2024届陕西省安康市重点名校高三上学期10月联考数学（理）试题含解析

这是一份2024届陕西省安康市重点名校高三上学期10月联考数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先解一次不等式与二次不等式化简集合，再利用集合的并集运算求得即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据对称得到，在利用复数除法法则进行计算.
【详解】因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，
所以．
故选：B．
3．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数区间上单调递增，
则令，，
解得，，
结合是区间，
所以，
解得.
“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
4．在数列中，，且数列是等差数列，则（ ）
A．16B．C．19D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义与性质运算求解.
【详解】由题意可得：，
设数列为的公差，则，即，
故，解得.
故选：B．
5．已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据和在公共点处有相同的切线得出在处两函数的导数相等,再由在上,列方程组求解即可.
【详解】因为，所以，
由题意，解得
故选:A.
6．《中华人民共和国国家综合排放标准》中的一级标准规定企业生产废水中氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L.某企业生产废水中的氨氮含量为225ml/L.现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，为安全起见，要使废水中的氨氮含量不高于国家排放标准值的一半，至少要进行循环的次数为（ ）（参考数据，）
A．3B．4C．8D．9
【答案】D
【分析】根据题意可知过滤次数与废水中的氨氮的含量关系为，在根据题意列出不等式解出即可．
【详解】过滤第一次废水中的氨氮的含量减少，则为；
过滤第两次废水中的氨氮的含量减少，则为；
过滤第三次废水中的氨氮的含量减少，则为；

过滤第n次废水中的氨氮的含量减少，则为；
要求废气中该废水中的氨氮的含量不能超过7.5ml/L ，则，即，
两边取以10为底的对数可得，
即，
所以，
因为，，
所以，
所以，又，所以，
故排放前需要过滤的次数至少为9次．
故选：D．
7．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用倍角公式化简可得，代入结合诱导公式运算求解.
【详解】∵
，
所以．
故选：A．
8．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据的图像，得到不同范围下，的正负，得到的单调性，得到答案.
【详解】由的图象知，当时，，故，单调递增；
当时，，故，当，，故，
等号仅有可能在x＝0处取得，
所以时，单调递减；
当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.
故选：C.
9．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则（ ）
A．输出的m的值为25B．输出的n的值为75
C．输出的m的值为大僧的人数D．输出的n的值为大僧的人数
【答案】D
【分析】根据程序框图，模拟执行程序即可得解.
【详解】执行程序框图：，继续执行；，继续执行；
，继续执行；
，继续执行；
，继续执行；
，退出循环，输出.
输出的的值为小僧的人数，输出的的值为大僧的人数.
故选：D.
10．函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，
【详解】函数为偶函数，
则，故，
因为在单调递增，所以.
根据二次函数的性质可知，
不等式 ，或 者，
的解集为，
故选D.
【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.
11．在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接并延长交于点，由重心的性质可得出，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出，推导出，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】连接并延长交于点，则为的中点，
因为，则，由重心的性质可得，则，
因为，
所以，，所以，，
所以，，
所以，，则为锐角，
由余弦定理可得，
所以，，
因为为锐角三角形，则，即，即，
所以，，
构造函数，其中，
任取、且，则
.
当时，，，则，
当时，，，则，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，，故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：在涉及到三角形中的中线问题，一般利用向量法来处理，结合三角形中的余弦定理来求解，本题中要求解的是角的余弦值的取值范围，要充分利用已知条件将角的余弦值表示为以某个变量为自变量的函数，结合锐角三角形这一条件求出变量的取值范围，再利用相关函数的单调性求解.
12．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用作差法，结合基本不等式判断大小，再构造函数判断与的大小关系即可.
【详解】对，
因为，即，
所以，即；
对，又，令，则，所以当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号，
所以，令，则，
所以当时，所以在上单调递增，显然，又，即，即，所以，即.
故选：C
二、填空题
13．已知等边的重心为O，边长为3，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正三角形的性质结合数量积的定义求解作答.
【详解】在等边中，延长交于，如图，
因为为重心，则，，
所以.
故答案为：
14．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点分别为，若直线 的倾斜角为，则 .
【答案】/
【分析】由，，根据题意求得，得到或者，再结合诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解.
【详解】由题意得，点，，
所以直线的斜率，
所以，即，
所以或者，
当时，可得，此时点重合，不合题意，
当时，即，
可得.
故答案为：.
15．设函数的图象关于y轴对称，当时，，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意推得，结合题意和，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于y轴对称，可得，所以，所以.
故答案为：
16．已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位长度得的图象，又的所有根从小到大依次相差3个单位，则 .
【答案】/
【分析】根据三角恒等变换、三角函数的最值、图像变换、周期和方程的根等知识来求得的解析式.
