2024届广西玉林市博白县中学高三上学期开学考试数学试题含解析

这是一份2024届广西玉林市博白县中学高三上学期开学考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，
因此，.
故选：B.
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】在定义域内单调递增，
，，，,
由于，所以零点所在的区间是
故选：C
3．若，且角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义，列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
根据三角函数的定义可得，
所以，，且，
所以，.
故选：D．
4．若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，展开后根据基本不等式求解即可.
【详解】由题意，，
当且仅当，即，时取等号.
故选：C
5．已知都是锐角，满足，求的值（ ）
A．B．或C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件求的值，结合都是锐角，可得的值
【详解】都是锐角， ，则，
.
都是锐角，，所以.
故选：C
6．为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．144B．120C．150D．180
【答案】C
【分析】将5名老师分为和的两种情况，计算得到答案.
【详解】5名老师分为的情况时：共有；
5名老师分为的情况时：共有，
故共有种不同的分派方法.
故选：C.
7．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先证明最大，再证明，即得解.
【详解】解：由题得，
，，所以.
a＝0.20.2 ，b，
显然，a的被开方数大于b的被开方数，∴a＞b，
故有c＞a＞b.
故选：C
8．已知函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出函数的图象，设，设，可得出直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、，利用对称性得出的值，并结合图象得出实数的取值范围，从而可得出的取值范围，由此得出的取值范围.
【详解】作出函数的图象，设，设，
由图象可知，当时，直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、，
二次函数的图象关于直线对称，则，
由于，即，得，解得，
.
因此，的取值范围是.
故选C.
【点睛】本题考查函数零点和的取值范围，解题时要充分利用函数的对称性来求解，也可以转化为以参数为自变量的函数，转化为函数的值域问题求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】通过举反例和不等式的性质即可判断.
【详解】对A，当时,,故A错误：
对B，得，则，故B正确；
对C，，此时，故C错误；
对D，由,所以,
所以两边同除得，选项D正确；
故选：BD.
10．下列说法中，正确的命题有（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和0.3
C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为16
【答案】BC
【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；
对于C，利用残差图的意义即可判断；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答.
【详解】对于A，因，且，于是得
，A不正确；
对于B，由得，依题意得，，即，B正确；
对于C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；
对于D，依题意，，，，的方差为，D不正确．
故选：BC．
11．已知函数的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）

A．的周期为
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像
D．方程在上有3个不相等的实数根
【答案】ACD
【分析】根据图象，通过最值、最小正周期、代点，求得函数解析式，利用周期的定义、正弦函数的对称性、图象变换、三角函数运算，解得整体思想，可得答案.
【详解】由图象可知，，且，则，
，由，且，解得，
将代入，可得，
解得，由，则，
可得，
对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，令，，故B错误；
对于C，由题意，平移后的函数解析式为，故C正确；
对于D，由方程，，，
则或，
化简可得或，
由，则或或，故D正确.
故选：ACD.
12．设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．是偶函数
B．不是奇函数
C．函数有10个不同的零点
D．
【答案】AC
【分析】根据函数关系式可推导得到关于直线和点对称，且周期为；令，，由奇偶性定义可得的奇偶性，可判断AB；作出和的图象，根据图象可得两函数交点个数，进而确定函数零点个数，知C正确；根据周期性可求得，知D错误.
【详解】，且关于直线对称；
又，且关于中心对称；
，则是周期为8的周期函数；
对于，令，则为偶函数，正确；
对于，令，
则
为奇函数，不正确；
对于，作出和的图象如下图所示，

当时，，又，
由图象可知：与共有10个不同的交点，
则有10个不同的零点，正确；
对于，
错误.
故选：AC
三、填空题
13．已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值是
【答案】/ 或/ 或
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】设曲线在处的切线斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，解得，
令，则，
所以，解得，
故答案为：
14． .
【答案】
【分析】根据正切和角公式得到，代入即可求解.
【详解】因为，
所以
所以
故答案为：
15．已知函数是奇函数，则 .
【答案】/1.5
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称以及奇函数的性质即可求解.
【详解】由于函数的定义域满足，故定义域为，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知，
所以，，
所以，
故，
故答案为：
16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】只需在上有两个变号根即可，通过分离参数，研究函数的单调性结合函数图象的变化趋势即可求解．
【详解】由，得，．
要使有两个极值点，
只需有两个变号根，即有两个变号根．
令，，则，
由得，易知当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减．
所以，
而，当时，，当时，，
作出，的图象，可知：

