2023-2024学年安徽省淮北二中联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮北二中联考九年级（上）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝3x2+1D．
2．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，d＝9cm，则线段a的长度为（ ）
A．8cmB．2cmC．4cmD．1cm
3．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（ ）
A．y2＜0＜y1B．0＜y2＜y1C．y1＜y2＜0D．y1＜0＜y2
4．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
5．二次函数y＝ax2﹣4x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是12（ ）
A．16B．20C．36D．40
7．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，CE．则的值为（ ）
A．B．C．D．2
8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
9．如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣3
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 ．
12．某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为2：3，其中较大的一块草坪的周长是36米 米．
13．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴 上，点B、D在函数 ，点C在y轴上，则四边形ABCD的面积为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，交DC于点E，DM⊥AN于点M，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，GH＝n．
（1）∠DCN＝ ．
（2）线段CN的长为 ．（用含m，n的代数式表示）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
16．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；
（2）根据图象，完成下列填空：
①当x＞1时，y随x的增大而 ；
②当y＜0时，x的取值范围是 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）求作：∠ABC的平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：点D为线段AC的黄金分割点（即AD2＝CD•CA）．
18．规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．
（1）若点（a2+1，﹣2a）是“完美点”，则a＝ ；
（2）已知某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．用10米的铝合金制成如图窗框矩形ABCD，其中点E，F分别在边AB，点G，H分别在边EF，且EF∥BC，GH⊥BC，BE≥3AE，记窗框矩形ABCD的面积为s平方米
（1）求s关于x的表达式及自变量x的取值范围．
（2）求s的最大值．
20．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；
（2）若DG＝DC，BE＝7，求EF的长．
六、（本题满分12分）
21．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
七、（本题满分12分）
22．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标，请说明理由．
八、（本题满分14分）
23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，AD，BE相交于点F．
（1）当AC＝BC时，如图1；
（2）连接CF，如图2．
①求证：△AEF∽△AFC；
②若EF＝2，AF＝8，求AC的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列函数y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝3x2+1D．
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
解：A．函数y＝2x+1是一次函数，故本选项不符合题意；
B．整理后为：y＝2x+1，不是二次函数；
C．函数y＝3x2+1是二次函数，故本选项符合题意；
D．函数y＝，不是二次函数．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数．
2．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，d＝9cm，则线段a的长度为（ ）
A．8cmB．2cmC．4cmD．1cm
【分析】根据成比例线段的定义得到a：3＝6：9，然后利用比例的性质求a的值．
解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
即a：3＝6：2，
∴a＝2（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例的性质，列方程求解即可．
3．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（ ）
A．y2＜0＜y1B．0＜y2＜y1C．y1＜y2＜0D．y1＜0＜y2
【分析】根据反比例函数的图象在第二、四象限，利用x1＜0＜x2，即可求得y1，y2的关系．
解：∵反比例函数中，﹣5＜8，
∴反比例函数图象在第二．
∵x1＜3＜x2，
∴A（x1，y8）在第二象限，B（x2，y2）在第四象限．
∴y3＞0，y2＜5．
∴y2＜0＜y8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，利用双曲线所在的象限确定函数值的符号是解题的关键．
4．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴＝，
故选项A、B、C结论错误，选项D结论正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．二次函数y＝ax2﹣4x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝16﹣8a＞0，解得a的取值范围，再结合选项得出结论．
解：∵二次函数y＝ax2﹣4x+7的图象与x轴有两个不同交点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣7×2a＝16﹣8a＞5，
