2023-2024学年辽宁省大连市旅顺口区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市旅顺口区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列4个图形中，轴对称图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a7B．a6÷a2＝a3
C．a4﹣a2＝a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．若x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n的值为（ ）
A．﹣2B．2C．0D．1
5．若等腰三角形的两边长分别是4cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．11cmB．15cm
C．11cm或15cmD．15cm或18cm
6．若多项式x2+mx+4是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．0
7．图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
8．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，可得△ABC≌△DEC，此时测得DE的长度就是A、B两点间的距离（ ）
A．AASB．ASAC．SASD．SSS
9．如图，三条直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，则可供选择的地址有（ ）
A．一处B．两处C．三处D．四处
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AC于点E，连接BE（ ）
A．BC＝ACB．CE＝ACC．AD＝BCD．BE＝AE
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算（﹣xy3）2＝ ．
12．若3m＝a，3n＝b，m，n为正整数，则3m+n＝ ．
13．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有 个．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一点，将Rt△ABC沿BD折叠，则∠ADE＝ °．
15．如图，在△ABC中，AB⊥AC，BC＝10，AC＝8，P为直线上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC≌△DEC，∠ECB＝α，（其中0°＜α＜70°），则∠ADE＝ （用含α的式子表示）．
三、解答题（本题共4小题，共32分）
17．（8分）计算：
（1）（3x2y﹣6xy）÷3xy；
（2）（a+b+2）（a+b﹣2）．
18．（8分）如图，AC⊥BC，BD⊥AD，D，AC＝BD，求证∠BAC＝∠ABD．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
（1）尺规作图：在BC边上求作点Q，使得点Q到边AB的距离等于CQ的长．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AQ交CD于点P，则∠CPQ＝ °．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B
四、解答题（本题共2小题，其中21题9分，22题10分，共19分）
21．如图，OA＝OB，∠AOB＝60°，以AC为边在右侧作等边△ACD．连接BD．求证：OA∥DB．
22．如图，CE是△ACD的中线，B是AD延长线上一点，∠ACD+∠CDB＝180°．求证：BC＝2CE．
五、解答题（本题共2小题，其中23题9分，24题10分，共19分）
23．【阅读理解】
“若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2（5﹣x）+（x﹣2）＝3．
所以（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．
【解决问题】
（1）若x满足（4﹣x）（x﹣2）＝﹣3，则（4﹣x）2+（x﹣2）2的值为 ；
（2）若x满足（2x+3）（2x﹣1）＝，则（2x+3）2+（2x﹣1）2的值为 ；
（3）如图，C是线段AB上的一点，以AC，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝48，求图中阴影部分的面积．
24．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，点A在直线l上，∠BAD＝90°，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，得∠1＝∠D，又∠BCA＝∠AED＝90°（AAS），进而得到结论：AC＝ ，BC＝ ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
（2）如图2，∠BAD＝∠MAN＝90°，AB＝AD，BM⊥l于点C，DE⊥l于点E
六、解答题（本题12分）
25．（12分）已知在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（8，0），（0，8），P为线段AB上一点．
（1）如图1，若点P的坐标为（m，5），则m的值为 ；
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点N从顶点O同时出发向点B运动，且它们的速度都为每秒1个单位长度，探究线段PM和PN之间的关系，并证明；
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过点B作BD⊥OP，OA于F、D两点，E为OA上一点，探究线段OD和AE之间的关系，并说明理由．
2023-2024学年辽宁省大连市旅顺口区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分）
1．下列4个图形中，轴对称图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称的概念可作答．
解：如图
第一、二、四个图形都可以沿直线重合．
故选：C．
【点评】轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）
【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出答案．
解：点P（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（﹣8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a7B．a6÷a2＝a3
C．a4﹣a2＝a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】利用同底数幂乘除法则，合并同类项法则，完全平方公式将各项计算后进行判断即可．
解：a3•a4＝a3，则A符合题意；
a6÷a2＝a6，则B不符合题意；
a4与a2不是同类项，无法合并；
（a﹣b）3＝a2﹣2ab+b8，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂乘除运算，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．若x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n的值为（ ）
