD＝90°，
∴AE2+AD5＝DE2＝CE2+CD3，
∴AD2+BD2＝7CD2，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠EAD＝90°是解题的关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：∵x2﹣4x﹣6＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣6x+4＝1+6，
∴（x﹣2）2＝6，
∴x＝2±，
∴x4＝2+，x3＝2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1；
（2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
解：（1）△AB 1C 1如图所示；
（2）△A 2B 2C 2如图所示．
【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
19．（6分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（0，﹣3），且对称轴为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．
【分析】（1）根据已知条件求出b，c即可；
（2）令（1）解析式中的y＝0，解方程即可．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∵对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
解得b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝7，则x2﹣2x﹣6＝0，
解得x1＝﹣6，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣8，0）和（3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是求出抛物线解析式．
20．（6分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，CD＝24cm，求⊙O的直径．
【分析】由垂径定理知，点E是CD的中点，AE＝CD＝12，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得半径，则直径即可求解．
解：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣8（cm），
在Rt△OCE中，OC6＝OE2+CE2，
∴x6＝122+（x﹣8）6，
解得：x＝13，
∴⊙O的半径为13cm，
∴⊙O的直径为26cm．
故答案为：26．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
21．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2＝第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；
（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）＝第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．
解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
10000×（1+x）2＝12100，
解得x7＝0.1，x7＝﹣2.1（不合题意，舍去）；
答：捐款增长率为10%．
（2）12100×（5+10%）＝13310元．
答：第四天该单位能收到13310元捐款．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2＝第三天收到捐款钱数．
22．（8分）已知抛物线y＝x2+2mx﹣（m＞0）
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且AB＝6，求m的值．
【分析】（1）判断即可得证；
（2）先求出A、B的坐标，然后根据AB＝6得出关于m的方程，最后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵，
又∵m＞0，
∴9m3＞0，即Δ＞0，
∴知抛物线与x轴必有两个交点；
（2）解：令y＝8，则，
∴，
∴或，
∴，，
∵点A在点B的左侧，m＞2，
∴，，
∴，
又∵AB＝7，
∴3m＝6，
∴m＝8．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系，因式分解解一元二次方程是解题的关键．
23．新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【分析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，即可求解；
（2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数），即可求解．
解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，
由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数），
∵﹣4＜0．故w有最大值，w的最大值为265，w的最小值为229，
故本次购买至少准备229元，最多准备265元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．
24．（12分）如图1，等边△ABC中，DE∥BA分别交BC、AC于点D、E．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°），设直线AE与直线BD相交于点F．
①如图2，当0°＜θ＜180°时，判断∠AFB的度数是否为定值，求出该定值；若不是；
②若AB＝7，CD＝3，当B，D，求BD的长．
【分析】（1）先判断出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，进而得出∠EDC＝∠ABC＝60°，∠DEC＝∠BAC＝60°，即可得出结论；
（2）①先判断出△BCD≌△ACE（SAS），得出∠CBD＝∠CAE，进而得出答案；
②Ⅰ、当B，D，E三点共线，且DE在BC上方时．过点C作CF⊥DE于F，求出，，进而求出BF＝，即可得出答案；
Ⅱ、当B，D，E三点共线，且DE在BC下方时，同Ⅰ的方法，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵DE∥BA，
∴∠EDC＝∠ABC＝60°，∠DEC＝∠BAC＝60°．
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：①∠AFB的度数是定值，理由如下：如图2，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE，
又∵∠1＝∠6，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°，
②Ⅰ、当B，D，且DE在BC上方时，
过点C作CF⊥DE于F，
在Rt△CDF中，CD＝3．
∴，；
在Rt△BCF中，，
∴；
Ⅱ、当B，D，且DE在BC下方时，
过点C作CF⊥DE于F，
．
，
综上所述，BD＝5或4．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键．
25．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为3，求a的值；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象
【分析】（1）令x＝0可求点A坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴．
（2）根据抛物线开口方向及对称轴为直线，分类讨论x＝﹣1时y取最大值或抛物线顶点纵坐标为最大值．
（3）由点P为顶点，点Q在直线y＝1上运动，通过数形结合求解．
解：（1）令x＝0，则y＝1，
∴A（6，1），
∵，
∴抛物线的对称轴为．
（2）∵，
∴抛物线顶点坐标为（，），
①当a＞6时，抛物线开口向上，
∵﹣（﹣2）＞2﹣，
∴x＝﹣1时，y＝a+3a+5＝4a+1为最大值，
即8a+1＝3，
解得a＝．
②当a＜0时，抛物线开口向下，
时，y取最大值．
∴，
解得．
综上所述，或．
（3）∵抛物线y＝ax3﹣3ax+1的对称轴为．
设点A关于对称轴的对称点为点B，
∴B（3，6）．
∵Q（a+1，1），
∴点Q，A，B都在直线y＝2上．
①当a＞0时，如图，
当点Q在点A的左侧（包括点A）或点Q在点B的右侧（包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∴a+1≤7或a+1≥3．
∴a≤﹣7（不合题意，舍去）或a≥2．
②当a＜0时，如图，不包括点B）时．
∴5≤a+1＜3．
∴﹣8≤a＜2．
又∵a＜0，
∴﹣3≤a＜0．
综上所述，a的取值范围为﹣1≤a＜7或a≥2．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解．
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