2024届重庆市铜梁一中等三校高三上学期10月联考数学试题含解析

这是一份2024届重庆市铜梁一中等三校高三上学期10月联考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义即可求得答案.
【详解】因为，，所以.
故选：D.
2．已知命题：，，那么是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.
【详解】解：已知命题：，，
则为：，.
故选：B.
3．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.

4．=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：D.
5．已知为了破解某密码，在最坏的情况下，需要进行2512次运算．现在有一台计算机，每秒能进行2.5×1014次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为(参考数据lg 2≈0.3，≈1.58)（ ）
A．3.16×10139秒B．1.58×10139秒
C．1.58×10140秒D．3.16×10140秒
【答案】B
【分析】利用对数的运算法则，结合题目条件，列出方程求解即可.
【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间为秒，则，
所以，
，
所以．
故选：B
6．在中，，，则角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，利用基本不等式求出的最小值，结合角的取值范围可求得角的最大值.
【详解】设，则，由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，因为，则.
故选：A.
7．对于函数，有下列结论：①最小正周期为；②最大值为2；③减区间为；④对称中心为．则上述结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】将化简后即可判断其周期，最大值，减区间和对称中心.
【详解】解：
.
,①正确；
时，②错误；
令,解得，因此减区间为，③正确；
令，解得，此时，故对称中心为，故④错误.
所以，上述结论正确的个数是2个.
故选：B.
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对不等式作等价变形，构造函数并探讨函数的性质，利用性质解不等式作答.
【详解】函数，则，
因，则不等式成立必有，即，
令，求导得，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又，
当时，，于是得，即，令，
当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解，
当时，，于是得，即，此时，
函数在上单调递增，，，不等式解集为，
所以不等式的解集为.
故选：B
【点睛】思路点睛：求某些函数不等式解集，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解.
二、多选题
9．已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值3C．有最小值D．有最大值4
【答案】BD
【分析】对于A,直接由基本不等式求得，即可判断A；对于B，将代入中，结合二次函数性质即可判断；对于C,将变形为，展开后，利用基本不等式即可判断；对于D,构造函数，利用导数求得最大值，即可判断.
【详解】对于A选项，因为，且，所以由可得，
当且仅当时等号成立，.故A错误；
对于B选项，由，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C选项，因为
所以，当且仅当即时等号成立，故C错误
对于D选项，因为，
令，解得或（舍），
令，解得，令，解得，
故，此时，故D正确
故选：BD
10．已知正八边形ABCDEFGH，其中，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，借助平面向量的坐标运算，对各项逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】分别以，所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，易知作，垂足为，则．

因为，所以，所以，
同理可得其余各点坐标，，
，故A正确；
，故B正确；
，，，所以，故C正确；
，，， ，故D不正确．
故选：ABC
11．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增
D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
【答案】BC
【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性可判断C选项；设，利用
【详解】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A错；
对于B选项，因为且函数为偶函数，
所以，可得，所以，，
所以，对任意的，，B对；
对于C选项，因为，
若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；
对于D选项，当时，，，
所以，，D错.
故选：BC.
12．已知函数及其导函数满足，且，则（ ）
A．在上单调递增B．在上有极小值
C．的最小值为-1D．的最小值为0
【答案】ABD
【分析】构造函数，利用导数运算公式求出函数的解析式，由此可得函数的解析式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项.
【详解】设，则，
所以（C为常数），
所以，
又，所以，
所以，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，
因为，所以，
所以在上有极小值
可知A，B都正确．
，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值即最小值为，故C错误．
，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
而当时，，所以的最小值为0，
故D正确．
故选：ABD.
【点睛】本题解决的关键在于通过构造函数，利用所给条件求出函数函数解析式.
三、填空题
13．设则是成立的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可．
【详解】解析 当时，，显然不一定成立；反之，，则必然成立．
故答案为：必要不充分
14．在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则 .
【答案】
【分析】根据题意得，求出，所以，即，求解即可.
【详解】因为，所以，又，
即，因为点在线段上，
所以，，三点共线，由平面向量三点共线定理得，，即，
所以，又是边长为的等边三角形，
所以
，故.
故答案为：.
15．函数点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】求出切点坐标，利用导数求出切线的斜率即得解.
【详解】解：，所以切点为，
，，所以切线的斜率为.
故该切线方程为，即.
故答案为：
16．已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】，
【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式 转化为即可求解．
【详解】构造函数，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．
不等式 等价于，
等价于
结合单调递增可知，
所以不等式的解集是，．
故答案为：，．
四、解答题
17．已知函数的图像上相邻两条对称轴的距离是，的最大值与最小值之差为1，且的图像的一个对称中心是．
(1)求函数的解析式；
(2)若方程在区间上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得的周期、振幅，再根据正弦函数的对称点公式求解即可；
（2）根据正弦函数的单调性与值域求解即可.
【详解】（1）因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以.
又，故，.
因为的最大值与最小值之差为1，故，，
又由的图像的一个对称中心是，故，
则，又，
故当时，，
故.
（2），，，
，若方程在区间上有解，则，
故实数m的取值范围是
18．已知函数的图象关于原点对称．
(1)求a的值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数列出方程求解即可；
（2）等价转换，分离变量，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而确定实数的取值范围.
【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，
所以函数为奇函数，即有，
所以，则，即，
解得，
当时，，不满足题意，
当时，，函数定义域为，且，满足题意，
综上，可得的值为；
（2）由，得恒成立，
即当，恒成立，
令，则
显然在恒成立，所以在上单调递减，
则的最大值为，
所以，即实数的取值范围为．
19．如图，在四边形中，
(1)求角的值；
(2)若，，求四边形的面积
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再判断得，结合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，从而解得，然后计算和面积的和即可.
【详解】（1）
，
因为，得，
或，
解得或，因为，得，
（2）在中，，
在中，，
，
，，得，
，所以四边形的面积为
20．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求过点的切线方程.
【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是
(2)y＝2x＋1
【分析】（1）求出，令，求得增区间，令，求得减区间；
（2）设出切点，利用导数的几何意义求出切线的斜率，建立方程求出，可得切线斜率，求出切线方程.
【详解】（1）的定义域为，，
所以的单调递增区间是：，单调递减区间是：.
（2）由题意可得点不在曲线上，设切点为，
因为，
所以所求切线的斜率，又由斜率公式得，
，
因为切点在上，所以，
所以，即，
设，
，
在上单调递增，且，
所以有唯一解，
则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
21．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可；
（2）由（1）知，又是锐角三角形，可得，根据且其面积为可得，再设，根据角度关系化简可得，再根据求解即可.
【详解】（1）因为，则，
所以，
即，
得.
所以或（不成立，舍去），
从而，又，所以.
（2）由（1）知，又是锐角三角形，则，得.
因为，
所以.
设，因为，
所以
，
因为，则，所以，
从而，即，
所以边的取值范围是.
22．已知函数，.
(1)讨论的单调性并求极值.
(2)设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；
(2).
【分析】（1）求出，然后可得单调性和极值；
（2），然后求出当时的单调性，要使函数在内有两个不同的零点，则有，解出，然后证明即可.
【详解】（1）因为在上单调递增，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）因为，
所以，
当时，，
所以当或时，在上单调，至多只有一个零点，不满足题意，
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以要使函数在内有两个不同的零点，则有，
由可得，下面证明当时，
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以当时，
综上：实数的取值范围为.