2024届湖南省名校联考联合体高三上学期第三次联考数学试题含答案

这是一份2024届湖南省名校联考联合体高三上学期第三次联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出全集，然后由补集的定义可求得结果.
【详解】因为，又，
所以，
故选：B.
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先对化简求出复数，然后利用复数的几何意义可求得结果.
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：.
3．某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度（单位：千米）与气压（单位：千帕）的六组数据绘制成如下散点图，分析研究发现点相关数据不符合实际，删除点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．删除点后，样本数据的两变量正相关
B．删除点后，相关系数的绝对值更接近于1
C．删除点后，新样本的残差平方和变大
D．删除点后，解释变量与响应变量相关性变弱
【答案】B
【分析】结合散点图分析即可得出结论.
【详解】由题意，
从散点图中可知，删除点后，样本数据的两变量负相关，所以错误；
由于点较其他点偏离程度大，故去掉点后，回归效果更好，从而相关系数的绝对值更接近于，所以B正确；
同理决定系数越接近于，所以新样本的残差平方和变小，所以错误；
从而解释变量与响应变量相关性增强，所以D错误.
故选：B.
4．若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数平移的性质可得，即可代入求解.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得，
所以，所以.
故选:C.
5．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得.
【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”，
所以，则.
由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立，
法一：，且两两互互斥，
则
.
法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即，
则.
故选：B.
6．已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而由极值的定义可求出函数的极小值.
【详解】因为，，
所以.
当或时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，.
故选：D.
7．在中，点在平面内，且满足，命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线定理及线性运算分析判断即可.
【详解】若，由向量的线性运算法则，
可得，
因为，所以，，所以，
所以是的充分条件；
若，得，代，得，
所以，得，
当时，，此时不成立，
所以不是的必要条件.
故选：.
8．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】C
【分析】由已知可得，则，然后由，得，而为正整数，从而可求得答案.
【详解】由题可知，
由此可知，所以，
因为，
令，解得（舍），
由此可知时时，故的取值最大，
故选：C.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】对于AD，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断，对于C，利用作差法分析判断.
【详解】对于A，因为，所以由不等式的性质得，所以A正确；
对于B，当时，，所以B错误；
对于C，因为，所以，所以，所以C正确；
对于D，因为，所以，所以，所以D错误.
故选：AC.
10．设，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】先将的展开式的通项表示出来，然后将看作一个整体，可将原式表示成 ，根据所求式子，利用赋值法即可；
A中将代入即可；B中求的系数，在中需求出的系数，在中需求出的系数，进而求得的系数；C中由题干可知，分别令，，得到的两式作差即可求出所求式子的值；D中有题干知，只需令即可.
【详解】的展开式的通项为，所以，故选项A正确；
又，从而的展开式中的系数为，故选项错误；
令，得，
令，得，
两式相减得，所以，故选项C正确；
令得，故选项D正确；
故选：ACD.
11．已知平面向量满足：，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．与向量共线的单位向量为
B．平面向量的夹角为
C．
D．的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可判断A,根数量积的运算律即可求解B,根据模长公式即可求解C,由圆的定义可判断点在以点为圆心，为半径的圆上，即可由圆的性质求解D.
【详解】对于A，由于，所以与向量共线的单位向量为，故选项A错误；
设平面向量的夹角为，因为，所以，
所以，又，所以，故选项B正确；
因为，故选项C正确；
设，由B知由得，
因为，所以，可知点在以点为圆心，为半径的圆上，
所以，即，故选项D正确.
故选：BCD.
12．已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数是周期为4的周期函数
C．函数的图象关于点对称
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解A,由周期函数的定义即可求解B，根据原函数与导数的关系即可求解C,根据函数周期性的性质即可求解D.
【详解】因为是偶函数，所以，则，
所以函数的图象关于直线对称，由两边求导得，
所以，得，
所以函数的图象关于点对称，故选项A正确；
令得，所以，因为函数为偶函数，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
所以函数,所以的周期为，所以选项B正确；
又因为的周期为，故，所以，
因此，所以函数的图象关于直线对称，所以选项C错误；
因为，所以，又因为，所以，
所以，所以选项D正确.
故选:ABD.
三、填空题
13．已知，且，则 .
【答案】
【分析】根据二倍角公式即可求解，进而可得角.
【详解】由题意得，又，所以，所以，所以.
故答案为：
14．若，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式、一元二次不等式求得的最小值.
【详解】，当且仅当时等号成立，
，，
，所以的最小值为.
故答案为：
15．国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数字的7张门卡中的4张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一共有 种.（用数字作答）
【答案】312
【分析】根据题意分四位游客都没有拿到偶数数字门卡和四位游客中一个拿到偶数数字门卡，三个拿到奇数数字门卡求解，然后利用加法原理可求得结果.
【详解】门卡标有偶数数字包含，奇数数字包含，
若四位游客都没有拿到偶数数字门卡共有种；
若四位游客中一个拿到偶数数字门卡，三个拿到奇数数字门卡，有种.
故共有种.
