2024届广东省汕头市金禧中学高三上学期第一次阶段考数学试题含解析

这是一份2024届广东省汕头市金禧中学高三上学期第一次阶段考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图象判断出阴影部分为，由此求得正确答案.
【详解】，
由图象可知，阴影部分表示.
故选：A
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法公式，即可计算结果.
【详解】.
故选：D
3．已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝（ ）
A．±3B．3
C．±5D．5
【答案】B
【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用基本量运算可得a3．
【详解】设等比数列{an}的公比为q，
∵＝a1·a5＝9，∴a3＝±3.
∵a3＝a1·q2>0，∴a3＝3.
故选：B
4．已知 ，且，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解，进而根据模长公式即可求解.
【详解】由，得，
所以，
故选：D
5．若，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值.
【详解】由已知，
所以，
故选：C.
6．“”是“函数是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将代入函数解析式，用奇函数的判别式判断；若是奇函数，借助计算得，再进行判断.
【详解】若，则，
，且，
所以是奇函数；
若函数 在其定义域上为奇函数，
可得 ，
解得，
∴是函数 在其定义域上为奇函数的充分不必要条件，
故选：A.
7．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为
A．13.25立方丈B．26.5立方丈C．53立方丈D．106立方丈
【答案】B
【分析】根据题目给出的体积计算方法，将几何体已知数据代入计算，求得几何体体积
【详解】由题，刍童的体积为立方丈
【点睛】本题考查几何体体积的计算，正确利用题目条件，弄清楚问题本质是关键．
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数得出单调性，比较的大小即可求出.
【详解】设函数，则为偶函数，且当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，又，，，所以.
故选：B.
二、多选题
9．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（ ）
A．展开式共有7项B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128D．展开式的有理项共有4项
【答案】CD
【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.
【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是，
所以令可得：.
A：因为，所以展开式共有项，因此本选项说法不正确；
B：因为，所以二项式系数最大的项是第4项和第项，
因此本选项说法不正确；
C：因为，所以所有二项式系数和为，所以本选项说法正确；
D：由B可知：，当时，对应的项是有理项，
故本选项说法正确，
故选：CD
10．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（ ）
A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B．骑车时间的众数的估计值是21分钟
C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
D．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
【答案】BCD
【分析】对于A：找到骑车时间的中位数所在组，代入公式求值即可；
对于B：找到骑车时间的频率最高的一组，取其组中值即为骑车时间的众数的估计值；
对于C：找到坐公交车时间的40%分位数所在组，代入公式求值即可；
对于D：分别计算出坐公交车时间的平均数与骑车时间的平均数的估计值，比较即可.
【详解】对于A：，，
所以骑车时间的中位数在这一组，为分钟，故A错误；
对于B：骑车时间的众数的估计值是分钟，故B正确；
对于C：，，所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在这一组，为分钟，故C正确；
对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：
，
骑车时间的平均数的估计值为：
，
则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确.
故选：BCD.
11．若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据函数单调性及不等式的性质即可求解.
【详解】对选项A：由已知可得，根据对数函数单调性可知：
为增函数，所以，
即，故A正确；
对选项B：因为，，
所以，即，故B正确；
对选项C、D项：由题意易知且，，
所以，，
所以C中不等式正确，D中不等式错误.
故选：ABC.
12．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．点是曲线的对称中心
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内有两个最值点
【答案】AC
【分析】由题可得，可得函数，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.
【详解】由图可知，
所以，又，
所以，
所以，，，
得，，
又，得，
所以，所以，
所以函数的周期为，A正确；
由，得，，，取得，，对称中心为，
取得，，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，B错误；
由，得，，，当时，，函数在区间内单调递增，C正确；
由，可得，，取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D错误.
故选：AC．
三、填空题
13．已知，点，则向量在方向上的投影为 ．
【答案】
【分析】根据投影的计算公式即可求解.
【详解】由点，得，
所以向量在方向上的投影为：
．
故答案为:.
14．设函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】先判断函数的单调性，再解抽象不等式.
【详解】当时，是增函数，此时；
当时， 是增函数，此时，
所以函数是单调递增函数，
，解得：，
所以不等式的解集是.
故答案为：
15．重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 .
【答案】/0.15625
【分析】结合正态分布特点先求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.
【详解】因学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为.
故答案为：
16．已知双曲线，的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，．则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，再利用基本不等式求解即可.
【详解】解：由渐近线方程为可知，
，,
，，
.
第一次取等号的条件为，即，
第二次取等号的条件为，即.
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线的方程和基本性质，离心率的求法，基本不等式的应用，属于中档题.
四、解答题
17．在中，，，所对的边为，，，满足.
(1)求的值；
(2)若，，则的周长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理直接求解即可求出角；
（2）首先结合（1）可知，然后根据正弦定理求出，长度，即可求出三角形周长.
【详解】（1）由，
，
，.
（2），，，
，
根据正弦定理，得，
解得，；
因此三角形周长为.
18．2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示：
(1)补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？
(2)现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，
【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关．
(2)分布列见解析，期望是．
【分析】（1）根据已知数据完善列联表后计算可得结论；
（2）确定6人中的男女人数，然后得出随机变量的值，分别计算概率的分布列，由期望公式计算期望．
【详解】（1）列联表如下：
，
没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关．
（2）从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女篮球迷”有4人，女“女篮球迷”有2人，
的可能值是0，1，2，
，，，
的分布列为：
．
19．已知等差数列的前项和为，不等式的解集为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理，解出不等式中的系数，得，可求出公差和通项.
（2）把（1）中结论代入，得数列通项，用裂项相消求前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
关于的不等式的解集为.
和4是方程的两个根，由韦达定理有，
解得，所以，.
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，
则.
数列的前项和
.
20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求线面角.
【详解】（1）因为，是的中点，所以，
在直角中，，，所以.
在矩形中，，，所以.
又因为，所以在中，，即，
而，，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，取中点，连接，易知，，两两相互垂直，
如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则即令，则，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，对分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；
（2）分类讨论，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性进而求得相应最值，进而得到实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，.
①当时，对任意的，，此时，函数的单调递增区间为.
②当时，令，得；令，得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2），当时显然成立.
当时，即，令，，.
若时单调递减；，单调递增.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.
22．已知点，是椭圆的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得，且的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明详见解析，定点坐标为
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据“以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.
【详解】（1）依题意，，
由于的最大值为，所以，
所以，所以椭圆的标准方程是.
（2）椭圆的右顶点为，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
由得，
设，则，
由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，
所以，，解得，
所以直线过.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
即①.
设，则，
由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，
所以，，
， ，
，
，
，
整理得，或，
若，代入①得，成立，
若，代入①得成立，
所以直线的方程为，过点；
或，过点，不符合题意，舍去.
综上所述，直线过定点.
【点睛】求解直线过定点问题，关键点是研究直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.有关直线和圆锥曲线相交的题目，要注意验证判别式是否成立.
女篮球迷
非女篮球迷
总计
男
20
26
女
l4
总计
50
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
女篮球迷
非女篮球迷
总计
男
20
6
26
女
10
l4
24
总计
30
20
50
0
1
2