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    2024届广东省汕头市金禧中学高三上学期第一次阶段考数学试题含解析

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    这是一份2024届广东省汕头市金禧中学高三上学期第一次阶段考数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.若全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】根据图象判断出阴影部分为,由此求得正确答案.
    【详解】,
    由图象可知,阴影部分表示.
    故选:A
    2.( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据复数乘法公式,即可计算结果.
    【详解】.
    故选:D
    3.已知在等比数列{an}中,a1=1,a5=9,则a3=( )
    A.±3B.3
    C.±5D.5
    【答案】B
    【分析】设等比数列{an}的公比为q,利用基本量运算可得a3.
    【详解】设等比数列{an}的公比为q,
    ∵=a1·a5=9,∴a3=±3.
    ∵a3=a1·q2>0,∴a3=3.
    故选:B
    4.已知 ,且,则 ( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解,进而根据模长公式即可求解.
    【详解】由,得,
    所以,
    故选:D
    5.若,则( ).
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值.
    【详解】由已知,
    所以,
    故选:C.
    6.“”是“函数是奇函数”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】将代入函数解析式,用奇函数的判别式判断;若是奇函数,借助计算得,再进行判断.
    【详解】若,则,
    ,且,
    所以是奇函数;
    若函数 在其定义域上为奇函数,
    可得 ,
    解得,
    ∴是函数 在其定义域上为奇函数的充分不必要条件,
    故选:A.
    7.我国古代《九章算术》里,记载了一个“商功”的例子:今有刍童,下广二丈,袤三丈,上广三丈,袤四丈,高三丈.问积几何?其意思是:今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示),下底宽2丈,长3丈;上底宽3丈,长4丈;高3丈.问它的体积是多少?该书提供的算法是:上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘,同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘,将两次运算结果相加,再乘以高,最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为
    A.13.25立方丈B.26.5立方丈C.53立方丈D.106立方丈
    【答案】B
    【分析】根据题目给出的体积计算方法,将几何体已知数据代入计算,求得几何体体积
    【详解】由题,刍童的体积为立方丈
    【点睛】本题考查几何体体积的计算,正确利用题目条件,弄清楚问题本质是关键.
    8.已知,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】构造函数,利用导数得出单调性,比较的大小即可求出.
    【详解】设函数,则为偶函数,且当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    因为,,所以,又,,,所以.
    故选:B.
    二、多选题
    9.已知二项式的展开式中各项系数之和是,则下列说法正确的有( )
    A.展开式共有7项B.二项式系数最大的项是第4项
    C.所有二项式系数和为128D.展开式的有理项共有4项
    【答案】CD
    【分析】运用代入法,结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.
    【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是,
    所以令可得:.
    A:因为,所以展开式共有项,因此本选项说法不正确;
    B:因为,所以二项式系数最大的项是第4项和第项,
    因此本选项说法不正确;
    C:因为,所以所有二项式系数和为,所以本选项说法正确;
    D:由B可知:,当时,对应的项是有理项,
    故本选项说法正确,
    故选:CD
    10.为响应自己城市倡导的低碳出行,小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具,他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位:分钟),得到下列两个频率分布直方图:基于以上统计信息,则正确的是( )
    A.骑车时间的中位数的估计值是22分钟
    B.骑车时间的众数的估计值是21分钟
    C.坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
    D.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
    【答案】BCD
    【分析】对于A:找到骑车时间的中位数所在组,代入公式求值即可;
    对于B:找到骑车时间的频率最高的一组,取其组中值即为骑车时间的众数的估计值;
    对于C:找到坐公交车时间的40%分位数所在组,代入公式求值即可;
    对于D:分别计算出坐公交车时间的平均数与骑车时间的平均数的估计值,比较即可.
    【详解】对于A:,,
    所以骑车时间的中位数在这一组,为分钟,故A错误;
    对于B:骑车时间的众数的估计值是分钟,故B正确;
    对于C:,,所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在这一组,为分钟,故C正确;
    对于D:坐公交车时间的平均数的估计值为:

    骑车时间的平均数的估计值为:

    则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值,故D正确.
    故选:BCD.
    11.若,则下列不等式正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ABC
    【分析】根据函数单调性及不等式的性质即可求解.
    【详解】对选项A:由已知可得,根据对数函数单调性可知:
    为增函数,所以,
    即,故A正确;
    对选项B:因为,,
    所以,即,故B正确;
    对选项C、D项:由题意易知且,,
    所以,,
    所以C中不等式正确,D中不等式错误.
    故选:ABC.
    12.已知函数的部分图象如图所示,则( )
    A.函数的最小正周期为π
    B.点是曲线的对称中心
    C.函数在区间内单调递增
    D.函数在区间内有两个最值点
    【答案】AC
    【分析】由题可得,可得函数,然后根据三角函数的性质逐项分析即得.
    【详解】由图可知,
    所以,又,
    所以,
    所以,,,
    得,,
    又,得,
    所以,所以,
    所以函数的周期为,A正确;
    由,得,,,取得,,对称中心为,
    取得,,对称中心为,所以点不是曲线的对称中心,B错误;
    由,得,,,当时,,函数在区间内单调递增,C正确;
    由,可得,,取得,为函数的最值点,所以区间内有一个最值点,D错误.
    故选:AC.
    三、填空题
    13.已知,点,则向量在方向上的投影为 .
    【答案】
    【分析】根据投影的计算公式即可求解.
    【详解】由点,得,
    所以向量在方向上的投影为:

