2023-2024学年天津一中滨海学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津一中滨海学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，点，把方程x2﹣10x+9＝0化成，对于二次函数y＝2等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，点（2，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
3．若x＝2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
4．一元二次方程x2﹣4x＝5的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．1，4，5B．1，﹣4，5C．1，﹣4，﹣5D．1，4，﹣5
5．把方程x2﹣10x+9＝0化成（x+p）2＝q的形式时，p﹣q的值为（ ）
A．19B．﹣1C．11D．﹣21
6．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
7．对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时y随x的增大而减小
8．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，DE＝3，则AE的长为（ ）
A．B．5C．8D．4
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，BD，若∠C＝110°（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
10．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，∠BCA′＝45°，则∠A′BA等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
11．某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+40x）B．y＝（30﹣x）（200+20x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣40x）D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
①abc＜0； ②a﹣b+c＜0；③3b＜4c；
④b2﹣4ac＞0；⑤c＜2b；⑥4c﹣a＜8．
A．3个B．4个C．5个D．6个
二.填空题：本大题共6个小题，每小题3_2，共18分.
13．一元二次方程4x2＝3x的解是 ．
14．已知关于x的方程x2+mx+n＝0的两个根分别是1和﹣3，则m＝ ．
15．当m＝ 时，函数y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．
16．抛物线y＝﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，连接BB′，则BB′的长度为 ．
18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PB于点E，F，切点C在弧AB上，则△PEF的周长是 ．
三.解答题：本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19．（8分）解方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，求∠EFD的度数．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，且AB⊥CD于点E，CD＝8
22．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
23．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0）（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，得到矩形ADEF，点O，B，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．
2023-2024学年天津一中滨海学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．在平面直角坐标系中，点（2，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
解：在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．若x＝2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【分析】方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x＝2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0，就可以求出a的值．
解：把x＝2代入x2﹣ax+6＝0，得
22﹣2a+2＝4，
解得a＝3．
故选：A．
【点评】考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值．
4．一元二次方程x2﹣4x＝5的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．1，4，5B．1，﹣4，5C．1，﹣4，﹣5D．1，4，﹣5
【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
解：方程整理得：x2﹣4x﹣3＝0，
则二次项系数、一次项系数，﹣4，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
5．把方程x2﹣10x+9＝0化成（x+p）2＝q的形式时，p﹣q的值为（ ）
A．19B．﹣1C．11D．﹣21
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上25，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到p、q的值，然后计算它们的和即可．
解：x2﹣10x+9＝5，
x2﹣10x＝﹣9，
x8﹣10x+25＝﹣9+25，
（x﹣5）7＝16，
所以p＝﹣5，q＝16，
所以p+q＝﹣5+16＝11．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：二次函数y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞7，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是y＝1，故选项B错误，
图象的对称轴是直线x＝2，故选项C错误，
当x＜5时y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，DE＝3，则AE的长为（ ）
A．B．5C．8D．4
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝3，
∴Rt△ADE中，AE＝＝＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，BD，若∠C＝110°（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】根据圆内接四边形的性质，可以得到∠A的度数，再根据圆周角和圆心角的关系，可以得到∠BOD的度数，然后根据OB＝OD，即可得到∠OBD的度数．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝110°，
∴∠A＝70°，
∵∠BOD＝2∠A＝140°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD+∠ODB+∠BOD＝180°，
∴∠OBD＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，∠BCA′＝45°，则∠A′BA等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′＝∠B′BC＝45°+25°＝70°，以及∠BB′C＝∠B′BC＝70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′＝∠A′BA＝40°．
解：∵∠A＝25°，∠BCA′＝45°，
∴∠BCA′+∠A′＝∠B′BC＝45°+25°＝70°，
∵CB＝CB′，
∴∠BB′C＝∠B′BC＝70°，
∴∠B′CB＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∵∠A＝∠A′，∠A′DB＝∠ADC，
∴∠ACA′＝∠A′BA＝40°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠ACA′＝40°是解题关键．
11．某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+40x）B．y＝（30﹣x）（200+20x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣40x）D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）
【分析】根据降价x元，则售价为（30﹣x）元，销售量为（200+20x）本，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
解：设每本降价x元，则售价为（30﹣x）元，
根据题意得，y＝（30﹣x）（200+20x），
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
①abc＜0； ②a﹣b+c＜0；③3b＜4c；
④b2﹣4ac＞0；⑤c＜2b；⑥4c﹣a＜8．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①如图，∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝7.5，
∴﹣＝2.5，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜6．
故①正确；
②如图所示，当x＝﹣1时，即把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝y＜0．
故②正确；
③如图所示，当x＝﹣时，b+c＞0，
∵a＝﹣b，
∴﹣b﹣，
∴﹣b+c＞3，
∴4c＞3b．
故③正确；
④如图所示，抛物线与x轴有两个交点2﹣4ac＞0．故④正确；
⑤如图所示，对称轴是直线x＝﹣，
∴a＝﹣b，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2b+c＜3，
∴c＜2b．
故⑤正确；
⑥由图可知，＜2，
∵b＝﹣a，
∴＜6，
∴＜6，
∴4c﹣a＜8．
故⑥正确．
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二.填空题：本大题共6个小题，每小题3_2，共18分.
