2024届江苏省部分学校（徐州市第七中学等）高三上学期第一次联考数学试题含答案

这是一份2024届江苏省部分学校（徐州市第七中学等）高三上学期第一次联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解.
【详解】集合，而，
所以.
故选：B
2．已知，是非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调可知，从而充分性成立，反之也成立，即可判定.
【详解】因为，都是非零实数，由可得，
所以成立，反之也成立.
所以“”是“”的充分必要条件，
故选：A.
3．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性和特殊值的思路判断即可.
【详解】根据函数图象可得函数为偶函数，
A选项，
B选项，所以AB选项为奇函数，
故AB选项不正确；
根据函数图象可得，而C选项，D选项，所以C选项不正确，D选项正确.
故选：D.
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式进行求解.
【详解】，由辅助角公式得，故，
故选：B.
5．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（ ）
A．4.1小时B．4.2小时C．4.3小时D．4.4小时
【答案】B
【分析】根据题意列不等式，然后利用对数运算公式解不等式即可.
【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.
由，得，则.因为，则
，所以开车前至少要休息4.2小时.
故选：B.
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.
【详解】因为的面积为，，
所以，即.
所以，
所以.
故选：D.
7．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性，把转化为，利用单调性解不等式即可.
【详解】构造函数，依题意可知，
所以在上单调递减.由于是奇函数，
所以当时，，所以，
所以，
由得，即，所以，
故不等式的解集为.
故选：B
8．若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设切点为，进而得，再构造函数，将问题转化为与的交点个数问题，数形结合求解即可.
【详解】设切点为，
因为，
所以，即，
所以切线方程为，
所以，
即，
令，则，
令，即；令，即或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
由，，且当时，，
所以函数的大致图象如下：
由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，
此时过点可作3条直线与函数的图象相切，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，且，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】A选项，作差法得到，结合，得到结论；B选项，可举出反例；CD选项，作差法比较大小.
【详解】对于A，，又，故，A正确；
对于B，不妨设，则，故B错误.
对于C，，
∵，∴，，，
∴，∴，所以C错误.
对于D，，
∵，∴，，∴，
∴，所以D正确.
故选：AD
10．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数B．在区间内有最大值
C．的周期是D．在区间内有一个零点
【答案】AB
【分析】A.利用函数奇偶性的定义判断；B.利用导数法求解判断；C.利用周期函数的定义判断；D.利用零点的定义求解判断.
【详解】解：因为函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以是奇函数，故A正确；
求导，
当时，，，则，
所以在上单调递增，
当时，，，则，
所以在上单调递减，
则，故B正确；
，故C错误；
，
令得，或，因为，则，故D错误，
故选：AB
11．在边长为正六边形中，是线段上一点，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若向量在向量上的投影向量是，则
C．若为正六边形内一点（包含端点），则的取值范围是
D．若，则的值为
【答案】AC
【分析】由向量线性运算可利用表示出，知A正确；由投影向量定义可求得向量在上的投影向量为，知B错误；以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可知C正确；设，根据可求得的值，进而得到，知D错误.
【详解】对于A，若，则为中点，
，A正确；
对于B，由正六边形的性质知向量与的夹角为，
则向量在上的投影向量为，，B错误；
对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设，，，
，C正确；
对于D，由题意知：，，，
设，，，
，解得：，，，
，即，D错误.
故选：AC.
12．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于轴对称
C．函数是最小正周期为2的周期函数
D．若函数满足，则
【答案】ABD
【分析】根据抽象函数的对称性，以及条件的变形，即可判断ABC；首先判断函数的周期性，再利用周期性和函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确；
因为，所以，又，
所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确；
因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误；
因为，所以，那么，
所以也是周期为4的函数，
，
因为，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质和应用，理解抽象函数，理解自变量的任意性，从而学会变形，达到判断性质的目的.
三、填空题
13．的值为 ．
【答案】/
【分析】根据题设，利用诱导公式及特殊角三角函数值即可求出结果.
【详解】因为，
故答案为：.
14．已知复数z满足（i为虚数单位），则 .
【答案】2
【分析】利用复数的除法运算求得，然后求得
【详解】，
所以.
故答案为：
15．正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数，借助函数的单调性求出的关系，再利用基本不等式求解即得.
【详解】由，得，
令，原等式为，显然函数在R上单调递增，
于是，即，而，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
16．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的最大值是 ．
【答案】/
【分析】根据条件化简整理可得，然后利用向量的夹角公式和均值不等式即可求解.
【详解】由，得．
又由，得，则，
即，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以向量与的夹角的最大值是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，全集，集合，函数的定义域为.
(1)当时，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)求得集合A和集合B，根据补集和交集的定义即可求解；
(2)由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.根据真包含关系建立不等式求解即可.
【详解】（1），
即.
由，得，解得，即.
当时，.
∴.
（2）由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.
所以解得，
经检验符合集合是集合的真子集，所以a的取值范围是.
18．如图，在四边形中，
(1)求角的值；
(2)若，，求四边形的面积
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再判断得，结合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，从而解得，然后计算和面积的和即可.
【详解】（1）
，
因为，得，
或，
解得或，因为，得，
（2）在中，，
在中，，
，
，，得，
，所以四边形的面积为
19．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．
(1)若为奇函数，求的值；
(2)若在上单调递减，求的取值范围．
【答案】(1)或或；
(2).
【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简函数式再平移得，结合奇偶性计算即可；
（2）利用三角函数的单调性计算即可.
【详解】（1）易知，
向左平移个单位长度得，
因为为奇函数，所以，
故，
因为，所以或或；
（2）由（1）知，
，
则由题意可知，
结合，取时分别得，，
即.
20．设为实数，函数，．
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
【分析】（1）由导数得出函数的单调性，进而得出极值；
（2）由导数得出，的值域，由的值域是的值域的子集得出实数的取值范围．
【详解】（1），当时，；当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增；
函数的极小值为，无极大值.
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，则.
，，当时，；当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以，.
即.
因为，，都有，
所以的值域是的值域的子集.
即，解得.
即实数的取值范围为.
五、证明题
21．记锐角的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)见解析；
(2).
【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；
（2）根据（1）中结论运用正弦定理得，然后等量代换出，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.
【详解】（1）证明：由题知，
所以，
所以,
所以
因为 为锐角，即 ，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知：，
所以，
因为，
所以，
因为由正弦定理得：，
所以,
所以，
因为 ，
所以，
所以
因为是锐角三角形，且，
所以 ，
所以，
所以，
当时，取最大值为 ，
所以最大值为： .
六、解答题
22．已知函数，其中
(1)若，证明f（x）在 上存在唯一的零点.
(2)若，设为在上的零点，证明：在 上有唯一的零点，且
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)依题意转化为有唯一解即可;(2)利用等量替换，放缩转化为即可证明.
【详解】（1）令,即,即,
令
因为,所以恒成立,
所以在单调递增,
且,
,即，
由零点存在性定理知时,存在唯一零点,
所以时方程有唯一解,
所以f（x）在 上存在唯一的零点.
（2）由，得，
令
当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，
且，
所以存在唯一，使得，
所以在单调递减，单调递增，
，
所以存在唯一的，使得，
从而在 上有唯一的零点.
由题可知，，得，，
，得，
令
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
则，即恒成立,
又因为时，所以，
因为所以，
令在上单调递增，
，
所以有唯一解，
即，所以，即，
所以要证，只用证，
由 得，，得，
令，，
令解得令解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，即恒成立，
因为，所以则有
所以，
所以，所以,得证.
【点睛】利用放缩,等量替换将多元转化为单元函数进行证明是不等式证明的常用方法.