2024届江苏省苏州市常熟中学高三上学期阶段性抽测一数学试题含答案

这是一份2024届江苏省苏州市常熟中学高三上学期阶段性抽测一数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据待定系数法求解，即可代入求解.
【详解】设，则，
所以，故，
故选：C
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解.
【详解】的定义域需满足，
解得且，
故定义域为
故选：C
3．已知锐角，满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出、，由利用余弦的两角差的展开式计算可得答案.
【详解】因为为锐角，所以，
因为，为锐角，所以，
所以，
.
故选：B.
4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．1B．4C．9D．16
【答案】D
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用权方和不等式即可得解．
【详解】由，得，
由权方和不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为16．
故选：D．
5．已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性即可求解.
【详解】令，所以最大值和最小值分别为，
又，故为奇函数，
故的图象关于原点对称，故,
故选：D
6．的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（ ）
A．B．C．3D．或3
【答案】A
【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，结合面积公式，求得，即可求解.
【详解】由，因为，可得，
又由边上的角平分线，所以，
在中，可得，
在中，可得,
因为，且，
所以，即，
在中，由余弦定理可得，
所以，
又由，即，
因为，可得，即，可得，
所以.
故选：A.

7．已知奇函数的导函数为，且满足．当时，，则使得成立的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造，求导得到其单调性，得到定义域，判断出是偶函数，结合，得到，分和两种情况，求出不等式解集.
【详解】令，则，
故当时，恒成立，
故在上单调递减，
又为奇函数，，故
且定义域为，
，
故为偶函数，则在单调递增，
且，
当时，要想使得，则要，故，
当时，要想使得，则要，故，
故使得成立的x的取值范围为.
故选：A
8．已知函数，，若，则零点的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】画出函数的图象，令，则求在零点的个数，再令得，即求与的图象在交点的个数，求出的范围结合图象可得答案.
【详解】函数的图象如下，
令，则求在零点的个数，
由得，所以，
即方程有两个不相等正根，
令，可得，不成立，
所以，即求与的图象在交点的个数，
因为，所以，即，
解得，且，可得与的图象有2个交点，
当，且时，
与有8个交点，则零点的个数为8.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数的图象，令，则求在零点的个数.
二、多选题
9．已知实数x，y满足，则的可能取值是（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】BC
【分析】令，将化为关于y的一元二次方程，结合判别式求出t的范围，结合选项，即可得答案.
【详解】令，则，
故由得，
即，由于，故，
即得，结合选项可知的可能取值为，
故选：BC
10．已知函数的相邻两条对称轴的距离为，，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．函数图象可由，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位得到
B．函数关于直线对称
C．函数，的值域为
D．直线是函数的一条切线
【答案】BCD
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，根据已知条件求出和，利用正弦函数的性质判断函数图像的平移，函数的对称轴和区间内的值域，利用导数求曲线的切线.
【详解】，
相邻两条对称轴的距离为，则函数最小正周期，得，
，恒成立，，
即，，
当时，，由，时，，
当时，，此时不满足，
所以，，.
函数图象，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，
得到函数的图像，A选项错误；
，所以函数关于直线对称，B选项正确；
时，，当即时，函数取最大值2，当即时，函数取最小值-1，
所以在的值域为，C选项正确；
，，
时，，取，有，
则曲线在点处的切线方程为，
即直线是函数的一条切线，D选项正确.
故选：BCD.
11．若定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数的最小正周期为4
C．D．对于，都有
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可一一判定选项.
【详解】因为是偶函数，所以，
且函数的图象关于直线对称，故A正确；
又是奇函数，
所以，且函数的图象关于中心对称，
由上可知，则，
故，
即函数的一个正周期为8，
如令符合题意，
但4不是函数的最小正周期，故B错误；
由周期性可知，故C正确；
若D正确，则，
由是偶函数可知，
由条件无法判定函数值始终为0，故D错误.
故选：AC.
12．已知函数，则（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，单调递增
C．当时，有两个极值点
D．若有三个不相等的实根，，，则
【答案】ABC
【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可判断A；当时，即可判断B选项；当时，有两个不同的零点，即可判断C选项；由得到是的一个根，当时，由得，然后根据的奇偶性可得，即可判断D选项.
【详解】，
当时，，，，所以切线方程为，故A正确；
令，可得，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，上单调递增，则，
即当时，，单调递增，故B正确；
当时，，当时，，，
所以当时，与的图象有两个不同的交点，即有两个不同的变号零点，
所以时，有两个极值点，故C正确；
因为，所以是的一个实根，
当时，由，可得，则直线与函数的交点的横坐标为，，设，
又，所以为偶函数，图象关于轴对称，所以，所以，故D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：已知函数单调性求参数范围：
①若单调递增，则；
②若单调递减，则.
三、填空题
13．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用导数恒为非负，即可利用最值求解.
【详解】由得，
由于函数在上单调递增，故在上恒成立，
因此在对任意的恒成立，所以，
故答案为：
14．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式和余弦二倍角公式计算出答案.