13．一元二次方程4x2＝3x的解是 x1＝0，x2＝ ．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：4x2＝2x，
4x2﹣3x＝0，
x（4x﹣4）＝0，
x＝0，6x﹣3＝0，
x5＝0，x2＝
故答案为：x1＝3，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能性质适当的方法解方程是解此题的关键．
14．已知关于x的方程x2+mx+n＝0的两个根分别是1和﹣3，则m＝ 2 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2＝，x1x2＝．
解：由题意知，
x1+x2＝﹣m＝6+（﹣3）＝﹣2，
得m＝6，
故填2．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．
15．当m＝ ﹣1 时，函数y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．
【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．
解：依题意可知m2+1＝2
得m＝1或m＝﹣1
又因为m﹣4≠0
∴m≠1
∴当m＝﹣5时，这个函数是二次函数．
【点评】本题考查二次函数的定义．
16．抛物线y＝﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线 x＝1 ．
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣进行计算．
解：抛物线y＝﹣2x2+8x﹣1的对称轴是直线x＝﹣＝1．
故答案为x＝7．
【点评】此题考查了抛物线的对称轴的求法，能够熟练运用公式法求解，也能够运用配方法求解．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，连接BB′，则BB′的长度为 ．
【分析】先根据直角三角形的性质求出BC、AB的长，再根据图形旋转的性质得出AC＝A′C，BC＝B′C，再由A′B＝A′C即可得出∠A′CB＝30°，故可得出∠BCB′＝60°，进而判断出△BCB′是等边三角形，故可得出结论．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，
∴A′C＝AC＝1，AB＝6，
∵∠A＝60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴AA′＝AB＝1，
∴A′C＝A′B，
∴∠A′CB＝∠A′BC＝30°，
∵△A′B′C是△ABC旋转而成，
∴∠A′CB′＝90°，BC＝B′C，
∴∠B′CB＝90°﹣30°＝60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′＝BC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定定理，熟知旋转前后的图形全等是解答此题的关键．
18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PB于点E，F，切点C在弧AB上，则△PEF的周长是 16 ．
【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
解：∵PA、PB、B、C，
∴AE＝CE，FB＝CF，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长＝PA+PB．
三.解答题：本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19．（8分）解方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
【分析】（1）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
解：（1）2（x﹣3）﹣6x（x﹣3）＝0，
（x﹣6）（2﹣3x）＝3，
x﹣3＝0或6﹣3x＝0，
所以x8＝3，x2＝；
（2）（2x﹣4）（x+1）＝0，
7x﹣3＝0或x+3＝0，
所以x1＝，x2＝﹣7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，求∠EFD的度数．
【分析】由旋转的性质可得到△DCF≌△BCE，△CEF为等腰直角三角形，最后，由∠EFD＝∠DFC﹣∠EFC求解即可．
解：∵△DCF是△BCE旋转得到的图形，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°﹣30°＝60°，∠ECF＝∠BCE＝90°，
∴∠CFE＝∠FEC＝45°．
∴∠EFD＝∠DFC﹣∠EFC＝60°﹣45°＝15°．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，依据旋转的性质找出图中相等的线段和相等的角是解题的关键．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，且AB⊥CD于点E，CD＝8
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
解：连接OC，
设⊙O的半径为x．
∵直径AB⊥弦CD，
∴，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2＝（x﹣2）6+42，
解得 x＝6，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键．
22．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
解：（1）y＝w（x﹣20）
＝（﹣2x+80）（x﹣20）
＝﹣2x7+120x﹣1600；
（2）y＝﹣2（x﹣30）2+200．
∵20≤x≤40，a＝﹣8＜0，
∴当x＝30时，y最大值＝200．
答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．
23．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
解：（1）连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵，∠ADE＝25°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵，
