2023-2024学年福建省宁德第一中学高三上学期第二次考试数学含答案

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第二次模拟
10.6
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出A和，再取交集即可。
【详解】
故答案为：D
【点睛】此题考查集合的交补集运算，属于简单题目。
2. 如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积.
【详解】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，
设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点，
连接，如图，
因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，
所以，，
所以，,
所以，
所以圆台体积.
故选：D.
3. 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案.
【详解】对于A，若，，则或与异面，故A错误；
对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误；
对于C，若，过作平面，使得，则，
因为，，则，又，则，故C正确；
对于D，若，，则或或与相交，故D错误.
故选：C.
4. 5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）
A. 由题中数据可知，变量y与x正相关
B. 线性回归方程中
C. 可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只）
D. 时，残差为
【答案】D
【解析】
【分析】对于，利用表中的数据分析即可求解；对于，利用平均数的定义及样本中心，结合样本中心在回归直线上即可求解；对于，利用预测值和残差的定义即可求解；对于，利用回归方程即可求出预测值．
【详解】对于，从数据看随增加而增加，所以变量y与x正相关，故正确；
对于，由表中数据知，
所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，故正确；
对于，当时该商场5G手机销量约为（千只），故正确．
对于，线性回归方程为，所以，，故错误；
故选：．
5. 已知，，若恒成立，则实数取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出、，依题意可得，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
函数在上单调递减，所以，
因为恒成立，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
6. 国内首个百万千瓦级海上风电场一三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力，风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中为形状参数，为风速，已知风速为时，，则风速为时，（）
（参考数据：）
A. B. 0.895C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可求出的值，从而可得函数解析式，进而可求出的值.
【详解】因为，
所以，，，得，
所以，
所以．
故选：B.
7. 函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得为方程的一个根，则当时，直线与函数仅有一个交点，作出的图象，结合图象求解即可.
【详解】当时，，即关于x的方程始终有一个根为，
当时，由，得，
由题意可知当时，直线与函数仅有一个交点，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取到最大值，
当时，，
作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，要使直线与函数仅有一个交点，则
，或，或
故选：A
【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数与导数的综合问题，解题的关键是根据函数解析式画出函数图象，结合图象可求得结果，考查数形结合的思想，属于较难题.
8. 设，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于，，，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用函数单调性可比较大小，
【详解】，，，
令，则，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，所以，
所以，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此考查比较大小，解题的关键是对变形，使形式相同，然后构造函数，判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9. 若、、，则下列命题正确的是（）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若且，则
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错；
对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，若且，则，
则，故，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，故，D对.
故选：BD.
10. 一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（）
A. B. 为互斥事件
C. D. 相互独立
【答案】AC
【解析】
【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.
【详解】正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
11. 给出下列说法，错误的有（）
A. 若函数在定义域上为奇函数，则
B. 已知的值域为，则a的取值范围是
C. 已知函数满足，且，则
D. 已知函数，则函数的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由奇函数的定义可判断A，函数的值域满足，即可判断B，由周期性可判断C，先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质可判断D．
【详解】对于A，函数为奇函数，
所以，，即，即，
即，整理可得，即，
所以，，解得，
当时，，该函数的定义域为，满足，合乎题意，
当时，，
由可得，此时函数的定义域为，满足，合乎题意.
综上所述，，故A错误；
对于B，因为的值域为，
则函数的值域满足，
则，解得，故B错误；
对于C，函数满足，则，
故的周期为，因为，则，故C正确；
对于D，因为，，
由，得，解得，
即函数的定义域为．则，
又
，
故函数的值域为，故D错误：
故选：ABD.
12. 如图，在边长为3的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）
A. 与所成角的余弦值为
B. 过三点的正方体的截面面积为
C. 在线段上运动，则三棱锥的体积不变
D. 为正方体表面上的一个动点，分别为的三等分点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合选项，逐个进行求解，异面直线所成角可以利用平移法求解，截面面积利用梯形面积公式求解，体积问题利用等体积法求解，的最小值可以利用补形法求解.
【详解】对于A，取的中点，连接，如图，
因为，所以，即或其补角是与所成角.
在中，，，故A正确.
对于B，过三点的截面如图所示，其中为的中点，
四边形中，，，
所以四边形是等腰梯形，其高为，所以截面面积为，故B不正确.
对于C，因为，平面，所以平面，
因为在线段上运动，所以高与底面积为定值，三棱锥的体积不变，即三棱锥的体积不变，故C正确.