解得a＜2，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
6．如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是12（ ）
A．16B．20C．36D．40
【分析】由题意易得EH∥FG∥BC，则有△AEH∽△AFG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
解：由题意可知：EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG，△AEH∽△ABC，
∵AE＝EF＝BF，
∴，，
∴，，
∵阴影部分的面积是12，
∴，
∴，
∴S四边形BCGF＝S△ABC﹣S△AFG＝20．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，CE．则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠DAE＝∠BAC＝45°，＝＝，再证△BAD∽△CAE，即可得出结论．
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝45°，＝＝，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【分析】根据出手点A的坐标为求出函数关系式，再令y＝0可解得答案．
解：把A代入
＝﹣×9+k，
∴k＝，
∴y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0得﹣（x﹣3）4+＝0，
解得x＝﹣4（舍去）或x＝8，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．
9．如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣3
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，BG⊥y轴于点G，由S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF求解．
解：过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，BG⊥y轴于点G．
把x＝a代入y＝得y＝，
把x＝3a代入y＝得y＝，
∴AD＝7BE，
∴点B是AC的三等分点，
∴DE＝a﹣3a＝﹣2a，CE＝﹣a，
∵k＜7，
∴S△AOF＝＝﹣，
∴S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（AF+OE+CE）•OF+＝）+，
∴k＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的几何意义，解题关键是掌握反比例函数的性质，通过添加辅助线求解
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；通过证明△BDE∽△DPE，可得∠EPD＝∠BDE＝45°，可求∠DPF＝∠BHP＝105°，可证△BHP∽△DPF，故③④正确；由相似三角形的性质可得＝＝，故②错误，根据∠BPC＝∠EPF＝60°，得∠ABE＝30°，△BPC是等边三角形，PC＝PB，PE＝PF，得CF＝BE，所以BE＝2AE②正确；即可求解．
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
∴CF＝2AE，故②正确；
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴∠EPD＝∠BDE＝45°，
∵∠BPC＝∠EPF＝60°，
∴∠FPD＝105°，
∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，
∴∠DPF＝∠BHP，
又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，
∴△BHP∽△DPF，故④正确；
∴，
∴＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DC＝DF，
∴＝，
∴＝＝，故③错误，
故选：B．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3 ．
【分析】由题意，抛物线的形状与y＝x2相同，它的顶点坐标是（﹣2，3），即可得抛物线的解析式．
解：∵抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，
∴当开口向下时，这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x+6）2+3．
当开口向上时，这条抛物线的解析式是：y＝（x+2）2+3．
故答案为：y＝﹣（x+8）2+3或y＝（x+4）2+3．
【点评】此题考查二次函数图象的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力．
12．某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为2：3，其中较大的一块草坪的周长是36米 54 米．
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比求解．
解：∵相似比为2：3，
设另一块草坪的周长为x米，
当较大的草坪的周长是36米时，
36：x＝4：3，
解得x＝54，
答：另一块草坪的周长是54米，
故答案为：54．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似多边形周长的比等于相似比是解题的关键．
13．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴 上，点B、D在函数 ，点C在y轴上，则四边形ABCD的面积为 21 ．
【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，DH⊥x轴于H，根据平行四边形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义即可求得．
解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴S平行四边形ABCD＝AB•（AE+DH）＝AB•AE+AB•DH＝（AG+BG）•AE+CD•DH＝AG•AE+OF•BF+CD•DH＝5+8+4＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，交DC于点E，DM⊥AN于点M，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，GH＝n．
（1）∠DCN＝ 45° ．
（2）线段CN的长为 2n+m ．（用含m，n的代数式表示）