∴∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝5∠C，
∵∠OAC＝90°，
∴∠AOC+∠C＝90°，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴OA＝OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，
∴r＝，
解得：r＝2，
∴⊙O的半径为4．
【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．
24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0）（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，得到矩形ADEF，点O，B，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（I）过点D作DG⊥x轴于G，由旋转的性质得出AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，由直角三角形的性质得出DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，得出OG＝OA﹣AG＝6﹣3，即可得出点D的坐标为（6﹣3，3）；
（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，则GA＝DH，HA＝DG，由勾股定理得出AE＝＝＝10，由面积法求出DH＝，得出OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝，由勾股定理得出DG＝，即可得出点D的坐标为（，）；
（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，由旋转的性质得出∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，由等腰三角形的性质得出∠AOC＝∠ADO，得出∠DAE＝∠ADO，证出AE∥OC，由平行线的性质的∠GAE＝∠AOD，证出∠DAE＝∠GAE，证明△AEG≌△AED（AAS），得出AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，得出OG＝OA+AG＝12，即可得出答案．
解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：
∵点A（6，0），6）．
∴OA＝6，OB＝8，
∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，
∴AD＝AO＝5，α＝∠OAD＝30°，
在Rt△ADG中，DG＝，AG＝，
∴OG＝OA﹣AG＝6﹣2，
∴点D的坐标为（6﹣4，3）；
（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H
则GA＝DH，HA＝DG，
∵DE＝OB＝2，∠ADE＝∠AOB＝90°，
∴AE＝＝＝10，
∵AE×DH＝，
∴DH＝＝＝，
∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，
∴点D的坐标为（，）；
（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G
由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，
∴∠AOC＝∠ADO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴AE∥OC，
∴∠GAE＝∠AOD，
∴∠DAE＝∠GAE，
在△AEG和△AED中，，
∴△AEG≌△AED（AAS），
∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，
∴OG＝OA+AG＝12，
∴点E的坐标为（12，6）．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标；
（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），结合点O、C的坐标即可得出OC、OQ、QC的长度，分OC＝OQ、OC＝QC以及OQ＝QC三种情况考虑，由此即可得出关于m的方程，解方程求出m的值，将其代入点Q的坐标中即可得出结论．
解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2；
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P（x，x2﹣2x﹣5），设直线BC的解析式为：y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣6，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
由0＝x3﹣2x﹣3，解得：x5＝﹣1，x2＝2，
∴AO＝1，AB＝4，
S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•OF
＝×4×8+5+3x）×3
＝﹣（x﹣）2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；
（3）设点Q的坐标为（m，m﹣7），
∵O（0，0），﹣7），
∴OC＝3，QC＝＝，QO＝．
△QOC为等腰三角形分三种情况：
①当OC＝QC时，3＝，
解得：m＝±，
此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣；
②当OC＝QO时，3＝，
解得：m＝8或m＝0（舍去），
此时点Q的坐标为（3，8）；
③当QC＝QO时，有|m|＝，
解得：m＝，
此时点Q的坐标为（，﹣）．
综上可知：Q点坐标为（，﹣3），﹣﹣7），0）或（，﹣）．
【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及到了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定以及不规则图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．