2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）以下是历届亚运会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．（3x）2＝6x2B．a2•a4＝a8
C．（a2）4＝a6D．（﹣ab3）2＝a2b6
3．（4分）如图，为了估计池塘两岸A，B之间的距离，测得PA＝10m，PB＝5m，B间的距离不可能是（ ）
A．4mB．9mC．11mD．14m
4．（4分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，则∠A＝（ ）
A．95°B．85°C．75°D．65°
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7B．2x﹣x＝2
C．5m2•m3＝5m5D．（y+1）2＝y2+1
6．（4分）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度a＝10cm（ ）
A．50cmB．60cmC．70cmD．80cm
7．（4分）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800°B．1440°C．1080°D．720°
8．（4分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
9．（4分）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．△EBA和△EDC一定是全等三角形
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC；③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC△AEF：S△FDC＝AF：FC．
A．①②③B．①③④C．②③⑤D．①③④⑤
二、填空题（共6题，24分）
11．（4分）（1）a2a5＝ ；
（2）（x3）2＝ ；
（3）﹣5a2b•3a＝ ；
（4）2b（4a﹣b2）＝ ．
12．（4分）如图，这是蜡烛的平面镜成像的原理图，若以桌面为x轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是（﹣4，2），那么此时对应的虚像顶尖S′点的坐标是 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DC＝AD，则点D到AB的距离等于 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，则CD的长度为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，等腰△ABC面积为12，则△BDE的周长的最小值为 ．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2．D为BC上一动点，连接AD，AB于点E，F，则线段BF长的最大值是 ．
三、解答题（共9题，共86分）
17．（8分）计算：
（1）8x3（1﹣5xy2）；
（2）（x+8y）（x﹣y）
18．（8分）如图，某海岸沿线有A，B两个码头，D，航线AC与BD相交于点O，经测量，OA＝OB，求证：∠D＝∠C．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣3，1），C（﹣2，1）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'．
（2）A'、B'、C'的坐标分别为 ； ； ．
（3）△ABC的面积是 ．
20．（8分）如图，△ABC为等边三角形，边长为3．
（1）尺规作图：请画出边AC的中点D（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）延长BC至E，连接DE，DB，求CE的长．
21．（8分）如图，△ABC中，∠ABC的平分线上有一点D，点E在边BC上，BE＝AB
22．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DF⊥AC，垂足分别为E
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求AB的长．
23．我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，请直接写出∠B的度数．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图1，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 ；
（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，OB＝BF，∠OBF＝90°，点B在y轴正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，若变化，求其取值范围．
25．如图1，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，CE．
（1）若∠BDA＝65°，求∠DAC的度数；
（2）如图2，延长BD，EC交于点M，
①证明：A，M，H在同一条直线上；
②若BC＝2CM，证明：BD＝HD．
2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，40分）
1．（4分）以下是历届亚运会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、B，C选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．（3x）2＝6x2B．a2•a4＝a8
C．（a2）4＝a6D．（﹣ab3）2＝a2b6
【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则计算即可作出判断．
解：A、（3x）2＝8x2，故本选项不符合题意；
B、a2•a4＝a6，故本选项不符合题意；
C、（a2）6＝a8，故本选项不符合题意；
D、（﹣ab3）4＝a2b6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（4分）如图，为了估计池塘两岸A，B之间的距离，测得PA＝10m，PB＝5m，B间的距离不可能是（ ）
A．4mB．9mC．11mD．14m