A．﹣2B．2C．0D．1
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，再根据x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，得出2+n＝0，求出n的值即可．
解：∵（x+n）（x+2）＝x2+7x+nx+2n＝x2+（2+n）x+2n，
又∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，
∴6+n＝0，
∴n＝﹣2；
故选：A．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
5．若等腰三角形的两边长分别是4cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．11cmB．15cm
C．11cm或15cmD．15cm或18cm
【分析】根据题意分两种情况：第一种是腰长为4cm时，第二种情况是腰长为7cm，判断能否组成三角形，然后再将三边长相加即可求得答案．
解：等腰三角形的两条边长分别是4cm、7cm，
当此三角形的腰长为6cm时，4+4＞3，
∴周长＝4+4+4＝15（cm），
当此三角形的腰长为7cm时，7+8＞7，
∴周长＝7+3+4＝18（cm），
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解本题的关键是用三角形的三边关系判断能否构成三角形．
6．若多项式x2+mx+4是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．0
【分析】这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2的积的2倍，据此解答即可．
解：∵多项式x2+mx+4是一个完全平方式，
∴mx＝±2x×2＝±4x，
∴m＝±8，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
7．图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如图所示：
根据图形可以看出OB是反射光线，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的性质，垂线的画法，根据直线的性质补全光线是解题的关键．
8．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，可得△ABC≌△DEC，此时测得DE的长度就是A、B两点间的距离（ ）
A．AASB．ASAC．SASD．SSS
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等．
解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．如图，三条直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，则可供选择的地址有（ ）
A．一处B．两处C．三处D．四处
【分析】作直线AO，AB，BO所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P4、P2、P3，内角平分线相交于点P1，然后根据角平分线的性质进行判断．
解：如图所示，可供选择的地址有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上，难点在于要考虑中转站在△AOB内部和外部两种情况．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AC于点E，连接BE（ ）
A．BC＝ACB．CE＝ACC．AD＝BCD．BE＝AE
【分析】根据在Rt△ABC中，AB≠AC可推出A错误，根据HL证明Rt△BCE≌Rt△BDE得出DE＝CE，在根据含30°角的直角三角形的性质可推出B正确，根据垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质可推出C、D正确．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝，
由作图可知，MN垂直平分AB，
∴BD＝AD＝，BE＝AE，
∴BC＝AD＝BD，故C正确，
又∵BE＝BE，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝CE，
在Rt△AED中，∠A＝30°，
∴DE＝，
∴CE＝，
∴CE＝，故B正确，
∵BC＝，AB≠AC，
∴BC≠，故A错误，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记各性质定理是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算（﹣xy3）2＝ x2y6 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算，进而化简求出答案．
解：（﹣xy3）2＝x4y6．
故答案为：x2y2．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．若3m＝a，3n＝b，m，n为正整数，则3m+n＝ ab ．
【分析】根据幂的乘法法则进行计算即可．
解：∵3m＝a，3n＝b，
∴5m+n＝3m•3n＝ab．
故答案为：ab．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
13．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有 3 个．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．
故满足条件的格点C有6个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一点，将Rt△ABC沿BD折叠，则∠ADE＝ 50 °．
【分析】根据折叠的性质和三角形内角和定理即可得到结论．
解：∵∠ABC＝90°，∠A＝20°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝70°，
∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在AB边上的点E处，
∴∠CBD＝∠EBD＝，∠EDB＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠EDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
∴∠ADE＝180°﹣∠EDB﹣∠CDB＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB⊥AC，BC＝10，AC＝8，P为直线上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 14 ．
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，即可得到△ABP周长的最小值．
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝5+8＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC≌△DEC，∠ECB＝α，（其中0°＜α＜70°），则∠ADE＝ 50°﹣α （用含α的式子表示）．