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠DAN＝∠BAN＝＝45°，由平行线的性质可得∠CEN＝∠BAN＝45°，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）连接DG并延长交CN于点F，由线段中点定义得MG＝NG，根据在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行可知，DM∥GH∥CN，于是易得△GDM∽△GFN，利用相似三角形的性质求得FN＝DM＝m，GD＝GF，由GH∥CN可知GH为△CDF的中位线，得到CF＝2GH＝2n，则CN＝CF+FN．
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，
∵AN平分∠DAB，
∴∠DAN＝∠BAN＝＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠CEN＝∠BAN＝45°，
∵CN⊥AN，
∴∠N＝90°，
∴∠DCN＝90°﹣∠CEN＝90°﹣45°＝45°；
故答案为：45°；
（2）如图，连接DG并延长交CN于点F，
∵G为MN的中点，
∴MG＝NG，
∵DM⊥AN，GH⊥AN，
∴DM∥GH∥CN，
∴△GDM∽△GFN，
∴＝7，
∴FN＝DM＝m，GD＝GF，
∵GH∥CN，
∴GH为△CDF的中位线，
∴CF＝2GH＝2n，
∴CN＝CF+FN＝5n+m．
【点评】本题主要考查角平分线的定义、矩形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
【分析】设＝＝＝k，得出x＝2k，y＝3k，z＝4k，再根据2x+3y﹣z＝18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值．
解：设＝＝＝k，y＝3k，
∵2x+8y﹣z＝18，
∴4k+9k﹣3k＝18，
∴k＝2，
∴x＝4，y＝3，
∴x+y+z＝4+6+2＝18．
【点评】此题考查比例的性质，关键是设＝＝＝k，得出k的值．
16．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；
（2）根据图象，完成下列填空：
①当x＞1时，y随x的增大而 增大 ；
②当y＜0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】（1）将x的值代入y＝x2﹣2x﹣3求出对应的函数值，由表格可知抛物线的对称轴为直线x＝1，根据表格数据画出函数图象即可；
（2）根据图象即可求解；
（3）根据图象即可求解．
解：（1）由表格数据可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝7，
把x＝﹣1代入y＝x2﹣8x﹣3得，y＝0，
把x＝3代入y＝x2﹣2x﹣4得，y＝﹣4，
∴抛物线的顶点为（1，﹣7），
把x＝0代入y＝x2﹣6x﹣3得，y＝﹣3，
如下表，
画出函数的图象如图：
（2）①根据图象，当x＞1时，
故答案为：增大；
②根据图象，当y＜0时．
故答案为：﹣8＜x＜3．
【点评】此题主要考查了二次函数图象，关键是正确画出此函数图象，根据图象可以直接看出所要求的答案．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）求作：∠ABC的平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：点D为线段AC的黄金分割点（即AD2＝CD•CA）．
【分析】（1）根据作已知角的平分线的步骤作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知AD＝BC，再证△BCD∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得证．
【解答】（1）解：∠ABC的平分线BD交AC于点D，如图所示：
（2）证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴AD＝BD，∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BC，
∵∠BCD＝∠ACB，∠CBD＝∠CAB，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC＝CD：BC，
∴AD：AC＝CD：AD，
∴AD2＝CD•CA，
∴点D为线段AC的黄金分割点．
【点评】本题考查了黄金分割，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
18．规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．
（1）若点（a2+1，﹣2a）是“完美点”，则a＝ 1 ；
（2）已知某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式．
【分析】（1）由定义可得a2+1+（﹣2a）＝0，求出a的值即可；
（2）根据该“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上可求出顶点为（1，﹣1），然后可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，令x＝0，则y＝a﹣1，再根据该函数与y轴的交点到原点的距离为2求出a的值即可得到答案．
解：（1）∵点（a2+1，﹣2a）是“完美点”，
∴a2+1+（﹣2a）＝0，即（a﹣1）5＝0，
解得：a＝1，
故答案为：5；
（2）∵某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上，
∴设函数的顶点为（x，x﹣2），
∵该函数为“完美函数”，
∴x+x﹣6＝0，
解得：x＝1，
∴x﹣2＝1﹣2＝﹣5，
∴该函数的顶点为（1，﹣1），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2﹣1，
令x＝2，则y＝a﹣1，
∵该函数与y轴的交点到原点的距离为2，
∴|a﹣2|＝2，
解得：a＝﹣1或a＝7，
∴y＝﹣（x﹣1）2﹣8＝﹣x2+2x﹣3或y＝3（x﹣1）2﹣1＝3x8﹣6x+2
∴该“完美函数”的表达式为：y＝﹣x3+2x﹣2或y＝8x2﹣6x+7．
【点评】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图象与性质、相反数的定义，理解新定义，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．用10米的铝合金制成如图窗框矩形ABCD，其中点E，F分别在边AB，点G，H分别在边EF，且EF∥BC，GH⊥BC，BE≥3AE，记窗框矩形ABCD的面积为s平方米
（1）求s关于x的表达式及自变量x的取值范围．
（2）求s的最大值．
【分析】（1）设边长BC为x米，则边长AB为（5﹣2x）米，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据四边形EBCF为正方形，求出AE＝5﹣3x＞0，BE≥3AE求出x的取值范围；