【分析】根据三角形的三边关系求出AB的范围，判断即可．
解：在△APB中，PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
则5m＜AB＜15m，
∴A，B间的距离不可能是4m，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4．（4分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，则∠A＝（ ）
A．95°B．85°C．75°D．65°
【分析】根据角平分线的定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7B．2x﹣x＝2
C．5m2•m3＝5m5D．（y+1）2＝y2+1
【分析】利用合并同类项法则，单项式乘单项式法则，完全平方公式将各项计算后进行判断即可．
解：a3与a4不是同类项，无法合并；
7x﹣x＝x，则B不符合题意；
5m2•m4＝5m5，正确，则C符合题意；
（y+5）2＝y2+8y+1，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，单项式乘单项式及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（4分）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度a＝10cm（ ）
A．50cmB．60cmC．70cmD．80cm
【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD≌△CBE（AAS），由此即可求解．
解：由题意得：∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DE＝CD+CE＝8a+4a＝7a．
∵a＝10cm，
∴4a＝70cm，
∴DE＝70cm．
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，此题是与三角形全等有关的应用题，是很好的练习题．
7．（4分）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800°B．1440°C．1080°D．720°
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
解：正n边形的一个内角＝（360°﹣60°）÷2＝150°，
则150°n＝（n﹣2）•180°，
解得n＝12，
∴（12﹣3）•180°＝1800°，
故选：A．
【点评】本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
8．（4分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
【分析】根据长方形的面积分别表示大长方形和小长方形的面积，再进行相减即可．
解：剩余部分面积：
（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+2）
＝6ab﹣3a+3b﹣2﹣2ab﹣6b
＝4ab﹣3a﹣7；
故选：B．
【点评】本题考查了多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘，掌握这两个运算法则，去括号时注意符号的变化是解题关键．
9．（4分）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．△EBA和△EDC一定是全等三角形
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
【分析】根据轴对称的性质可以得出DC＝DC′，BC′＝BC，∠DBC＝∠DBC′，再由矩形的性质就可以得出∠EBD＝∠EDB，就可以得出BE＝DE，得出△EBD是等腰三角形，进而可以由AAS证明△EBA≌△EDC，就可以得出折叠后的图形关于BD的中垂线对称，从而得出结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
∵△DBC与△DBC′关于BD对称，
∴△DBC≌△DBC′，
∴DC＝DC′，BC′＝BC，∠C＝∠C′．
∴AB＝C′D，∠A＝∠C′，
∴BE＝DE，
∴△EBD是等腰三角形．故A正确．
在△AEB和△C′ED中，
，
∴△AEB≌△C′ED（AAS），故B正确，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形．
∵∠DBC＝∠DBC′，
∴∠ABE和∠CBD不一定相等．故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，轴对称的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC；③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC△AEF：S△FDC＝AF：FC．
A．①②③B．①③④C．②③⑤D．①③④⑤
【分析】由∠ABC＝60°，得∠DAC+∠ECA＝（∠BAC+∠ACB）＝60°，则∠AFC＝180°﹣（∠DAC+∠ECA）＝120°，可判断①正确；作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，则DG＝DH，因为AB与AC不一定相等，且S△ABD＝AB•DG，S△ADC＝AC•DH，所以S△ABD与S△ADC不一定相等，可判断②错误；延长CE到点K，使KE＝CE，连接BK，可证明△BKE≌△ACE，得∠K＝∠ACE，BK＝AC，而∠BCE＝∠ACE，所以∠BCE＝∠K，则BK＝BC，所以AC＝BC，则CE⊥AB，可判断③正确；在AC上截取AL＝AE，连接FL，可证明△ALF≌△AEF，得∠AFL＝∠AFE＝60°，则∠CFL＝∠CFD，再证明△FLC≌△FDC，得CL＝CD，则CD+AE＝CL+AL＝AC，可判断④正确；作LM⊥FA于点M，LN⊥FC于点N，因为∠AFL＝∠CFL，所以LM＝LN，即可证明＝＝＝，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．
解：∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠DAC＝∠BAC∠ACB，
∴∠DAC+∠ECA＝（∠BAC+∠ACB）＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠DAC+∠ECA）＝120°，
