2024届贵州省高三上学期第一次联考数学试题含答案

这是一份2024届贵州省高三上学期第一次联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【分析】由交集的运算与子集个数结论求解
【详解】由题意得，所以，
故的子集个数为8．
故选：B
2．已知幂函数的图象经过点(8,4)，则（ ）
A．3B．C．9D．
【答案】C
【分析】由幂函数过的点坐标求解析式，再将代入求函数值即可.
【详解】令，则，可得，
所以，故.
故选：C
3．函数的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数复合函数的单调性判断增区间即可.
【详解】令，且对称轴为，
所以在上递减，在上递增，又在定义域内递减，
所以的单调增区间为.
故选：A
4．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由得函数周期，则，由解析式求值即可.
【详解】由，所以，所以.
故选：C
5．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由图象得函数的定义域与奇偶性后判断
【详解】的定义域为，故排除A；
对于B，当，，故是奇函数，排除B．
对于C，当，，故是奇函数，排除C．
同理得是偶函数，
故选：D
6．当时，函数取得最大值2，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对函数求导，根据函数最值点及最大值求出参数值，验证无误得到函数解析式即可求解.
【详解】因为，所以，
又当时，函数取得最大值2，
所以，，即，解得，，
所以，，
所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，
所以．
故选：C．
7．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意，得到，且函数在上单调递减，作出函数的图像，把不等式转化为，或，结合图像，即可求解.
【详解】因为奇函数在上单调递减，且，
所以，且函数在上单调递减，
则函数的对应的图像，如图所示，
不等式等价于：
①，即，解得；
②，即，解得，
综上可得，不等式的解集为.
故选：B .
8．已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用等价转换判断出，再求出，，整体代换分别求出，，即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，所以.
因为，所以，即.因为，所以，代入得，即，
所以，．
因为，所以，即，所以．
因为，所以.
又因为，得，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为，所以.
因为，所以．
所以
．
故选：D．
【点睛】函数奇偶性、周期性、对称性的综合应用，结论较多，通常采用赋值代入，层层转化，求出特殊的函数值或者找到相应的关系，即可求解.
二、多选题
9．“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】分两种情况进行讨论，当时，对恒成立；当时，对恒成立可通过一元二次不等式进行求解，即.求出的取值范围后便可逐个选项进行判断.
【详解】当时，对恒成立，符合题意；
当时，，解得，综上，实数的取值范围是.
所以“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件，故A正确；
“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件，故B正确；
“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件，故C错误；
“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件，故D错误.
故选：AB.
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】利用不等式的性质，利用作差法和基本不等式对选项依次判断即可.
【详解】对于A，因为，，，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确．
故选：BCD．
11．已知函数，若，则下说法正确的是（ ）
A．当时，有4个零点B．当时，有5个零点
C．当时，有1个零点D．当时，有2个零点
【答案】AC
【分析】先求得时零点个数判断选项AB；再求得时零点个数判断选项CD.
【详解】当时，令，由，解得或或.
作出函数的图象，如图1所示，易得有4个不同的实数解，
即当时，有4个零点.故A正确，B错误；
当时，令，所以，解得或或（舍）
作出函数的图象，如图2所示，易得有1个实数解，
即当时，有1个零点.故C正确，D错误.
故选：AC.
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，曲线在点处的切线方程为
B．若对任意的，都有，则实数的取值范围是
C．当时，既存在极大值又存在极小值
D．当时，恰有3个零点，且
【答案】BCD
【分析】根据导数的几何意义即可判断A；对于B，由题意知在上单调递增，则在上恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可判断；对于C，结合B选项，根据极值的定义判断即可；对于D，结合C，再根据零点的存在性定理分析即可判断.
【详解】解：对于A，当时，，所以，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，故A错误；
对于B，因为对任意的，都有，
所以在上单调递增，
即在上恒成立，
令，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
所以，解得，
即实数的取值范围是，故B正确；
对于C，当时，由B选项知，，
令，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以，
又在上单调递减，所以存在，使得，
又，
又在上单调递增，所以存在，使得，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
故既存在极大值又存在极小值，故C正确；
对于D，因为，
由C选项知，，
当时，；当时，，
故函数有三个零点，不妨设为，，，（，，），
又
，
故有，则，
即当时，恰有3个零点，且，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性问题及极值问题，考查了利用导数解决函数的零点问题，有一定的难度.
三、填空题
13．已知命题，使得，则为 .
【答案】.
【分析】根据特称命题的否定为全称命题求解即可.
【详解】解：因为，使得，
所以，
故答案为：
14．已知，，则 ．
【答案】/0.36
【分析】由指数与对数的运算性质求解
【详解】因为，所以，又，所以，
所以，，
故答案为：
15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是 .