【详解】由题意得，
其中，
因为是图象的最低点，
所以，所以，
所以，
横坐标缩为原来的得，
向左移动1个单位长度得，
所以.
由的所有根从小到大依次相差3个单位，
可知与的相邻交点间的距离相等，
所以过曲线的最高点或最低点，
或经过所有的对称中心.
①当过曲线的最高点或最低点时，
每两个根之间相差一个周期，即相差6，不合题意；
②当过曲线所有的对称中心时，
则，所以，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数的恒等变形，对于的化简，主要利用的是两角和与差的正余弦公式，化为，也可化为，也可根据题意选择合适的一个来对问题进行求解，属于中档题.
三、解答题
17．设函数．
(1)求的最小正周期及其图象的对称中心；
(2)若且，求的值．
【答案】(1)最小正周期为，对称中心为
(2)
【分析】（1）展开化简最小正周期为，令对称中心为；
（2）根据，求得，配凑从而带入求值.
【详解】（1）因为
所以的最小正周期为．
令，解得，
所以的对称中心为
（2）因为，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
．
18．李同学在暑假期间进行一项社会实践活动，随机抽取了80名喜爱身体锻炼的年轻人，调查他们是否将跑步作为主要锻炼方式，得到如下数据不完整的列联表：
(1)请将列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关？
(2)在被调查的80人中，从不是将跑步作为主要锻炼方式的人群中按性别采取分层抽样的方法抽取5人参加体育健身学习活动，再从中选取2人作为代表发言，记2人中女性人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：参考公式及数据：，其中.
【答案】(1)列联表答案见解析，没有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）根据题中数据完成列联表即可，根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；
（2）根据分层抽样的性质得出抽取的5人中，男性2人，女性3人，进而得出的可能值，分别求出每一个值对应的概率，列出分布列，将数据代入期望的计算公式即可求解.
【详解】（1）列联表如下：
，
所以没有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关.
（2）抽取的5人中，男性有人，女性有人，
的可能值有0，1，2，
，
的分布列为
.
19．已知中，，D为AB中点，.
(1)若，求AC的长度；
(2)若，求的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由余弦定理和互补角的余弦关系即可求解；
（2）根据余弦定理和正弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
，
，
在中，，
所以AC的长度为2.
（2）设BC＝x，则AC＝2x，在和中分别利用余弦定理得
，
解得（负根舍）.
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，
即.
20．已知函数，当时，函数取得极值.
(1)若在上为增函数，求实数m的取值范围；
(2)若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可；
（2）构造新函数，利用导数的性质，结合函数零点的性质进行求解即可.
【详解】（1）由，则，
因为时，取到极值，所以，解得.
又当时，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极值，符合题意.
要使在上为增函数，则或，所以或.
即实数的取值范围为.
（2）令，由（1）得，且，
故，，则，
当时，令，解得，令，解得，
所以的递增区间为，递减区间为，
故，而，，故.
要使有两个根，则.
即实数的取值范围为.
21．如图，长方体中，为棱的中点.
(1)求直线被长方体的外接球截得的线段长度；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设的中点为，根据长方体的性质结合条件可得球心到直线的距离，然后根据球的性质即得；
（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得.
【详解】（1）设的中点为，连结，
则为长方体外接球的球心，且平面，
由题意知，，
所以，所以，
设到直线的距离为，则，解得，
因为外接球的半径，
所以直线被此外接球截得的弦长为；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量，
因为，
则由，得，令，可得，
又，
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．设函数，，.
(1)求在上的单调区间；
(2)若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；
(3)证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)a≤1
(3)证明见解析
【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；
（2）设函数，求得，令，求得，分和，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得的取值范围.
（3）取，由（2）知，令，，令，化简得到，进而证得结论.
【详解】（1）解：由函数，可得，
当，即时，，此时函数在上单调递增；
当，即时，令，解得；
令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数单调递增区间为；当时，单调递增区间为，递减区间为.
（2）解：设函数，则，
令，则，
当，即时，，即，
即，所以成立，此时符合题意；
当，即时，令，解得，所以在区间上单调递减，又由，此时在上单调递减，
所以，显然不满足题意.
综上可得，实数的取值范围为.
（3）证明：取，由（2）知，
因为，令，代入得到，
即，且，
令，，即，代入化简得到，
所以成立.
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
将跑步作为主要锻炼方式
不是将跑步作为主要锻炼方式
合计
男性
20
20
女性
30
合计
80
0.40
0.25
0.10
0.010
0.005
0.001
0.708
1.323
2.706
6.635
7.879
10.828
将跑步作为主要锻炼方式
不是将跑步作为主要锻炼方式
合计
男性
20
20
40
女性
10
30
40
合计
30
50
80
0
1
2