对于D，如图，补形一个全等的正方体，
设是靠近的一个三等分点，根据题意可得，，
，
所以，即.
根据对称性可知，所以，
当为与平面的交点时，取到等号，即的最小值为.
故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13. 已知幂函数的图象经过点（16，4)，则k-a的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义得到，代入点，得到的值，从而得到答案.
【详解】因为为幂函数，
所以，
即
代入点，
得，即，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 函数的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是____．
【答案】[－1，1]．
【解析】
【详解】主要考查函数单调性的概念及二次函数单调性判定方法．
解：令t=x＋1，∵－2≤x≤0，∴－1≤t≤1，∴f(t)=－2(t－1)＋1=－4t＋4，即f(x)=－4x＋4=在区间[－1，1]上是减函数．
15. 若正数，满足，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.
【详解】解：因为正数，满足，
则有，即，
，即，
所以，
当且仅当即，又，
即，时取得最小值，且最小值为．
故答案为：．
16. 在三棱锥中，平面平面，，，，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设的外心为，半径，三棱锥的外接球球心，半径，应用线面垂直的性质及矩形、外接球的性质，结合正弦定理即可求、，由求出，即可求外接球表面积.
【详解】设的外心为，半径，三棱锥的外接球球心，半径，
过作的平行线，过作的平行线，两条直线交于，
∵面面，面面，，面，
∴平面，又平面，
∴，则四边形为矩形，而，即为中点，即，
在中，由正弦定理得：，所以，
∵，
∴.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用线面垂直、矩形、外接球的性质求点面距，再利用正弦定理求外接圆半径，进而求球体的半径.
四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）分别求出集合与,然后将和集合取交集即可;
（2）先求出,再由,可分和两种情况讨论,可求出的取值范围.
【详解】（1）由题意,,解得,
即集合,则或,
又,所以;
（2）,,
若,则,解得;
若,则,解得.
故的取值范围是或.
【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法,考查了集合间的包含关系,考查了学生的运算求解能力,属于中档题.
18. 已知函数是偶函数．
（1）求a的值；
（2）设，，若对任意的，存在，使得，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义求参数值；
（2）由在上的最小值不小于在上的最小值求解．
【小问1详解】
因为是偶函数，
所以，即，
即，所以．
【小问2详解】
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值．
因为在上单调递增，所以，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以解得，即m的取值范围是．
19. 已知函数，其图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义可得出，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）利用导数求出函数极大值和极小值，再与、进行大小比较，即可得出结论.
【小问1详解】
解：因为，则，
因为函数的图象在点处的切线方程为，
则，解得，故.
【小问2详解】
解：因为，则，列表如下：
又因为，，
所以，函数在上的最大值为，最小值为.
20. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，∠ADC＝90°，BC＝CDAD＝1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G．
（1）求证：BEFG；
（2）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）证明：因为E为AD中点，
所以．
又因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DEBC，
所以四边形BCDE为平行四边形．所以BECD．
又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD，
所以BE平面PCD．
因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，
所以BEFG．
（2）解：因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE⊂平面ABCD，
所以PE⊥AE，且PE⊥BE．
因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°，
所以AE⊥BE．
以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz．
则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，0，0）．
设P（0，0，m）（m＞0），
所以，．
因为PC与AB所成角为，
所以．
所以．
则，．
所以，，．
设平面BEF的法向量为，
则即
令x＝6，则，
所以．
所以．
所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为．
21. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
【小问1详解】
根据频率分布直方图得：
．
【小问2详解】
由题意知，即，
所以．
小问3详解】
由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
所以.
22. 已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点分别为，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【解析】
【分析】（1）先求解出，然后分类讨论确定单调性，再求最小值，然后解不等式即可；
（2）根据是的两个极值点可求得的值，再利用的值将化简成，然后通过构造新函数并分析其定义域结合单调性求解出其最小值.
【详解】（1）因为，
所以，
由得或.
①当时，因为，不满足题意，
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，解得，
所以的取值范围为.
（2）函数，定义域为，，
因为，是函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等正根，
则有，，，
得，对称轴，故，.
且有，，
.
令，则，
，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，
所以的最小值为.
思路点睛：导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或或的新函数，同时根据已知条件确定出或或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
时间x
1
2
3
4
5
销售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
增
极大值
减
极小值
增
0
1
2
3