【详解】.
故答案为：
15．已知函数，且对于，恒有，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分段函数单调递减需满足两段都为减函数，且第一段端点纵坐标不小于第二段端点纵坐标，以此列不等式组即可求解.
【详解】因为对于，恒有，
所以在R上单调递减，
所以，解得，即实数a的取值范围为.
故答案为：
16．已知函数，若在恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将不等式整理为，然后构造函数，得到，再结合得到在上单调递减，则在上恒成立，分离参变量后根据的范围得出答案．
【详解】不等式，可整理为，
即，
令，，
，
当时，，所以在上单调递减，
又，则当时，，即．
令，则，
因为，在上恒成立，
所以在上单调递减，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因为时，，所以．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是通过同构，得到构造函数的单调性，从而根据单调性与导数的关系，得到不等式恒成立问题，
再结合恒成立问题的解法即可解出.
四、解答题
17．命题：函数在上单调递减，命题：，恒成立．
(1)若命题为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题为真命题是为真命题成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次型不等式恒成立，结合分类讨论和判别式即可求解，
（2）根据充分不必要条件，转化为真子集关系，列不等式即可求解.
【详解】（1）∵命题：，恒成立
①当时，成立
②当时,,解得，
综上
（2）∵为真∴，∴
∵为真时为真命题成立的充分不必要条件,所以，
∴ ∴
18．已知函数的部分函数图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象最值可确定，由最小正周期可求得，根据可求得，由此可得；
（2）根据三角函数伸缩变换原则可得，采用整体对应的方式，将整体放入正弦函数的递增区间中，由此可构造不等式组，通过讨论的取值可求得结果.
【详解】（1）由图象可知：，
设最小正周期为，则，，解得：，
，，
解得：，又，，.
（2）由题意知：，
当时，，
在上单调递增，
，解得：，
令，解得：；
又，，解得：，，
又，或，
当时，；当时，；
综上所述：实数的取值范围为.
19．已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．请从下面三个条件中任选一个作为已知条件并解答：①，②，③．
(1)求A的大小；
(2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所选的条件，利用正余弦定理或两角和的正切公式化简，可求A的大小；
（2）由正弦定理和三角形内角和，结合三角恒等变换得到周长，再由为锐角三角形求得的范围，从而利用正弦函数的性质即可得解．
【详解】（1）选①，，
由正弦定理得，
中，，所以，得，即，
∵，则， ∴，∴.
选②，，由正弦定理得，
∴，∵， ∴.
选③，，有，
，
∴，∵，∴.
（2）为锐角三角形，，，
由正弦定理得，
∴，，，
周长
，
∵为锐角三角形， ∴，
∴， ∴， ∴，
∴，即周长的取值范围为.
20．已知函数，，其中是自然对数的底数．
(1)求函数的极值；
(2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得该函数的极大值和极小值；
（2）由题意可得，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则
令，得或。列表如下：
，.
（2）解：由题意可得，
由（1）可知在单调递减，
∴，∴在有解，，
令，，令，
所以，.
21．国庆期间，某小区为了增添节日氛围，决定对小区的健身步道进行装饰．如图是一个半径为1百米，圆心角为的扇形区域，点C是半径OB上的一点，点D是圆弧上一点，且．现决定在线段CD，圆弧的一侧铺设灯带，线段OC的两侧铺设灯带，且每百米a元．设，，灯带的总费用y元．
(1)求y关于的函数解析式；
(2)当为何值时，灯带费用y最大，并求出费用y的最大值．
【答案】(1)，
(2)当为时，费用y最大，最大值为百元
【分析】（1）根据题设，可得，利用正弦定理及弧长公式得到，，，再根据条件即可求出结果；
（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，即可求出结果.
【详解】（1）由题，可得，，，
在中，由正弦定理知，，
所以，，，
又扇形BOD中，，
所以
，
（2）由（1）得
令，得到
又因为，所以
∴时，（百元）
故当为时，费用y最大，最大值为百元．
22．已知函数，其中e是自然常数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域后，分和两种情况讨论可求出函数的单调区间；
（2）由题得对恒成立，构造函数，可得在单调递增，则，然后分和两种情况讨论即可求得结果.
【详解】（1）定义域为，，
①时，， ∴在上单调递增，
②时，令，∴，
令，∴，
∴在单调递减，单调递增，
综上：时，在上单调递增，
时，在单调递减，单调递增，
（2）由题得对恒成立，
令，，
，令，则，
∵ ∴，，
∴恒成立，∴在单调递增，即在单调递增，
∴，
①时，恒成立，∴在单调递增，
∴恒成立 ，∴
②时，，，
∵在单调递增，∴使，
当时，，当时，，
∵在单调递减，单调递增，
∴使 ，∴不符合 ，
综上.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为对恒成立，然后构造函数利用导数解决即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
x
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
单调递增
极大值
单调递减
0
y
单调递增
极大值
单调递减