2024届陕西省安康市重点名校高三上学期10月联考数学（文）试题含解析

这是一份2024届陕西省安康市重点名校高三上学期10月联考数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合，由补集和并集的定义即可得出答案.
【详解】因为全集，，
所以，又因为，所以
故选：D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算求得标准形式，利用模长的计算公式，可得答案.
【详解】由，则，即，
故选：C.
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】解：因为点在曲线上，
所以，
故切点为，即切线的斜率为0，
所以切线方程为，即.
故选：A.
4．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数区间上单调递增，
则令，，
解得，，
结合是区间，
所以，
解得.
“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
5．在数列中，，且数列是等差数列，则（ ）
A．16B．C．19D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义与性质运算求解.
【详解】由题意可得：，
设数列为的公差，则，即，
故，解得.
故选：B．
6．《中华人民共和国国家综合排放标准》中的一级标准规定企业生产废水中氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L.某企业生产废水中的氨氮含量为225ml/L.现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，为安全起见，要使废水中的氨氮含量不高于国家排放标准值的一半，至少要进行循环的次数为（ ）（参考数据，）
A．3B．4C．8D．9
【答案】D
【分析】根据题意可知过滤次数与废水中的氨氮的含量关系为，在根据题意列出不等式解出即可．
【详解】过滤第一次废水中的氨氮的含量减少，则为；
过滤第两次废水中的氨氮的含量减少，则为；
过滤第三次废水中的氨氮的含量减少，则为；

过滤第n次废水中的氨氮的含量减少，则为；
要求废气中该废水中的氨氮的含量不能超过7.5ml/L ，则，即，
两边取以10为底的对数可得，
即，
所以，
因为，，
所以，
所以，又，所以，
故排放前需要过滤的次数至少为9次．
故选：D．
7．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用倍角公式化简可得，代入结合诱导公式运算求解.
【详解】∵
，
所以．
故选：A．
8．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据的图像，得到不同范围下，的正负，得到的单调性，得到答案.
【详解】由的图象知，当时，，故，单调递增；
当时，，故，当，，故，
等号仅有可能在x＝0处取得，
所以时，单调递减；
当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.
故选：C.
9．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则（ ）
A．输出的m的值为25B．输出的n的值为75
C．输出的m的值为大僧的人数D．输出的n的值为大僧的人数
【答案】D
【分析】根据程序框图，模拟执行程序即可得解.
【详解】执行程序框图：，继续执行；，继续执行；
，继续执行；
，继续执行；
，继续执行；
，退出循环，输出.
输出的的值为小僧的人数，输出的的值为大僧的人数.
故选：D.
10．函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，
【详解】函数为偶函数，
则，故，
因为在单调递增，所以.
根据二次函数的性质可知，
不等式 ，或 者，
的解集为，
故选D.
【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.
11．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，对求导，得出的单调性，可知，则，同理构造函数，可得，即可得出答案.
【详解】构造函数，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以，即，得，即；
构造函数，则，
当时，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：（1）利用函数单调性；（2）利用中间量；（3）构造函数.
12．在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接并延长交于点，由重心的性质可得出，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出，推导出，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】连接并延长交于点，则为的中点，
因为，则，由重心的性质可得，则，
因为，
所以，，所以，，
所以，，
所以，，则为锐角，
由余弦定理可得，
所以，，
因为为锐角三角形，则，即，即，
所以，，
构造函数，其中，
任取、且，则
.
当时，，，则，
当时，，，则，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，，故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：在涉及到三角形中的中线问题，一般利用向量法来处理，结合三角形中的余弦定理来求解，本题中要求解的是角的余弦值的取值范围，要充分利用已知条件将角的余弦值表示为以某个变量为自变量的函数，结合锐角三角形这一条件求出变量的取值范围，再利用相关函数的单调性求解.
二、填空题
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么 ．
【答案】10
【分析】由条件结合奇函数的性质求，由此可求.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故，
又当时，，，
所以.
故答案为：10.
14．已知等边的重心为O，边长为3，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正三角形的性质结合数量积的定义求解作答.
【详解】在等边中，延长交于，如图，
因为为重心，则，，
所以.
故答案为：
15．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点分别为，若直线 的倾斜角为，则 .
【答案】/
【分析】由，，根据题意求得，得到或者，再结合诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解.
【详解】由题意得，点，，
所以直线的斜率，
所以，即，
所以或者，
当时，可得，此时点重合，不合题意，
当时，即，
可得.
故答案为：.
16．已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位长度得的图象，又的所有根从小到大依次相差3个单位，则 .
【答案】/
【分析】根据三角恒等变换、三角函数的最值、图像变换、周期和方程的根等知识来求得的解析式.
【详解】由题意得，
其中，
因为是图象的最低点，
所以，所以，
所以，
横坐标缩为原来的得，
向左移动1个单位长度得，
所以.
由的所有根从小到大依次相差3个单位，
可知与的相邻交点间的距离相等，
所以过曲线的最高点或最低点，
或经过所有的对称中心.