【分析】先由全等的性质和简单的计算，得到∠CDE＝∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°，∠ACD＝∠ECB＝α，进而可求出∠CDA，利用角的差可求出∠ADE．
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠BAC＝∠EDC＝180°﹣2×70°＝40°，
在△CAD中，
∠ACD＝∠ECB＝α，CA＝CD，
∴∠CDA＝（180°﹣α），
∴∠ADE＝∠CDA﹣∠EDC＝（180°﹣α）﹣40°＝50°﹣α．
故答案为：50°﹣α．
【点评】本题考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是用等腰三角形性质进行计算．
三、解答题（本题共4小题，共32分）
17．（8分）计算：
（1）（3x2y﹣6xy）÷3xy；
（2）（a+b+2）（a+b﹣2）．
【分析】（1）用多项式除以单项式法则计算；
（2）先用平方差公式，再用完全平方公式计算．
解：（1）原式＝3x2y÷4xy﹣6xy÷3xy
＝x﹣8；
（2）原式＝（a+b）2﹣25
＝a2+2ab+b2﹣4．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则和完全平方公式，平方差公式．
18．（8分）如图，AC⊥BC，BD⊥AD，D，AC＝BD，求证∠BAC＝∠ABD．
【分析】由AC⊥BC于点C，BD⊥AD于点D，得∠C＝∠D＝90°，而AB＝BA，AC＝BD，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD，则∠BAC＝∠ABD．
【解答】证明：∵AC⊥BC于点C，BD⊥AD于点D，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠BAC＝∠ABD．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明Rt△ABC≌Rt△BAD是解题的关键．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
（1）尺规作图：在BC边上求作点Q，使得点Q到边AB的距离等于CQ的长．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AQ交CD于点P，则∠CPQ＝ 62 °．
【分析】（1）作∠CAB的角平分线交BC于点Q，点Q即为所求；
（2）分别求出∠CAQ，∠ACD，再利用三角形的外角的性质求解．
解：（1）如图，点Q即为所求；
（2）∵∠ACB＝90°．∠B＝54°，
∴∠CAB＝90°﹣54°＝36°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝54°，
∵AQ平分∠CAB，
∴∠CAQ＝∠CAD＝18°，
∴∠CPQ＝∠CAQ+∠ACD＝18°+54°＝62°．
故答案为：62°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B
【分析】在AB上截取AE＝AC，连接DE，可证明△EAD≌△CAD，得∠AED＝∠C，ED＝CD，则∠B+∠EDB＝2∠B，所以∠EDB＝∠B，则EB＝ED＝CD，所以AB＝AE+EB＝AC+CD．
【解答】证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△EAD和△CAD中，
，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴∠AED＝∠C，ED＝CD，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，∠C＝2∠B，
∴∠B+∠EDB＝2∠B，
∴∠EDB＝∠B，
∴EB＝ED＝CD，
∴AB＝AE+EB＝AC+CD．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
四、解答题（本题共2小题，其中21题9分，22题10分，共19分）
21．如图，OA＝OB，∠AOB＝60°，以AC为边在右侧作等边△ACD．连接BD．求证：OA∥DB．
【分析】由OA＝OB，∠AOB＝60°，证明△AOB是等边三角形，则∠OAB＝60°，AB＝AO，而△ACD是等边三角形，则∠CAD＝60°，AD＝AC，所以∠BAD＝∠OAC＝60°﹣∠BAC，即可证明△ABD≌△AOC，则∠ABD＝∠AOC＝60°，所以∠OAB＝∠ABD，则OA∥DB．
【解答】证明：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，AB＝AO，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，AD＝AC，
∴∠BAD＝∠OAC＝60°﹣∠BAC，
在△ABD和△AOC中，
，
∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝60°，
∴∠OAB＝∠ABD，
∴OA∥DB．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△ABD≌△AOC是解题的关键．
22．如图，CE是△ACD的中线，B是AD延长线上一点，∠ACD+∠CDB＝180°．求证：BC＝2CE．
【分析】延长CE至点F，使EF＝CE，连接AF，DF，即可判定四边形ACDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到∠ACD+∠CDF＝180°，DF＝AC，进而推出∠CDF＝∠CDB，利用SAS证明△CDF≌△CDB，
根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：延长CE至点F，使EF＝CE，DF．
∵CE是△ACD的中线，
∴AE＝DE，
又∵CE＝EF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴∠ACD+∠CDF＝180°，DF＝AC，
又∵∠ACD+∠CDB＝180°，
∴∠CDF＝∠CDB，
又∵AC＝BD，
∴DF＝BD，
在△CDF和△CDB中，
，
∴△CDF≌△CDB（SAS），
∴CF＝BC，
∴BC＝2CE．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
五、解答题（本题共2小题，其中23题9分，24题10分，共19分）
23．【阅读理解】
“若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2（5﹣x）+（x﹣2）＝3．
所以（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．
【解决问题】
（1）若x满足（4﹣x）（x﹣2）＝﹣3，则（4﹣x）2+（x﹣2）2的值为 10 ；
（2）若x满足（2x+3）（2x﹣1）＝，则（2x+3）2+（2x﹣1）2的值为 25 ；
（3）如图，C是线段AB上的一点，以AC，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝48，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）设4﹣x＝a，x﹣2＝b，可得：ab＝﹣3，a+b＝2，利用完全平方公式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求得答案；