故①正确；
如图1，作DG⊥AB于点G，则DG＝DH，
∵AB与AC不一定相等，
∴AB•DG与，
∵S△ABD＝AB•DG，S△ADC＝AC•DH，
∴S△ABD与S△ADC不一定相等，
故②错误；
如图1，延长CE到点K，连接BK，
∵AB＝2AE，
∴BE＝AE，
在△BKE和△ACE中，
，
∴△BKE≌△ACE（SAS），
∴∠K＝∠ACE，BK＝AC，
∵∠BCE＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠K，
∴BK＝BC，
∴AC＝BC，
∴CE⊥AB，
故③正确；
如图2，在AC上截取AL＝AE，
∵∠AFC＝120°，
∴∠AFE＝∠CFD＝180°﹣∠AFC＝60°，
在△ALF和△AEF中，
，
∴△ALF≌△AEF（SAS），
∴∠AFL＝∠AFE＝60°，
∴∠CFL＝∠AFC﹣∠AFL＝60°，
∴∠CFL＝∠CFD，
在△FLC和△FDC中，
，
∴△FLC≌△FDC（ASA），
∴CL＝CD，
∴CD+AE＝CL+AL＝AC，
故④正确；
如图2，作LM⊥FA于点M，
∵∠AFL＝∠CFL，
∴LM＝LN，
∴＝＝，
∵S△ALF＝S△AEF，S△FLC＝S△FDC，
∴＝，即S△AEF：S△FDC＝AF：FC，
故⑤正确，
故选：D．
【点评】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（共6题，24分）
11．（4分）（1）a2a5＝ a7 ；
（2）（x3）2＝ x6 ；
（3）﹣5a2b•3a＝ ﹣15a3b ；
（4）2b（4a﹣b2）＝ 8ab﹣2b3 ．
【分析】（1）根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加；
（2）根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算；
（3）根据单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则，进行计算；
（4）按照单项式乘多项式法则进行计算即可．
解：（1）原式＝a2+5
＝a8，
故答案为：a7；
（2）原式＝（x3）8
＝x6，
故答案为：x6；
（3）原式＝[（﹣7）×3]•（a2•a）•b
＝﹣15a3b，
故答案为：﹣15a3b；
（4）原式＝2b•8a﹣2b•b2
＝3ab﹣2b3，
故答案为：6ab﹣2b3．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方和单项式乘单项式法则等运算法则．
12．（4分）如图，这是蜡烛的平面镜成像的原理图，若以桌面为x轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是（﹣4，2），那么此时对应的虚像顶尖S′点的坐标是 （4，2） ．
【分析】根据平面镜成像原理，点S与S'关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征可得答案．
解：∵点S与S'关于y轴对称．
∴此时对应的虚像顶尖S′点的坐标是（4，2）．
故答案为：（6，2）．
【点评】本题考查了平面镜成像原理中坐标的轴对称，理解平面镜成像原理是解题关键．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DC＝AD，则点D到AB的距离等于 2 ．
【分析】由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
解：如图，过点D作DH⊥AB，
∵AC＝8，DC＝，
∴DC＝2，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DH＝2，
∴点D到AB的距离等于7，
故答案为2．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，则CD的长度为 2 ．
【分析】由BD⊥BC，推出∠CBD＝90°，所以∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，由AB＝BC，∠ABC＝120°，推出∠A＝∠C＝30°，所以∠A＝∠ABD，DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半．CD＝2BD＝2．
解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2BD＝8．
故答案为2．
【点评】本题考查了等腰三角形与含30度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，等腰△ABC面积为12，则△BDE的周长的最小值为 8 ．
【分析】连接AE，AD，利用线段垂直平分线的性质将BE转化为MN另一侧的AE，再利用两点之间线段最短得到BE+DE和的最小值为AD的长，从而求出△BDE的周长的最小值．
解：连接AE，AD，
∵直线MN垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵点D为BC的中点，BC＝4，
∴BD＝2，AD⊥BC，
∵△BDE的周长＝BD+EB+ED＝4+EA+ED≥2+AD，
∴△BDE的周长的最小值为AD的长；
∵＝12，
∴AD＝，
∴△BDE的周长的最小值为：7+6＝8．
故答案为：7．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，利用相关性质将BE+DE和的最小值转化为AD的长是关键．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2．D为BC上一动点，连接AD，AB于点E，F，则线段BF长的最大值是 ．
【分析】过点F作FH⊥BC于H，连接DF，设AF＝x，则BF＝4﹣x，结合含30°角的直角三角形的性质可得关于x的不等式，计算可求解AF的最小值，进而可求得BF的最大值．
解：过点F作FH⊥BC于H，连接DF，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴AB＝4，
∴FH＝BF＝2﹣x，
∴x≥2﹣x，
解得x≥，
∴AF最小值为 ，BF的最大值为3﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．
三、解答题（共9题，共86分）
17．（8分）计算：
（1）8x3（1﹣5xy2）；