①当过曲线的最高点或最低点时，
每两个根之间相差一个周期，即相差6，不合题意；
②当过曲线所有的对称中心时，
则，所以，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数的恒等变形，对于的化简，主要利用的是两角和与差的正余弦公式，化为，也可化为，也可根据题意选择合适的一个来对问题进行求解，属于中档题.
三、解答题
17．设函数．
(1)求的最小正周期及其图象的对称中心；
(2)若且，求的值．
【答案】(1)最小正周期为，对称中心为
(2)
【分析】（1）展开化简最小正周期为，令对称中心为；
（2）根据，求得，配凑从而带入求值.
【详解】（1）因为
所以的最小正周期为．
令，解得，
所以的对称中心为
（2）因为，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
．
18．李同学在暑假期间进行一项社会实践活动，随机抽取了80名喜爱身体锻炼的年轻人，调查他们是否将跑步作为主要锻炼方式，得到如下数据不完整的列联表：
(1)请将列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关？
(2)在被调查的80人中，从不是将跑步作为主要锻炼方式的人群中按性别采取分层抽样的方法抽取5人参加体育健身学习活动，再从中选取2人作为代表发言，求选取的2名代表都为女性的概率.
附：参考公式及数据：，其中.
【答案】(1)列联表答案见解析，没有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关
(2)
【分析】（1）根据题意，得出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可求解；
（2）根据题意，得到男性有人，记为1，2，记为，利用列举法求得基本事件的总数，以及选取的2名代表都为女性种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，可得列联表如下：
则，
所以没有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关.
（2）解：抽取的5人中，男性有人，记为1，2，女性有人，记为，
从中选取2人所有可能情况有：，共有10种；
选取的2名代表都为女性的情况有：，有3种；
则选取的2名代表都为女性的概率.
19．已知中，，D为AB中点，.
(1)若，求AC的长度；
(2)若，求的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由余弦定理和互补角的余弦关系即可求解；
（2）根据余弦定理和正弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
，
，
在中，，
所以AC的长度为2.
（2）设BC＝x，则AC＝2x，在和中分别利用余弦定理得
，
解得（负根舍）.
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，
即.
20．已知函数，当时，函数取得极值.
(1)若在上为增函数，求实数m的取值范围；
(2)若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可；
（2）构造新函数，利用导数的性质，结合函数零点的性质进行求解即可.
【详解】（1）由，则，
因为时，取到极值，所以，解得.
又当时，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极值，符合题意.
要使在上为增函数，则或，所以或.
即实数的取值范围为.
（2）令，由（1）得，且，
故，，则，
当时，令，解得，令，解得，
所以的递增区间为，递减区间为，
故，而，，故.
要使有两个根，则.
即实数的取值范围为.
21．如图，在直棱柱中，底面四边形为边长为的菱形，，E为AB的中点，F为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若点P为线段上的动点，求点P到平面的距离.
【答案】(1)证明见详解；
(2).
【分析】（1）取BC的中点G，连接FG，EG，，证明平面平面，原题即得证；
（2）连接BD与AC相交于点O，利用求解.
【详解】（1）证明：如图，取BC的中点G，连接FG，EG，.
∵为的中点，E为AB的中点，∴，
因为平面,平面，所以平面.
∵为的中点，F为的中点，∴.
∵直棱柱，∴，
∴，
因为平面,平面，所以平面.
∵，平面，
∴平面平面.
又∵平面，∴平面.
（2）解：如图，连接BD与AC相交于点O，
在中，，同理，
由菱形可知，，
在中，.
设点P到平面的距离为，由平面，可知点到平面的距离也为，
由，可得的面积为，的面积为.
有，，
由，有，可得，
故点到平面的距离为.
22．设函数.
(1)若，求函数在上的最小值；
(2)若对任意的，有，求的取值范围.
【答案】(1)0；
(2)
【分析】（1）对进行求导可得，令，对其求导可得，令，利用导数的知识研究的单调性即可求解；
（2）对进行求导可得，令，对其求导可得，令，分，和三种情况对的单调性进行求解即可．
【详解】（1）由可得，
令，所以，
令，所以
因为，所以即在单调递增，
又因为，所以，
所以即在单调递增，
所以在上的最小值为；
（2）由可得，
令，所以，
令，所以
①时，，即在单调递减，
又因为，所以，与已知矛盾，舍；
②时，，所以即在单调递增，
又因为，所以，所以即在单调递增，
又因为，所以，所以在单调递增，
又因为，所以，满足题意；
③时，在上单调递增，
又因为，，所以存在，令，
当时，，所以即在单调递减，
又因为，所以，所以即在单调递减，
又因为，所以，所以在单调递减，
又因为，所以，与已知矛盾，舍；
综上所述，的取值范围为.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(3)考查数形结合思想的应用．
将跑步作为主要锻炼方式
不是将跑步作为主要锻炼方式
合计
男性
20
20
女性
30
合计
80
0.40
0.25
0.10
0.010
0.005
0.001
0.708
1.323
2.706
6.635
7.879
10.828
将跑步作为主要锻炼方式
不是将跑步作为主要锻炼方式
合计
男性
20
20
40
女性
10
30
40
合计
30
50
80