【答案】或
【分析】令切线方程为、切点为并对曲线求导，由且得到有两个不相等的实根，即可求范围.
【详解】由题设，令切线方程为，而，
若切点为，则且，
所以，故有两个不相等的实根，
则，可得或.
故答案为：或
16．已知函数，，若，，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】通过已知条件可以将转化为，即，所以，令，通过对求导讨论其单调性即可求出的最大值.
【详解】因为，所以，又，所以，所以．因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，又，，所以，所以，．令，，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为．
故答案为：.
【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
四、解答题
17．已知全集，集合，.
(1)当时，求与；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，或；
(2).
【分析】（1）解绝对值不等式求集合A，并确定，应用集合的交、并运算求集合；
（2）由已知有，讨论、分别求参数范围，然后取并集.
【详解】（1）由题设，，，故或，
所以，或.
（2）由题意，
当时，，可得；
当时，，可得；
综上，.
18．已知关于的不等式的解集是．
(1)求实数，的值；
(2)若，，且，求的最小值．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）利用不等式的解集和对应方程的根的关系求出实数；
（2）先求出，利用基本不等式求解的最小值.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集是，
所以和是方程的两个根，所以
解得
当，时，的解集是，符合题意，所以，．
（2）由（1）知，，所以，
又，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．
19．已知函数.
(1)若，求在区间上的值域；
(2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设令，根据二次函数性质研究的值域即可；
（2）将问题化为在上有零点，结合二次函数性质并讨论参数a求范围.
【详解】（1）由题设，又，
令，则开口向上且对称轴为，
由，，，
所以，即在区间上的值域为.
（2）由在上有解，令，则，
所以在上有零点，则，即或，
而开口向上，对称轴为，
当，对称轴，则，可得，此时无解；
当，即对称轴，
若，对称轴，此时只需，可得或，此时；
若，对称轴，此时只需，可得或，此时无解；
若，对称轴，此时只需，可得，此时无解；
综上，.
（应用参变分离法，研究右侧对应区间的值域范围亦可）
20．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)求在区间上的最小值.
【答案】(1)极大值，极小值；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而判断并求出的极值；
（2）对求导，讨论、、对应的符号确定的单调性并求最值，注意时讨论与区间位置关系求最值，即可得结果.
【详解】（1）由题设且，则，
当或时，当时，故在、上递增，在上递减，
所以极大值，极小值.
（2）由，
当时，在、上，在上，
所以在、上递增，在上递减，故上最小值为；
当时，在上，即在上递增，故上最小值为；
当时，在、上，在上，
所以在、上递增，在上递减，
若，上最小值为；
若，上最小值为；
若，上最小值为；
综上，时，最小值为；
时，最小值为；
时，最小值为.
21．已知函数是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)若在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）由、列方程求参数即可；
（2）由（1）写出解析式，再应用单调性定义求证单调性即可；
（3）根据（1）（2）结论有恒成立，令化为，再令化为在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围.
【详解】（1）由题设，可得，
又，则，可得.
所以，.
（2）在上单调递增，证明如下：
由（1）：，令，
则，
由，，即，故，
所以在上递增.
（3）由题设及（1）知：，
由（2）知：，令，
则，整理得：，
若且时等号成立，则在上恒成立，
由开口向上，对称轴为，，
所以，即时，在上恒成立；
，即或时，，则，可得，此时；
综上，
22．已知函数 .
(1)求的单调区间；
(2)若有两个不同的零点，证明：.
【答案】(1)详见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得，然后分，，，讨论即得；
（2）由题可知有两个解，构造函数，利用导数研究函数的性质可得，然后经过分析可得证明即可，再构造函数通过导数判断函数的单调性即得.
【详解】（1）∵，
∴，
当时， 令， 解得，令， 解得，
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为；
当， 即时，在上恒成立，
所以的单调递减区间为，
当， 即时， 令， 解得，
令 ， 解得或，
所以的单调递增区间为 ，的单调递减区间为，；
当 ， 即时， 令， 解得 ， 令 ， 解得或 ，
所以的单调递增区间为 ，的单调递减区间为 ，；
综上，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为 ，的单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为 ，的单调递减区间为 ，；
（2）令， 即， 即，
所以，
令， 所以，
所以，
令 ， 解得，令， 解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又当时，， 当时，，
不妨设 ， 则，
要证， 即证，
又在上单调递增，
所以只需证 ，即证，
即证， 即证 ，
令， 所以，
令， 所以在上恒成立，
所以在上单调递减， 即 在上单调递减，
所以， 所以在上单调递减，
又，
所以，
所以.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.