，解得．
故答案为：
四、解答题
17．计算下列各式的值．
(1)
(2)已知，求．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据指数与对数的运算求解即可；
（2）根据诱导公式，结合正余弦与正切的关系求解即可.
【详解】（1）
（2）
18．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得函数的单调递增区间.
（2）先求得当时，的范围，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）
，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）对任意的，有，
∴，∴，
要使恒成立，∴，解得．
故所求实数m的取值范围为．
19．为了研究昼夜温差与引发感冒的关系，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．
表1
表2
(1)写出m，n，p的值；
(2)依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；
(3)根据表2数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（若，则认为y与x线性相关性很强；若，则认为y与x线性相关性一般；若，则认为y与x线性相关性较弱）．
附表：
参考公式及数据：，其中．
，，，．
【答案】(1)，，
(2)不能认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”具有相关性
(3)很强
【分析】（1）根据表1计算可得结果；
（2）先零假设，再计算，结合临界值表可得结论；
（3）根据公式计算可得结论.
【详解】（1），，.
（2）零假设：在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”不具有相关性，
，
因为，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即不能认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”具有相关性.
（3），，
，
所以，
所以y与x线性相关性很强.
20．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的比例，检测员从流水线上随机抽取100件产品进行检验，检验结果如下表所示：
(1)已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为40%，50%，60%.若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估计概率，求选到绑带式口罩的概率；
(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中医用普通口罩的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】(1)0.48
(2)分布列见解析，1.2
【分析】（1）先找到每一种口罩被选到的概率，再找到每一种口罩里面绑带式口罩被选到的概率，利用全概率公式求解.
(2)由题，，，即可求解.
【详解】（1）记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，
则，且两两互斥，
由题意：，
记事件为“选到绑带式口罩”，则，
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为：
. .
（2）由题意知，， ，
，，
，，
故的分布列为：
.
21．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到角的余弦值，即可求出答案；
（2）利用正弦定理表示出，，利用三角函数求出最值.
【详解】（1）在中，由正弦定理，且，
则，，
由，则，，
由，则，，
，，
，由锐角中，，则.
（2）由（1）可知，则，
在中，由正弦定理可得：，由，则，
解得，，，
由，且，则，
，
由锐角，，，则，解得，
由余弦函数的单调性，可得，解得.
22．已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题知，再根据和时的情况求解函数最小值即可得答案；
（2）方法一：根据题意得，进而令得，
再令，求函数最小值即可；
方法二：由题知方程有两个不同的实数根， ，，
进而根据极值点偏移问题求解即可.
【详解】（1）解：因为，，
所以，.
当时，有，所以函数在上单调递增，所以函数不存在最小值；
所以不合题意，故.
当时，令，得.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，解得.
所以，的值为.
（2）解：方法一：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以①；②.
①－②得：，即，
所以，
令，有，
所以，从而得.
令，则，
所以函数在上单调递增，即，
即，又，
所以，恒成立，即，得证.
方法二：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以，即方程有两个不同的实数根.
令，，则，.
令，得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
因为，
所以.
令，，
则.
所以在上单调递减，所以，即.
所以，所以.
又在上单调递增，所以.即，得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于由，结合得到，再根据函数的性质得，进而证明结论；
性别
患感冒的情况
合计
患感冒人数
不患感冒人数
男生
30
70
100
女生
42
58
p
合计
m
n
200
温差x
6
7
8
9
10
患感冒人数y
8
10
14
20
23
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
产品类型
医用普通口罩
医用外科口罩
医用防护口罩
样本数量（件）
40
40
20
0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064