故答案为：312
16．已知正实数满足：，则与大小关系为 .
【答案】
【分析】由题意可得，令，则有，根据函数的单调性即可得答案.
【详解】解：因为，所以，
设，又因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．在中，角的对边分别是，已知.
(1)求角的大小；
(2)已知，的面积为6，求边的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由降幂公式与辅助角公式化简得，，可得；
（2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以，即，
又，所以，
所以，得.
（2）由已知，的面积为6，
则，
解得，
由余弦定理，
得，
所以.
18．2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查.统计整理数据得到如下的列联表：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？
(2)在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈.设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.
附：，其中.
【答案】(1)选科分类与性别有关联
(2)分布列见解析，2
【分析】（1）计算卡方即可由独立性检验求解，
（2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列以及期望.
【详解】（1）列联表补充如下：
零假设为：选科分类与性别无关联，
因为，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为选科分类与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）由已知，50名女学生中选择物理类和选择历史类的比例为，
因此抽取6名女生中，选择物理类和选择历史类的人数均为3名.
所以随机变量的取值为.
，
所以随机变量的分布列如下表：
所以.
19．设数列的前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，，，且，设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由已知求出，再由，得当时，两式相减化简可求出；
（2）由可得数列是等比数列，且首项为2，公比为2，从而可求得，则，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】（1）由已知当时，，
由已知，当时，
两式相减得，
又当时，，满足，
所以.
（2）由已知，且，得，
又，所以，所以，
所以数列是等比数列，且首项为2，公比为2，
所以.
因为，
所以
.
20．如图，在平面四边形中，.
(1)若，求的大小；
(2)若，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，先求出，再在利用正弦定理求出，利用大角对大边进行取舍；
（2）把四边形的面积用题干中给出的变量进行表示，求解最值即可.
【详解】（1）解：由已知，得，
所以，所以.
在中，因为，所以，又，
由正弦定理得，得，
因为，所以，所以，所以.
（2）在中，由已知，
所以，
由余弦定理，
在中，因为，
又，所以
所以，
所以四边形的面积，
因为，所以，当，即时，，
故四边形面积的最大值为.
五、应用题
21．2022年北京冬奥会成功举办后，冰雪运动深受人们喜爱.高山滑雪运动爱好者乙坚持进行高山滑雪专业训练，为了更好地提高滑雪技能，使用两个气候条件有差异的标准高山滑雪场进行训练.
(1)已知乙第一次去滑雪场训练的概率分别为0.4和0.6.选择高山滑雪场的规律是：如果第一次去滑雪场，那么第二次去滑雪场的概率为0.6；如果第一次去滑雪场，那么第二次去滑雪场的概率为0.5，求高山滑雪运动爱好者乙第二次去滑雪场的概率；
(2)高山滑雪爱好者协会组织高山滑雪挑战赛，挑战赛的决赛由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的“飞雪”队进行比赛，约定赛制如下：“飞雪”队的乙、丙两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场比赛则甲获胜；若甲连续输两场比赛则“飞雪”队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，若甲与乙比赛，乙赢的概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为，其中.赛事组委会规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元.若“飞雪”队第一场安排乙与甲进行比赛，设赛事组委会预备支付的奖金金额共计万元，求的数学期望的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，
（2）根据相互独立事件的概率乘法公式，计算概率，即可得分布列，进而由期望的计算公式求解期望即可.
【详解】（1）设：第一次去滑雪场，：第二次去滑雪场，：第一次去滑雪场，：第二次去滑雪场，所以，
，
所以
.
（2）由已知或.
因为第一场比赛由“飞雪”队的乙与甲进行，
所以“飞雪”队获胜的概率为，
甲获胜的概率为，
所以非平局的概率为，
平局的概率为.
随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望为（万元），
又，所以的取值范围为（单位：万元）.
六、解答题
22．已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分离参数，得，构造函数，求导得函数的单调性，即可结合函数的图象和性质求解，
（2）将式子变形后构造函数，得，即可利用函数的单调性得，构造函数，将问题转化为，利用导数求解单调性，进而可求证.
【详解】（1）由已知函数的定义域为，
由，得，
令函数，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在单调递减，
所以，
因为，
可知函数的图象如下所示：
所以当时，函数的零点个数为0个，当或时，函数的零点个数为1个，当时，函数的零点个数为2个.
（2）由题设方程，即，
所以，
令，得，
又在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，
由已知，方程有两个实根，
即有两个实根，由（1）得.
令，
所以
令，所以有两个实根，
先证.
因为，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，要证，即证，
因为在上单调递减，只需证，
即证.
令，
，
因为，
令，
可知函数在上单调递增，所以，所以，
所以，即在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以成立，
即成立，又，且在上单调递减，
所以，所以，即，所以，
所以，即.
【点睛】本题考查了导数的综合运用,利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
选物理类
选历史类
合计
男生
35
15
女生
25
25
合计
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
选物理类
选历史类
合计
男生
35
15
50
女生
25
25
50
合计
60
40
100
1
2
3
4.5
3.6