（2）（x+8y）（x﹣y）
【分析】（1）利用单项式乘多项式法则计算即可；
（2）利用多项式乘多项式法则计算即可．
解：（1）原式＝8x3﹣40x4y2；
（2）原式＝x2﹣xy+5xy﹣8y2
＝x4+7xy﹣8y4．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（8分）如图，某海岸沿线有A，B两个码头，D，航线AC与BD相交于点O，经测量，OA＝OB，求证：∠D＝∠C．
【分析】证明△AOD≌△BOC（SAS），可得结论．
【解答】证明：∵AC＝BD，AO＝OB，
∴OD＝OC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠D＝∠C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣3，1），C（﹣2，1）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'．
（2）A'、B'、C'的坐标分别为 （﹣1，﹣4） ； （﹣3，﹣1） ； （﹣2，﹣1） ．
（3）△ABC的面积是 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）由图可得，A'（﹣1，B'（﹣3，C'（﹣2．
故答案为：（﹣1，﹣4），﹣8），﹣1）．
（3）△ABC的面积为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（8分）如图，△ABC为等边三角形，边长为3．
（1）尺规作图：请画出边AC的中点D（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）延长BC至E，连接DE，DB，求CE的长．
【分析】（1）根据“等腰三角形的三线合一”作图；
（2）根据等边三角形的性质和外角定理求解．
解：（1）如图所示：点D即为所求；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AC的中点D，
∴BD平分∠ABC，CD＝，
∴∠DBC＝30°，
∵DE＝DB，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CE＝CD＝5.5．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握等腰三角形的性质及外角定理是解题的关键．
21．（8分）如图，△ABC中，∠ABC的平分线上有一点D，点E在边BC上，BE＝AB
【分析】连接AD，CD．证明DA＝DE，DA＝DC，推出DE＝DC，可得结论．
【解答】证明：连接AD，CD．
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBE，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝DE，
∴DE＝DC，
∴点D在线段CE的垂直平分线上．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
22．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DF⊥AC，垂足分别为E
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求AB的长．
【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC，AB＝AC，求证∠B＝∠C．再利用D是BC的中点，求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据AB＝AC，∠A＝60°，得出△ABC为等边三角形．然后求出∠BDE＝30°，再根据题目中给出的已知条件即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
∴DE＝DF
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B＝60°，
∵∠BED＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD，
∵BE＝5，
∴BD＝2，
∴BC＝2BD＝7＝AB，
∴AB的长为4．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．
23．我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 30° ，△AOB 不是 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，请直接写出∠B的度数．
【分析】（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB＝90°，求得∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，得到∠OAB＝3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”；
（2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB＝∠O+∠OAC，求出∠OAC＝24°，∠ACO＝96°，所以∠ACO＝4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”；
（3）由∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，得到∠EFC＝∠ADC，可以证明AD//EF，得到∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B，得到∠B＝∠ADE，由DE//BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解．
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB不是“和谐三角形”；
故答案为：30°，不是；
（2）∵∠ACB是△AOC的一个外角，
∴∠ACB＝∠O+∠OAC，
又∠O＝60°，∠ACB＝84°
∴∠OAC＝24°，
∠ACO＝180°﹣84°＝96°，
∴∠ACO＝4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