（2）设2x+3＝a，2x﹣1＝b，可得：ab＝，a﹣b＝4，利用完全平方公式a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，即可求得答案；
（3）设AC＝a，BC＝b，则a+b＝8，a2+b2＝48，利用S阴影部分＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]，即可求得答案．
解：（1）设4﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝﹣3，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝2，
∴（7﹣x）2+（x﹣2）8＝a2+b2＝（a+b）5﹣2ab＝24﹣2×（﹣3）＝10；
故答案为：10；
（2）设4x+3＝a，2x﹣3＝b，
则（2x+3）（8x﹣1）＝ab＝，a﹣b＝（2x+3）﹣（6x﹣1）＝4，
∴（8x+3）2+（6x﹣1）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+5ab＝42+7×＝25；
故答案为：25；
（3）设AC＝a，BC＝b，
∵两正方形的面积和S4+S2＝48，
∴a2+b6＝48，
∴S阴影部分＝ab＝2﹣（a3+b2）]＝×[82﹣48]＝8．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键．
24．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，点A在直线l上，∠BAD＝90°，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，得∠1＝∠D，又∠BCA＝∠AED＝90°（AAS），进而得到结论：AC＝ DE ，BC＝ AE ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
（2）如图2，∠BAD＝∠MAN＝90°，AB＝AD，BM⊥l于点C，DE⊥l于点E
【分析】（1）由∠CBA＝∠AED＝∠BAD＝90°，得∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，则∠1＝∠D，而AB＝DA，即可证明△ABC≌△DAE，得AC＝DE，BC＝AE，于是得到问题的答案；
（2）作NF⊥l于点F，因为BM⊥l于点C，DE⊥l于点E，所以∠ACM＝∠NFA＝∠NFP＝∠DEP＝90°，由（1）得AC＝DE，因为∠MAN＝90°，所以∠CAM+∠FAN＝∠FNA+∠FAN＝90°，则∠CAM＝∠FNA，而AM＝NA，即可证明△CAM≌△FNA，得AC＝NF，所以NF＝DE，再证明△PFN≌△PED，则NP＝DP．
【解答】（1）解：BC⊥l于点C，DE⊥l于点E，
∴∠CBA＝∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠8+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE，AE．
（2）证明：如图4，作NF⊥l于点F，
∵BM⊥l于点C，DE⊥l于点E，
∴∠ACM＝∠NFA＝∠NFP＝∠DEP＝90°，
由（1）得AC＝DE，
∵∠MAN＝90°，
∴∠CAM+∠FAN＝∠FNA+∠FAN＝90°，
∴∠CAM＝∠FNA，
在△CAM和△FNA中，
，
∴△CAM≌△FNA（AAS），
∴AC＝NF，
∴NF＝DE，
在△PFN和△PED中，
，
∴△PFN≌△PED（AAS），
∴NP＝DP．
【点评】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明有关的三角形全等是解题的关键．
六、解答题（本题12分）
25．（12分）已知在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（8，0），（0，8），P为线段AB上一点．
（1）如图1，若点P的坐标为（m，5），则m的值为 3 ；
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点N从顶点O同时出发向点B运动，且它们的速度都为每秒1个单位长度，探究线段PM和PN之间的关系，并证明；
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过点B作BD⊥OP，OA于F、D两点，E为OA上一点，探究线段OD和AE之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）方法一：过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，连接OP，利用面积法，即S△AOP+S△BOP＝S△AOB，即可求得答案；方法二：运用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝﹣x+8，将点P的坐标代入即可求得答案；
（2）连接OP，可证得△APM≌△OPN（SAS），得出PM＝PN，∠APM＝∠OPN，再推出∠MPN＝90°，即可证得结论；
（3）过点A作AG⊥x轴，交OP的延长线于G，可证得△BDO≌△OGA（ASA），推出OD＝AG，∠BDO＝∠G，再证得△APG≌△APE（AAS），即可证得结论．
解：（1）方法一：如图1，过点P作PM⊥x轴于M，连接OP，
∵点P的坐标为（m，5），
∴PM＝2，PN＝m，
∵A（8，0），2），
∴OA＝OB＝8，
∵S△AOP+S△BOP＝S△AOB，
∴OA•PM+OA•OB，
即×8×5+×8×8，
解得：m＝5，
故答案为：3；
方法二：设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（8、B（2，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
∵P（m，5）为线段AB上一点，
∴﹣m+8＝7，
∴m＝3，
故答案为：3；
（2）结论：PM＝PN，PM⊥PN
如图，连接OP，
∵A（3，0），8），
∴OA＝OB＝3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵P为AB的中点，
∴OP＝AP＝BP，∠PON＝∠POM＝45°＝∠PAM，
由题意得：AM＝ON，
在△APM和△OPN中，
，
∴△APM≌△OPN（SAS），
∴PM＝PN，∠APM＝∠OPN，
∵∠APM+∠OPM＝∠OPA＝90°，
∴∠OPN+∠OPM＝90°，
即∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN；
（3）OD＝AE．理由如下：
如图，过点A作AG⊥x轴，
则∠OAG＝∠BOD＝90°，
∴∠DBO+∠BDO＝90°，
∵BD⊥OP，
∴∠GOA+∠BDO＝90°，
∴∠DBO＝∠GOA，
在△BDO和△OGA中，
，
∴△BDO≌△OGA（ASA），
∴OD＝AG，∠BDO＝∠G，
∵∠PEA＝∠BDO，
∴∠PEA＝∠G，
∵∠PAG＝∠OAG﹣∠BAO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠PAG＝∠PAE，
在△APG和△APE中，
，
∴△APG≌△APE（AAS），
∴AG＝AE，
∴OD＝AE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．