（2）根据（1）中解析式和自变量的取值范围，由函数的性质求最值即可．
解：（1）设边长BC为x米，则边长AB为（10﹣4x）÷2＝（5﹣2x）米，
根据题意得：s＝x（5﹣8x）＝﹣2x2+6x，
∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC，
∴四边形EBCF为矩形，
又∵BE＝EC，
∴四边形EBCF为正方形，
∵BC＝x，
∴AD＝BE＝BC＝CF＝EF＝GH＝x，
∴AE＝DF＝＝＝5﹣3x，
∵8﹣3x＞0，
∴x＜，
∵BE≥3AE，
∴x≥2（5﹣3x），
解得x≥，
∴≤x＜，
∴s关于x的表达式为s＝﹣4x2+5x，自变量x的取值范围为；
（2）s＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣）2+，
∴对称轴为x＝，
∵≤x＜，
∴当≤x＜时，
∴当x＝时，s有最大值﹣）2+＝6．
答：s的最大值为3平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式和自变量的取值范围．
20．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；
（2）若DG＝DC，BE＝7，求EF的长．
【分析】（1）依据等量代换得到∠ECF＝∠G，依据∠CEF＝∠CEG，可得△ECF∽△EGC，进而得出CE2＝EF•EG；
（2）依据AB＝CD＝DG，可得AB：CG＝1：2，依据AB∥CG，即可得出EG＝14，BG＝21，再根据AB∥DG，可得BF＝BG＝，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CG，
∴∠ABF＝∠G，
又∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠G，
又∵∠CEF＝∠CEG，
∴△ECF∽△EGC，
∴，
即CE2＝EF•EG；
（2）解：∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵DG＝DC，
∴AB＝CD＝DG，
∴AB：CG＝1：2，
∵AB∥CG，
∴，
即，
∴EG＝14，BG＝21，
∵AB∥DG，
∴＝4，
∴BF＝BG＝，
∴EF＝BF﹣BE＝﹣7＝．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，问题（2）的解法不唯一，也可以根据点F是AD的中点，△AEF与△CEB相似，得到EF的长．
六、（本题满分12分）
21．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
解：（1）将A（﹣3，1），4）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，3）代入，
得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，
∴点D的坐标为（3，4），
由，解得或，
∴点B的坐标为（﹣1，3），
∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝6；
（3）观察图象，当x＜0时的解集是x＜﹣3或﹣2＜x＜0．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
七、（本题满分12分）
22．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标．
解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣4，0），0）两点．将A（﹣4，B（52+bx+5，得：
，
解得，
则抛物线的表达式为y＝﹣x2+8x+5．
（2）直线BC能把△BDF分成面积之比为2：5的两部分，理由如下：
点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），
设直线BC的表达式为y＝kx+m，
把C（0，5），3）代入得：
，
解得，
则直线BC的表达式为y＝﹣x+4．
设D（x，﹣x2+4x+7），则E（x，F（x，0＜x＜5，
∴DE＝﹣x3+4x+5﹣（﹣x+7）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+3，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝5：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：5，
整理得3x2﹣17x+10＝2，
解得，x2＝5（舍去），
此时D点坐标为；
当DE：EF＝6：2时，S△BDE：S△BEF＝3：7，即（﹣x2+5x）：（﹣x+2）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得，x8＝5（舍去），
此时D点坐标为．
综上所述，当点D的坐标为或时，
直线BC能把△BDF分成面积之比为2：6的两部分．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论．
八、（本题满分14分）
23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，AD，BE相交于点F．
（1）当AC＝BC时，如图1；
（2）连接CF，如图2．
①求证：△AEF∽△AFC；
②若EF＝2，AF＝8，求AC的长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质及角平分线的定义得到AF＝BF，再根据全等三角形的判定得△AEF≌BDF（ASA）；
（2）①根据角平分线的定义及外角的性质得到∠EAF＝∠FAC即可解答；
②根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得到，再根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∴AF＝BF，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴△AEF≌△BDF（ASA）．
（2）①证明：∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF＝45°，，
∴∠AFE＝∠ACF，
∵∠EAF＝∠FAC，
∴△AEF∽△AFC；
②解：过点E作EG⊥AD于点G，如图，
在Rt△EGF中，∠AFE＝45°，，
∴EG＝GF＝2，
∵AF＝8，
∴AG＝8﹣4＝6，
∴，
∵△AEF∽△AFC，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似型的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…





…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
x
…
﹣8
0
1
4
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
3
…