    故答案为:.
    14.设函数,则不等式的解集为 .
    【答案】
    【分析】先判断函数的单调性,再解抽象不等式.
    【详解】当时,是增函数,此时;
    当时, 是增函数,此时,
    所以函数是单调递增函数,
    ,解得:,
    所以不等式的解集是.
    故答案为:
    15.重庆八中某次数学考试中,学生成绩服从正态分布.若,则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩高于120的概率是 .
    【答案】/0.15625
    【分析】结合正态分布特点先求出,再由独立重复试验的概率公式即可求解.
    【详解】因学生成绩符合正态分布,故,故任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩高于120的概率为.
    故答案为:
    16.已知双曲线,的焦点分别在轴,轴上,渐近线方程为,离心率分别为,.则 的最小值为 .
    【答案】
    【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得,,再利用基本不等式求解即可.
    【详解】解:由渐近线方程为可知,
    ,,
    ,,
    .
    第一次取等号的条件为,即,
    第二次取等号的条件为,即.
    的最小值为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查双曲线的方程和基本性质,离心率的求法,基本不等式的应用,属于中档题.
    四、解答题
    17.在中,,,所对的边为,,,满足.
    (1)求的值;
    (2)若,,则的周长.
    【答案】(1);
    (2).
    【分析】(1)根据余弦定理直接求解即可求出角;
    (2)首先结合(1)可知,然后根据正弦定理求出,长度,即可求出三角形周长.
    【详解】(1)由,

    ,.
    (2),,,

    根据正弦定理,得,
    解得,;
    因此三角形周长为.
    18.2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕,中国女篮获得亚军,时隔28年再次登上大赛领奖台,追平队史最好成绩,中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况,某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查,将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”,否则称为“非女篮球迷”,从调查结果中随机抽取50份进行分析,得到数据如下表所示:
    (1)补全列联表,并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关?
    (2)现从抽取的“女篮球迷”人群中,按性别采用分层抽样的方法抽取6人,然后从这6人中,随机抽取2人,记这2人中男“女篮球迷”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
    附:,
    【答案】(1)列联表见解析,没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关.
    (2)分布列见解析,期望是.
    【分析】(1)根据已知数据完善列联表后计算可得结论;
    (2)确定6人中的男女人数,然后得出随机变量的值,分别计算概率的分布列,由期望公式计算期望.
    【详解】(1)列联表如下:

    没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关.
    (2)从抽取的“女篮球迷”人群中,按性别采用分层抽样的方法抽取6人,这6人中男“女篮球迷”有4人,女“女篮球迷”有2人,
    的可能值是0,1,2,
    ,,,
    的分布列为:

    19.已知等差数列的前项和为,不等式的解集为.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)由韦达定理,解出不等式中的系数,得,可求出公差和通项.
    (2)把(1)中结论代入,得数列通项,用裂项相消求前项和.
    【详解】(1)设等差数列的公差为,
    关于的不等式的解集为.
    和4是方程的两个根,由韦达定理有,
    解得,所以,.
    数列的通项公式为.
    (2)由(1)可得,,
    则.
    数列的前项和
    .
    20.如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,,.
    (1)求证:平面平面;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明;(2)利用空间向量的坐标运算求线面角.
    【详解】(1)因为,是的中点,所以,
    在直角中,,,所以.
    在矩形中,,,所以.
    又因为,所以在中,,即,
    而,,平面,所以平面,
    而平面,所以平面平面.
    (2)由(1)知,平面,取中点,连接,易知,,两两相互垂直,
    如图,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,
    则,,,,
    ,,.
    设平面的法向量为,
    则即令,则,所以,
    所以,
    所以直线与平面所成角的正弦值为.
    21.已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)若对任意的,都有,求实数的取值范围.
    【答案】(1)见解析
    (2)
    【分析】(1)求出函数的定义域和导数,对分和两种情况,分析在上的符号,可得出函数的单调区间;
    (2)分类讨论,分离参数,构造函数,利用导数研究函数的单调性进而求得相应最值,进而得到实数的取值范围.
    【详解】(1)函数的定义域为,.
    ①当时,对任意的,,此时,函数的单调递增区间为.
    ②当时,令,得;令,得.
    此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
    (2),当时显然成立.
    当时,即,令,,.
    若时单调递减;,单调递增.
    综上所述,实数的取值范围是.
    【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,以及利用导数研究不等式恒成立问题,解题方法就是利用分类讨论法进行求解,解题时要找出参数分类讨论的依据,考查分类讨论数学思想的应用,属于难题.
    22.已知点,是椭圆的两个焦点,椭圆上的任意一点P使得,且的最大值为.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)若直线l与椭圆C交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点.求证直线l过定点,并求出该定点的坐标.
    【答案】(1)
    (2)证明详见解析,定点坐标为
    【分析】(1)根据已知条件求得,从而求得椭圆的标准方程.
    (2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,设出直线的方程并与椭圆的方程联立,化简写出根与系数关系,根据“以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程,由此求得定点坐标.
    【详解】(1)依题意,,
    由于的最大值为,所以,
    所以,所以椭圆的标准方程是.
    (2)椭圆的右顶点为,
    当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,
    由得,
    设,则,
    由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点,
    所以,,解得,
    所以直线过.
    当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
    由消去并化简得,

    即①.
    设,则,
    由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点,
    所以,,
    , ,



    整理得,或,
    若,代入①得,成立,
    若,代入①得成立,
    所以直线的方程为,过点;
    或,过点,不符合题意,舍去.
    综上所述,直线过定点.
    【点睛】求解直线过定点问题,关键点是研究直线方程中参数的关系,从而求得定点的坐标.有关直线和圆锥曲线相交的题目,要注意验证判别式是否成立.
    女篮球迷
    非女篮球迷
    总计

    20
    26

    l4
    总计
    50
    0.05
    0.01
    0.001
    3.841
    6.635
    10.828
    女篮球迷
    非女篮球迷
    总计

    20
    6
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    10
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    0
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