陕西省西安中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学（Word版附答案）

这是一份陕西省西安中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A.若向量，平行，则，所在的直线平行
B.若，则，的长度相等而方向相同或相反
C.若向量满足，则
D.相等向量其方向必相同
3. 已知点．若直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
4. 如图1，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为∆的重心，则( )
图1
A．B．
C．D．
5. 已知、、，则原点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆，圆，则下列选项错误的是（ ）
A. 两圆的圆心距离是B. 两圆有条公切线
C.两圆相交D. 公共弦长
7.如图2，，平面，⊥平面，，与平面成30°角，则间的距离为( )
图2
A． B． C. D.
8. 若点和点分别为椭圆的中心和下焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.）
9. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ）
A. 直线一定过定点 B. 的充要条件是
C.若，则 D. 点到直线的距离的最大值为
10. 一条光线从点A-2,3射出，经x轴反射后，与圆C:(x-3)2+(y-2)2=1相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（ ）
A．3x-4y-1=0B．3x-4y-6=0
C．4x-3y-1=0D．4x-3y-6=0
11. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图3所示，已知它的近地点(离地心最近的一点)距地面，远地点(离地心最远的一点)距地面，并且三点在同一直线上，地球半径约为，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则( )
图3
A． B．
C． D．
12. 如图4，在菱形ABCD中，AB=433，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点之间的距离为22，若分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ）
图4
A．平面ABD⊥平面BCD
B．线段PQ的最小值为2
C．当AQ=QC，4PD=DB时，点D到直线PQ的距离为1414
D．当分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为64
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上的相应位置.）
13. 已知圆与圆外切，则______．
14. 已知，是空间两个向量，若，，，则________.
15. 已知正方形，以该正方形其中一边的端点为焦点，且过另外两点的椭圆的离心率为________．
16. 已知直线l：x-y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则AM的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分8分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①与直线垂直；②过点；③与直线平行.
问题：已知直线过点，且___________.
（1）求直线的一般式方程；
（2）若直线与圆相交于点，，求弦的长.
18. （本小题满分8分） 已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长是，离心率是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在该椭圆上，为它的左、右焦点，且，求△的面积．
19. （本小题满分8分） 如图5，在正方体中，为的中点.
图5
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. （本小题满分8分） 已知一个动点P在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过定点的直线与点的轨迹交于不同的两点，且满足，求直线的方程.
21. （本小题满分8分） 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图6所示，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，．
图6
(1)当点为线段的中点时，求证：直线平面；
(2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．
西安中学2023-2024学年度第一学期期中考试
高二数学试题答案
一 选择题
二 选择题
三 填空题
13. 14. 15. 16.
四 解答题
17. 【解析】方案一选条件①.（1）因为直线的斜率为，又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即.
（4分）
（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以. （8分）
方案二选条件②.（1）因为直线过点及，所以直线的方程为，即. （4分）
（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以. （8分）
方案三选条件③.（1）因为直线的斜率为，直线与直线平行，所以直线的斜率为.依题意，直线的方程为，即. （4分）
（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以. （8分）
第（2）问也可以用弦长公式求解
18. 解析：(1)由题意知，椭圆的标准方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1； （4分）
（2）由已知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cs 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②将②代入①解得|PF1|＝eq \f(6,5)，∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5).因此所求△PF1F2的面积是eq \f(3,5)eq \r(3). （8分）
19. (1)证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，则，
设平面的法向量为，由于，可得，可取，
因为，所以，又平面，所以平面； （4分）
(2)，设直线与平面所成角，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为. （8分）
20. 解(1)设M(x，y)，动点P(x0，y0)，由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))解得x0＝2x－4，y0＝2y，又由xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝36，得(2x－4)2＋(2y)2＝36，即(x－2)2＋y2＝9，∴点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝9. （4分）
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，与圆M交于A(0，eq \r(5))，B(0，－eq \r(5))，此时x1＝x2＝0，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx－3，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－3，,（x－2）2＋y2＝9))消去y，得(1＋k2)x2－(4＋6k)x＋4＝0，则Δ＝[－(4＋6k)]2－4×4(1＋k2)>0，x1＋x2＝eq \f(4＋6k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(4,1＋k2).由eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)＝eq \f(21,2)，得xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝eq \f(21,2)x1x2，即(x1＋x2)2＝eq \f(25,2)x1x2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4＋6k,1＋k2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,2)·eq \f(4,1＋k2)，整理得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1，k＝eq \f(17,7)，经检验Δ>0.此时直线l的方程为x－y－3＝0或17x－7y－21＝0.综上：直线l的方程为x－y－3＝0或17x－7y－21＝0. （8分）
21. 【解析】（1）证明：因为点N为线段AD的中点，且，所以，因为，且四边形ABCD为正方形，故，所以，而平面，故平面； （4分）
（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取的中点为，设点H为线段AD的中点，由（1）知四点共面，且平面，连接平面，故，
又平面，故平面平面，且平面平面，
由题意可知四边形为等腰梯形，故,平面，故平面，
故以O为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，
因为，则，又，故，设到底面的距离为h，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且，故，，故，则，，，，
设平面的一个法向量为，则，令，
设平面的一个法向量为，则，令，
故，
令，则，
令，则，令，则在上单调递增，
故当时，，当时，，故，即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为. （8分）
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
D
A
A
D
C
C
9
10
11
12
ACD
BC
ABD
ABD