（3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD//EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
而∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∵DE//BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC＝7∠B或者∠B＝4∠BDC
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°
∴∠B＝30°或者∠B＝80°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，以及平行线的性质，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图1，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 （0，3） ；
（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，OB＝BF，∠OBF＝90°，点B在y轴正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，若变化，求其取值范围．
【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于H，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝BO＝3，可求解；
（2）延长AB，CD交于点N，由“ASA”可证△ADN≌△ADC，可得CD＝DN，由“ASA”可证△ABM≌△CBN，可得AM＝CN，可得结论；
（3）如图③，作EG⊥y轴于G，由“AAS”可证△BAO≌△CBG，可得BG＝AO，CG＝OB，由“AAS”可证△CGP≌△FBP，可得PB＝PG，可得PB＝BG＝AO，由三角形面积公式可求解．
解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠BHC＝90°＝∠ABC，
∴∠BCH+∠CBH＝∠ABH+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝∠ABH，
∵点C的横坐标为﹣3，
∴CH＝8，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝BO＝3，
∴点B（0，5）；
故答案为：（0，3）；
（2）AM＝7CD，理由如下：
如图2，延长AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADN和△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（ASA），
∴CD＝DN，
∴CN＝2CD，
∵∠N+∠BAD＝90°，∠N+∠BCN＝90°，
∴∠BAD＝∠BCN，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴AM＝CN，
∴AM＝7CD；
（3）△BPC与△AOB的面积比不会变化，
理由：如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBG＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
在△BAO和△CBG中，
，
∴△BAO≌△CBG（AAS），
∴BG＝AO，CG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝GC，
在△CGP和△FBP中，
，
∴△CGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝，
∵S△AOB＝×OB×OA，S△PBC＝×PB×GC＝×，
∴S△PBC：S△AOB＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．如图1，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，CE．
（1）若∠BDA＝65°，求∠DAC的度数；
（2）如图2，延长BD，EC交于点M，
①证明：A，M，H在同一条直线上；
②若BC＝2CM，证明：BD＝HD．
【分析】（1）根据角的和差定义求解即可；
（2）①如图2中，连接AH，AM，过点A作AT⊥BM于点T，AK⊥EM于点K．分别证明AM平分∠DAC，AH平分∠DAC即可；
②如图3中，取BC的中点O，连接OM．证明∠BDH＝∠DHB＝30°，可得结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AD，∴∠ABD＝ADB＝65°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣50°＝40°；
（2）证明：①如图2中，连接AH，过点A作AT⊥BM于点T．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵AB＝AC＝AD＝AE，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∵AT⊥BD，AK⊥CE，
∴×BD×AT＝，
∴AT＝AK，
∴∠AMT＝∠AMK，
∴∠MAT＝∠MAK，
∵∠DAT＝∠BAT＝∠EAK＝∠CAK，
∴∠MAD＝∠MAC，
∴AM平分∠DAC，
∵∠TAK＝∠DAE＝90°，∠ATM＝∠AKM＝90°，
∴∠TMK＝90°，
∵∠CAF＝∠DAG，∠ACF＝∠ADG＝45°，
∴△ACF≌△ADG（ASA），
∴AF＝AG，
∵AD＝AC，
∴DF＝CG，
∵∠FDH＝∠GCH，∠DHF＝∠CHG，
∴△DHF≌△CHG（AAS），
∴HF＝HG，
∵AH＝AH，AF＝AG，
∴△AHF≌△AHG（SSS），
∴∠HAF＝∠HAG，
∴AH平分∠DAC，
∵AM平分∠DAC，
∴A，H，M共线；
②如图4中，取BC的中点O．
∵∠BMC＝90°，BO＝OC，
∴OM＝OB＝OC，
∵BC＝2CM，
∴CM＝OC＝OM，
∴△OCM是等边三角形，
∴∠OCM＝60°，∠CBM＝30°，
同法可知∠MDE＝60°，
∵∠MDE＝∠DBH+∠DHB，
∴∠BDH＝∠DHB＝30°，
∴DB＝DH．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．